线性代数高等代数知识点总结.ppt

一 知识结构框图 概念 计算 性质 展开 证 A 0 应用 行列式 一 行列式知识概述 概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和 性质 经转置行列式的值不变 互换两行行列式变号 某行有公因子可提到行列式符号外 拆成行列式的和 消法变换 展开 计算 数字型 抽象型 三角化法 重要行列式法 加边法 递推法 用行列式性质 用矩阵性质 用特征值 利用矩阵相似 热点 注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明 证 A 0 AX 0有非零解 反证法 R A n A可逆 A A A的列向量组线性相关 0是A的特征值 应用 AX 0有非零解 伴随矩阵求逆法 克拉姆法则 A可逆的证明 线性相关 无关 的判定 特征值计算 二 特殊行列式的值 三 有关行列式的几个重要公式 1 若A是n阶矩阵 则 2 若A B是n阶矩阵 则 3 若A是n阶矩阵 则 4 若A是n阶可逆矩阵 则 5 若A是n阶矩阵 是A的n个特征值 则 6 若A与B相似 则 行列式的计算 重点 常用方法 三角化法展开降阶法 和消元相结合最为有效 加边法归纳法化为已知行列式 一些有固定形式的行列式 如 三角形 爪型 范德蒙 行列式等 本章所需掌握的题型 行列式计算 重点 1 具体阶数行列式计算2 较简单的n阶行列式计算与行列式定义 性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题如 1 Crammer 法则判定方程组的解况2 矩阵可逆性3 向量组相关性 向量个数 向量维数 4 两个矩阵相似的必要条件5 矩阵正定 半正定的必要条件 14 15 16 对单位矩阵做一次初等变换 对A做一次行变换 用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换 用相应的初等矩阵右乘以A 17 对于m n矩阵A B下列条件等价A B 即A可由初等变换化成B有可逆矩阵P Q使得PAQ B秩A 秩BA B的标准型相同 A B行等价 有可逆矩阵P使得A PB每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵 A B等价 有可逆矩阵P Q使得A PBQ每个秩数为r的矩阵都等价于 矩阵等价 18 n阶方阵A可逆 A的行最简形为E A为初等阵的乘积 多角度看可逆阵 A的行 列 向量组线性无关 任一n维向量 都可由行 列 向量组线性表示 A的特征值均不为零 A的行 列 向量组的秩都是n 非退化阵 满秩 ATA为正定阵 方阵A与E相似 A E A正定 i 0 p n A PTP k 0 1 错 不满足消去律 2对3错 不满足交换律 4 错 不一定是方阵 5 对6错 同4 7对8对9错 不存在关于加法的公式 同理行列式也不存在关于加法的公式 10对 向量 22 线性表示 列向量组 1 r可由 1 s线性表示当且仅当有矩阵C使得 1 r 1 s C 进一步 C的第k列恰为 k的表示系数线性表示有传递性被表示者的秩数 表示者的秩数 向量组等价 对于向量组S T 下列条件等价S和T等价 即S T可以互相表示S T的极大无关组等价S T的秩数相等 且其中之一可由另一表示 23 线性相关与线性表示 1 r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若 1 r线性相关 而 1 r线性无关 则 可由 1 r线性表示 且表法唯一 线性无关 对于向量组 1 r下列条件等价 1 r线性无关当c1 cr不全为0时 必有c1 1 cr r 0当c1 1 cr r 0时 必有c1 cr 0 1 r的秩数等于r 1 r 是列满秩矩阵 24 极大无关组与秩数 1 r S是S的一个极大无关组当且仅当 1 r线性无关S的每个向量都可由 1 r线性表示秩S 极大无关组中向量的个数若秩S r 则任何r个无关的向量都是极大无关组矩阵的秩数 行向量组的秩数 列向量组的秩数 25 有非零解 判定方程 线性相关性的判别 特别当向量组的 向量个数 向量维数 时 则有 当向量维数 向量个数 时 则有向量组必线性相关 短 向量组无关必有 长 向量组无关 长 向量组相关必有 短 向量组相关向量组 部分相关 必有 整体相关 向量组 整体无关 必有 部分无关 大 向量组被 小 向量组表出 大 向量组线性相关 线性无关 的向量组只可能被 不小于 它的向量组线性表出 任何向量组只可能被 秩不小于它的秩 的向量组线性表出 等价无关组 具有相同的 大 小 通俗记忆 求向量组秩 极大无关组 表示方式 行阶梯型矩阵 一个极大无关组 原向量组一个极大无关组 第一等价链 第二等价链 与初始向量组等价 正交矩阵 定义 正交矩阵的性质 线性方程组 线性方程组的表示方程式 矩阵式 Ax b 其中A aij m n x xi n 1 b bi m 1向量式 x1 1 xn n b 其中 i是xi的系数列 33 解的判定 1 n元线性方程组Ax b有解 系数矩阵与增广矩阵的秩数相等 具体地 当秩A 秩 Ab 时 方程组无解当秩A 秩 Ab n时 方程组有唯一解当秩A 秩 Ab n时 方程组有无穷解 2 线性方程组有解 常数列可由系数列线性表示 此时 解恰为表示的系数 34 解法Cramer法则Gauss Jordan消元法 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应的方程组取每个方程的第一个变量为主变量 其余的为自由变量 并解出主变量写出参数解或通解 35 解的结构齐次线性方程组Ax 0 解空间 解的集合基础解系 解空间的基底通解 设 1 s是一个基础解系 则通解为 c1 1 cs s 其中c1 cs是任意常数解空间的维数 未知数个数 系数矩阵的秩数设秩A r 则Ax 0的任何n r个无关的解都是基础解系 36 一般线性方程组Ax b Ax b和Ax 0的解的关系 Ax b的两个解之差是Ax 0的解Ax b的解与Ax 0的解之和是Ax b的解Ax b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Ax b和Ax 0的解集合 则Sb S0 Sb通解 设 1 s是一个基础解系 是Ax b的一个解 则通解为 c1 1 cs s 其中c1 cs是任意常数 Ax 0的解 当系数和 0时 Ax b的解 当系数和 1时 37 矩阵计算行列式 化三角形 展开 递推求逆矩阵 行变换 伴随求秩数 初等变换 定义 38 计算 方程组的计算求基础解系 Gauss Jordan消元法 行变换 列换法 已知秩A r 则任何r个无关解都是基础解系求通解 Gauss Jordan消元法 行变换 列换法 带参数的方程组 先化简 再判定 可先考虑唯一解的情形 特别是有系数行列式时 39 向量的计算设S 1 s是n元向量组 无论行或列 求S的秩数 S的秩数 它组成的矩阵的秩数判断S的相关性 设x1 1 xs s 0 将其转化成x的方程组 若方程组有非零解 则S相关 否则 无关 求S的秩数 若秩S s 则相关 若秩S s 则无关线性表示 令 x1 1 xs s 将其转化成x的方程组 若方程组有 唯一 解 则 可由S 唯一 表示 且方程组的解就是表示的系数 否则 不可由S表示 40 求极大无关组 若已知秩S r 则在S中找出r的无关的向量即可将S中的向量写成列的形式组成矩阵 对矩阵作行变换 化成阶梯形 则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致 41 1错 至少有一组 非任意 2对3错 同1 4错 是当且仅当 即只存在唯一一组 5对6对7错 无穷不等于任意 8错 或 9对10错 整体无关 部分无关 部分相关 整体相关 反之皆未必 11错 同上 12错 这样的不全为0的数组不唯一 13错 是至少有一组 不是全部 14错 还要条件 线性无关 15错 同上 16错 比如3