安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业（2.26）理（PDF）.pdf

2 月月 26 日理科数学日理科数学 抗击 新冠 温馨提示 1 勤洗手 少出门 出门戴口罩 保持家里干净 通风让空气流通 2 适当运动 保持锻炼 增强身体免疫力 3 合理安排学习与生活 停课不停学 几何概型几何概型 1 几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 面积或体积 成比例 而与 a 的形 状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 几何概型的两个特点 一是 无限性 即在一次试验中 基本事件的个数可以是无限的 二是 等可能性 即每一个基本事件发生的可能性是均等的 因此 用几何概型求解的概率问题和古典概型的 思路是相同的 同属于 比例解法 即随机事件 a 的概率可以用 事件 a 包含的基本事 件所占的 图形面积 体积 长度 与 试验的基本事件所占的 总面积 总体积 总长 度 之比来表示 3 在几何概型中 事件 a 的概率的计算公式 p a 构成事件 a 的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 4 几种常见的几何概型 1 与长度有关的几何概型 其基本事件只与一个连续的变量有关 2 与面积有关的几何概型 其基本事件与两个连续的变量有关 若已知图形不明确 可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 这样基本就构成了平面上的一个区域 即 可借助平面区域解决问题 3 与体积有关的几何概型 可借助空间几何体的体积公式解答问题 1 思维辨析 在括号内打 或 1 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 2 相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 3 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域 中的每一点被取到的机会相等 4 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 解析 1 正确 由随机模拟方法及几何概型可知 该说法正确 2 错误 虽然环境相同 但是因为随机模拟得到的是某一次的频率 所以结果不一定 相等 3 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 4 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 2 在区间 15 25 内的所有实数中随机抽取一个实数 a 则这个实数满足 17 a 20 的 概率是 c a 1 3 b 1 2 c 3 10 d 7 10 解析 a 15 25 p 17 a 20 20 17 25 15 3 10 3 有一杯 2 l 的水 其中含有 1 个细菌 用一个小杯从水中取 0 1 l 水 则小杯水中含 有这个细菌的概率为 c a 0 01b 0 02 c 0 05d 0 1 解析 因为取水是随机的 而细菌在 2 l 水中的任何位置是等可能的 则小杯水中含有 这个细菌的概率为 p 0 1 2 0 05 4 已知 x 是 4 4 上的一个随机数 则使 x 满足 x2 x 2 0 的概率为 b a 1 2 b 3 8 c 5 8 d 0 解析 x2 x 2 0 2 x 1 则 p 1 2 4 4 3 8 5 某路公共汽车每 5 min 发车一次 某乘客到乘车点时刻是随机的 则他候车时间不 超过 3 min 的概率是 a a 3 5 b 4 5 c 2 5 d 1 5 解析 此题可以看成向区间 0 5 内均匀投点 求点落入 2 5 内的概率 设 a 某乘客 候车时间不超过 3 min 则 p a 构成事件 a 的区域长度 试验的全部结果构成的区域长度 3 5 一与长度 角度有关的几何概型 1 设线段 l 是线段 l 的一部分 向线段 l 上任投一点 点落在线段 l 的概率为 p l 的长度 l 的长度 2 当涉及射线的转动 如扇形中有关落点区域问题时 应以角的大小作为区域度量来 计算概率 且不可用线段代替 这是两种不同的度量手段 例 1 1 2017 江苏卷 记函数 f x 6 x x2的定义域为 d 在区间 4 5 上随机 取一个数 x 则 x d 的概率是 5 9 2 2016 全国卷 某公司的班车在 7 30 8 00 8 30 发车 小明在 7 50 至 8 30 之 间到达发车站乘坐班车 且到达车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 10 分钟的概率 是 b a 1 3 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 1 由 6 x x2 0 解得 2 x 3 则 d 2 3 则所求概率为3 2 5 4 5 9 2 由题意得图 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为1 2 二与面积有关的几何概型 与面积有关的平面图形的几何概型 解题的关键是对所求的事件 a 构成的平面区域形 状的判断及面积的计算 基本方法是数形结合 例 2 1 在区间 1 1 内随机取两个实数 x y 则满足 y x2 1 的概率是 d a 2 9 b 7 9 c 1 6 d 5 6 2 2017 全国卷 如图 正方形 abcd 内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点 取自黑色部分的概率是 b a 1 4 b 8 c 1 2 d 4 解析 1 如图满足 y x2 1 的概率为阴影部分面积与正方形面积的比 错误错误 1 x2 1 dx 错误错误 2 x2 dx 2x 1 3x 3 1 1 10 3 p 10 3 4 10 12 5 6 2 不 妨设正方形的边长为 2 则正方形的面积为 4 正方形的内切圆的半径为 1 面积为 由于正 方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 所以黑色部分的面积为 2 故此点取自黑色部分的概率为 2 4 8 故选 b 三与体积有关的几何概型 对于与体积有关的几何概型问题 关键是计算问题的总体积 总空间 以及事件的体积 事 件空间 对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 例 3 1 在棱长为 2 的正方体 abcd a1b1c1d1中 点 o 为底面 abcd 的中心 在 正方体 abcd a1b1c1d1内随机取一点 p 则点 p 到点 o 的距离大于 1 的概率为 1 12 2 在体积为 v 的三棱锥 s abc 的棱 ab 上任取一点 p 则三棱锥 s apc 的体积大于 v 3的概率是 2 3 解析 1 正方体的体积为 2 2 2 8 以 o 为球心 1 为半径且在正方体内部的半球的 体积为1 2 4 3 r 3 1 2 4 3 1 3 2 3 则点 p 到点 o 的距离大于 1 的概率为 1 2 3 8 1 12 2 由题意知vs apc vs abc 1 3 三棱锥 s abc 的高与三棱锥 s apc 的高相同 作 pm ac 于 m bn ac 于 n 则 pm bn 分别为 apc 与 abc 的高 所以vs apc vs abc s apc s abc pm bn 1 3 又pm bn ap ab 所以 ap ab 1 3 故所求的概率为 2 3 即为长度之比 1 把半径为 2 的圆分成相等的四段弧 再将四段弧围成星形放在半径为 2 的圆内 现 在往该圆内任投一点 此点落在星形内的概率为 a a 4 1 b 2 c 4 1 2 d 1 2 解析 这是一道几何概型概率计算问题 星形弧半径为 2 所以点落在星形内的概率为 p 2 2 22 4 1 2 2 2 2 4 22 4 1 故选 a 2 在区间 1 1 上随机取一个数 x 使 cos x 2 的值介于 0 到1 2之间的概率为 a a 1 3 b 2 c 1 2 d 2 3 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 试验的全部结果构成的区域长度为 2 1 x 1 2 2x 2 由 0 cos 2x 1 2 得 3 2x 2或 2 2x 3 2 3 x 1 或 1 x 2 3 设事件 a 为 cos 2x 的值介于 0 到 1 2之间 则事件 a 发生对应的区域长度为 2 3 p a 2 3 2 1 3 3 在区间 2 2 上随机取一个数 x 使 x 1 x 1 1 成立的概率为 5 8 解析 在区间 2 2 上随机取一个数 x 则 2 x 2 而不等式 x 1 x 1 1 的解 集为 x 1 2 又因为 2 x 2 故 2 x 1 2 所以使不等式成立的概率为 p 1 2 2 2 2 5 8 4 如图 在边长为 1 的正方形 oabc 中任取一点 则该点落在阴影部分的概率为 1 3 解析 根据题意 可以求得阴影部分的面积为 s 错误错误 x x2 dx 2 3x 3 2 1 3x 3 10 1 3 故该点落在阴影部分的概率为 p 1 3 1 1 3 易错点几何概型概念不清 错因分析 对事件中的几何元素认识不清晰 导致解题错误 例1 1 在等腰rt abc中 在斜边ab上任取一点m 则am ac的概率为 2 在等腰 rt abc 中 过直角顶点 c 在 acb 内部作一条射线 cm 与线段 ab 交于 点 m 则 am ac 的概率为 解析 1 这是一个与长度有关的几何概型问题 在 ab 上截取 ac ac 于是 p am ac p am ac ac ab ac ab 2 2 2 这是一个与角度有关的几何概型问题 在 ab 上截取 ac ac 则 acc 180 45 2 67 5 而 acb 90 于是 p am ac p am ac 67 5 90 3 4 答案 1 2 2 2 3 4 跟踪训练 1 2016 山东卷 在 1 1 上随机地取一个数 k 则事件 直线 y kx 与圆 x 5 2 y2 9 相交 发生的概率为 3 4 解析 直线 y kx 与圆 x 5 2 y2 9 相交的充要条件为 5k 0 1 k2 3 解之得 3 4 k 3 4 故所求概率为 p 3 4 3 4 1 1 3 4 课时达标 一 选择题 1 在区间 2 3 上随机选取一个数 x 则 x 1 的概率为 a 4 5 b 3 5 c 2 5 d 1 5 2 设 p 在 0 5 上随机地取值 则关于 x 的方程 x2 px 1 0 有实数根的概率为 a 1 5 b 2 5 c 3 5 d 4 5 3 在区间 0 2 上任取一个数 x 则使得 2sinx 1 的概率为 a 1 6 b 1 4 c 1 3 d 2 3 4 如图所示 半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域 在圆中随机扔一粒豆子 它落在阴影区域内的概率是1 3 则阴影部分的面积是 a 3 b c 2 d 3 5 2018 北京昌平模拟 设不等式组 x 2y 2 0 x 4 y 2 表示的平面区域为 d 在区域 d 内随机取一个点 则此点到直线 y 2 0 的距离大于 2 的概率是 a 4 13 b 5 13 c 8 25 d 9 25 6 2016 全国卷 从区间 0 1 随机抽取 2n 个数 x1 x2 xn y1 y2 yn 构成 n 个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个 则用随 机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 a 4n m b 2n m c 4m n d 2m n 二 填空题 7 正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为 1 在正方体内随机取点 m 则使四棱锥 m abcd 的体积小于1 6的概率为 8 记集合 a x y x2 y2 4 和集合 b x y x y 2 0 x 0 y 0 表示的平 面区域分别为 1和 2 若在区域 1内任取一点 m x y 则点 m 落在区域 2的概率为 9 在区间 0 1 内随机地取出两个数 则两数之和小于6 5的概率是 三 解答题 10 甲 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头 它们在一昼夜内任何时刻 到达是等可能的 1 如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时 求它们中的任何一条船不需要等待码头空 出的概率 2 如果甲船的停泊时间为 4 小时 乙船的停泊时间为 2 小时 求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率 11 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干 其标号为 0 的小球 1 个 标号为 1 的小球 1 个 标号为 2 的小球 n 个 若从袋子中随机抽取 1 个小球 取到标号为 2 的小球的 概率是1 2 1 求 n 的值 2 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球 记第一次取出的小球标号为 a 第二次取出的 小球标号为