2003年全国高考数学理科试题讲解.pdf

l 敛拳版 中学生理科应试 1 7 2 0 0 3年全 国高考数 学理科试题讲解 陕西省成 阳市永寿 中学 7 1 3 4 0 0 安振平 陕西省成阳市渭城 中学 7 1 2 0 0 0 安俊 一 远 摔 1 已 知 x E 一 号 0 c 詈 则 t l i l X A 云B 一 7 c 24 D 一 247 讲 解 由 已 知 得 s in x 一 号 从 而 有 t B I l 一 号 于是 t a I 2 t a n x 了24 故应选 D 注 本题涉及直角三角形的勾股数 3 4 5 不妨西 个三角形 就可读出 t a n x的值 2 啊锥曲线 P 的准线方程是 A p e o s O 一2 B p c o s O 2 C p s i n O 一2 D p s i n O 2 讲解 p c o s e 8 p ed n 6 8 y 于是 P 4 从而准线方程为 一 告 一 2 化为极坐标方程 得 D 枷 一2 故应选 C 注 想想看 算到哪一步 就能看出正确答案 3 设 函 数 一 若 X O l 则 的取值范围是 A 一l 1 B 一l C 一 一2 U 0 D 一 一1 U 1 讲 解 1 当 z O l时 得 l 2 当 0 l l 时 得 0 及直 线 z 一 3 0 当直线 z 被 c截得 的弦长为 2 时 则 a 3 1 c o s 2 a c 0 6 c 0 8 2 8 一 由常函数的意义构建方程组有 1 c o s 2 a c o 0 s l n 2 u s i l 0 三角变换化积为 2 8 a p o a 一 p 一1 2 d n a p 自 i I I a p 0 而 0 a J 9 r 所以 a J9 r a J 9 一 则 a 争 J9 即使 F 的值不随 的变化而变化的 a 号 卢 萼 存 在 5 用 等价转化 思想将探索性问曩化凶三角 变化和不等式求解 倒 6 A B C 为三 角 形 A B e 的三 个 内角 Y 一 A 若任意交换 两个 内角 c o s A c o s B C c o t A 右仕恧父珙 网个 冈用 位 置 值 是否 变化 且 有最小 值 并 证 明你 的结论 筒析探索性问题 由 目标意识 转化 三角变 换化简 函数式 万能公式化统一 均值不等式求 最 值 易解 刚 o o t 4 s i n B e os 7C 五 e o 了 s B s i n C o a 一 姒 c o ol c o t B a 0 t C 由表达式 中的 A B C的对称性 Y的值不变 用有 界性放缩和均值不等式探求最小值 孚 I c o t A 诅 n 3 诅 n c o t A B C Y有最小值为 收稿 日期 2 0 一 一 1 2 维普资讯 维普资讯 数学版 中学生理科应试 1 9 填空囊 1 3 一 的展开式中 系数是 讲 解 c 一 一 c 令 1 8 3 r 9 得 r 3 于是所求 系数是 一 告 四 一 等 故应填一 等 注 本题是教材例题的变式 1 4 使 l 0 一 0 得 0 构造函数 l 一 一 显然该函数在 一 O 上是减函数 原不等式转化为 厂 一1 综合得 一1 0 故应填 一1 O 注 如果 想到 构 造 函 数 l 一 g 1 并在同一坐标系内画出二者的图象 亦 可给出巧解 1 5 如 图 3 一个地 区分 为 5个 行政 区域 现给 地 图着色 要求相邻地区不得使用同一颜O I z一 1 I I zI I z 一 2 1 I 一1 3 I I 3 I I 一2 f I 即 1 3 厂 对上式 两边 平方 化 简得 4 4 一1 0 I z I 2 I z I 2 1 z I 一1 O 故I z I 一1 注 本题还可利用复数模的几何意义 构造三角 形 应用余弦定理求解 请读者 自行完成 1 8 直 三 棱 柱 仰 C A l B l C l 中 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 A C B 9 0 侧棱 M 2 D E分 别是 C lc l 与 A B的中点 点 E在平 面 A B D 上 的 射 影 是 A B D 的重 心 G 如 图 5 I 求 A I B与平面A B D所成 角的大小 结果用反三角函数值表 示 图 5 求点 A 到平面 A E D的距离 讲解 I 连结 B G 则 B G是 B E在平面A B D上 的射影 于 是 E B G就是 A 8与平 面 所 成 的角 设 是加 中点 连结 E F F C D E分 别是 C C I A B的 中点 又 D c j 平 面 A B C C D E F为矩形 连 结 G是 尬 8的重心 所 以 G 卯 在 I Z X E F D 中 有 彤 F D 1 F D 于 是 E 1 E G 1 C 4 3 FC c D 加 2 AI B 2 髓 脚 1 直线 A I B与平 面 A B D所 成的角是 q百 z 连接 A D有等体积 一 埘 t 肚 I E D j 加 E D l E F 又E F n 加 F E Dj 平面 A l 加 设 A 到平 面 A E D的距离是 d 则 有 一埘 一 肚 S 脚 d S 肚 舾 又 s I 肚 i S I B A i A 加 2 s 脚 吉 舾 舾 d 故点 A 到 平面 A E D的距 离是 注 等体积法是计算点到面的距离的常用方法 值 得重视 1 9 已知 c 0 设 P 函数 Y 在 R 上单 调递 减 Q 不等式 I 一2 e I 1的解集为 R 如果 P和 9有且仅有一个正确 求 c的取值范围 讲解由函数 Y c l在 R上单调递减 0 c1的解集为 R 得 知不等式 I 一2 e I 1 一 对 一 切 R 恒成 立 在 同一 坐 标 系 内 做出函数 Y I 一2 e I 和 Y 1 一 的图象 请读者 自 行画出 从而可得 2 e 1 即有 c 若 P 正确 0 c 1 1 且 Q 不正确 则 1 0 ff 故实数 c 的取值范围是 0 1 U 1 j 维普资讯 2 O 中学生理科应试 注 本题亦可应用如下结论进行求解 0对 一 切 R恒成 立 铮 0 2 0 在莱海滨城市附近海面有 一 台风 据监测 当前台风中心位于 城 市0 如 图 6 的 东 偏 南8 蝴B 方 向 3 0 0 k m的海 面 P处 并以2 0 k m h的速度 向西偏北 4 方向移动 台风侵袭的范围为圆 形区域 当前半 径为 6 0 k m 并 以 1 0l ffiC h 速度不断增大 问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭 图 6 讲 设在时刻 t 台风中心为 口 此时台风侵 袭的暖形区域半径为 1 0 t 6 0 k m 若在时刻 t 城市 0受到台风的侵袭 则有不等式 D o l O t 6 0 注意到 P O 3 0 0 2 o t o o D 尸 口 c 一4 ff c o s O c o e 4 y d n S d n 4 5 4 应用余弦定理 得T 面 育 用尔锚疋理 侍 Q 0 z 一 2 P 口 P O c ZO P Q 2 t 2 9 6 0 0 t 3 0 于是 2 t 一9 6 0 0 t 3 0 0 P 1 0 t 6 0 即 t 一3 6 t 2 8 8 0 解出 1 2 t 2 4 故在 1 2小时后该城市开始受到台风的侵袭 注 本题的另一解法是建立坐标系 应用参数方 程法求 I 显然 上述解法似乎更适合于文科考生的 知识结构 2 1 已知常数 口 0 在 矩形 A B C D 中 A B 4 B C 4 a 0为 A B的 中点 点 G分 别 在 B C C A 上 移 动 且 BE P为 钮 与O F的交C A D A 一 一 点 如图 7 问是否存在两个定点 使 P到这两点的距离的和为定值 图 若存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存在 请说 明理由 讲解依据题意 的分析 问题 的求解可分为两 步 一是求出点 P坐标满足的方程 二是判断是否存 在两定点 使得点 P判这两点距离的和是定值 由题 意 得 A 一2 0 2 0 c 2 4 a D 一 2 4 口 丽B E g k 0 iI 1 从 而 有 E 2 4 F 2 4 k 4 a G 一2 4 a一 4 a k 于是 直线 O F的方程为 2 o x 2 k一1 Y 0 直线 钮 的方程为 一a 2 k一1 Y一2 a 0 联立方程 消去参数 k 就得点 P x y 的坐 标满足的曲线方程 2 a 2 x 2 一2 a y 0 标准化变形 得 业 二 1 l l L 下面需要对字母 口进行分类讨论 1 当 时 点 P的轨迹为圆弧 所以不存在 符合题意的两点 2 当 口 1时 点 P轨迹为椭圆的一部分 点 P 到该椭 圆焦点 的距 离和为定长 着 1 点 P 到 椭 圆 两 个 焦 点 厂 厂 0 口 口 2 一 专 0 口 口 2 一 号 的距离 之和为 定值 2 a 注 本题实质是曲线方程的探求与性质探讨两道 题的链接 需要我们去分步求解 2 2 1 设 a 是集 合 2 2 1 0 s t 且 s t E z 中所有的数从小到大排列成的数列 即 t 3 口 2 5 口 3 6 a s 9 a s 1 0 口 6 1 2 将数列 各项按照上小 3 下大 左小右大的原则 9 5 1 06 1 2 写成如下的三角形数 一一一一 表 1 写出这个三角形数表的第四行 第五行各数 2 求 a l o o 设 是集合 2 2 2 1 0 r I t 且 r j t z 中所有的数从小到大排列成的数列 已知 1 1 6 0 求 iI 讲解 I I 通过推算 易得 第四行 1 7 1 8 加2 4 第五行 3 3 3 4 3 6 4 o 4 8 I I 设 a i m 2 0 2 b 只要确定正整数 s o t o 使 数列 a 中小于 2 I D 的项构成的子集为 1 2 2 1 0 s t t o 元素个数为 鱼 根据题意 得 1 0 0 于是可得 l 1 4 1 2 1 3 9 1 a im是第 1 4行的第 1 9个数 故 a i m 2 2 一 1 6 6 4 0 6 2 m 2 7 2 1 1 6 0 令 I f 1 c 8I c 1 1 6 0 其中 B 2 2 2 1 0 r s t 显 然 c 8I c 2 m U c BI 2 0 c 2 m 2 7 U c B1 2 m 2 7 c 2 m 2 7 2 3 下面计算