高中物理八大解题方法之五：极值法.doc

高中物理解题方法之极值法 江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。一、 二次函数求极值二次函数，当时，y有极值，若a0，为极小值，若a2）【解法2】用动能定理解：在物块M下落过程中，设M落地时的速度大小为，根据动能定理，将代入，解得.在物块M落地后，小物块m上滑到顶端的过程中，设m射出管口时速度大小为，根据动能定理： ，解得。（3）平抛运动，。解得因为，所以，得证。【注意】第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理，解得是错误的，错误的原因在于认为M落地后速度为0，这个速度为0，是M与地面碰撞以后的结果，并不是M下落和m上滑的结果。【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。例4.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为=37斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为=0.1（取重力加速度g=10m/s2，sin37=0.6，cos37=0.8，运动员在运动过程中可视为质点）（1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a；（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小；（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中BC位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道BC距水面的高度h【解析】运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示Ff=FN=mgcos根据牛顿第二定律：mgsin-mgcos=ma得运动员沿AB下滑时加速度的大小为：a=gsin-gcos=5.2m/s2（2） 运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：Wf=mgcos+mgd=mg d+（H-h）cot=10=500J由动能定理得：mg（H-h）-Wf= mv2解得运动员滑到C点时速度的大小v=10m/s（3）在从C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，h= gt2，t=下滑过程中克服摩擦做功保持不变Wf=500J根据动能定理得：mg（H-h）-Wf= mv2，解得v=运动员在水平方向的位移：x=vt=【解法1】配方法：令当h=3m时，水平位移最大为。【解法2】求导法：令，求导,当h=3m时，水平位移最大为。答：（1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a为5.2m/s2；（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W为500J，到达C点时速度的大小为10m/s；（3）滑道BC距水面的高度h为3m【注意】为什么说下滑过程中克服摩擦做功保持不变呢？因为克服摩擦做功Wf=mgcosmgd=mgLcos+d,其大小只与水平方向的总长度有关，而与水平滑道高度h无关。归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程：，然后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用数学方法求极值。方法1：配方法。对形如的二次函数，配方为，则当时，有最小值。方法2:求导法。对形如的二次函数，求其导数，令其等于0，得当时，代入得的最小值。最后探究极值的物理意义，把数学问题回归到物理问题。六、小船渡河问题位移最小问题。设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况研究：（1）当时【解析】求位移最小问题。在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间t= =。 图2 河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？ 【解析】如图2，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V船与河岸的夹角=arccos(V水/V船)=530。这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/（V船sin）=60/4=15(s).（2）当时，设河宽60m,小船在静水中的速度3m/s,水流速度5m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？【解析】因为不论船的航向如何，船速在平行河岸方向上的分速度不能把水速平衡掉，所以船总是被水冲向下游，那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图3所示，设船头v船与河岸成角。合速度v与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下角最大呢？以船的出发点A为起点沿河岸做v水的速度矢量，以v水的矢端O为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切（切点为C）时，角最大，设船头方向（与OC平行）与河岸的夹角为，则。 图3 设船沿河漂下的最短距离为，渡河