2011年高考数学试卷解析版-全国卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 理两份 2011年高考题全国卷 文 科全解全析 科目： 数学 试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 科 ) 知识点检索号 新课标 题目及解析 1 （ 1）设集合 1, 2, 3, 4U , 1, 2, 3 ,M 2, 3, 4 ,N 则U =（ M N ）（ A） 12， （ B） 23， （ C） 2， 4 （ D） 1， 4 【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求 2 , 3 , 进而求出其补集为 1， 4 . 【精讲精析】选 D. 2 , 3 , ( ) 1 , 4 M N Q I 4 （ 2）函数 2 ( 0 )y x x 的反 函数为 （ A） 2 ()4xy x R（ B） 2 ( 0)4（ C） 24() （ D） 24 ( 0 )y x x 【思路点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围，它是反函数的定义域。 【精讲精析】选 ( 0 )y x x 中， 0y 且反解 x 得 24所以 2 ( 0 )y x x 的反函数为 2 ( 0 )4. 20 （ 3）设向量 , | | | 1则 2 A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出 ab，而由 ab 推不出选项的选项 . 【精讲精析】选 使 P ,a b a b 推不出 P，逐项验证可选 A。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 29 （ 4）若变量 x， y 满足约束条件 63 ，则 =2 3z x y 的最小值为 （ A） 17 （ B） 14 （ C） 5 （ D） 3 【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数=2 3z x y 的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系，进而确定过直线 x=1 与 2 的交点时取得最小值。 【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线 =2 3z x y 过直线 x=1 与2 的交点（ 1， 1）时取得最小值 ,所以最小值 为 5. 24 （ 5）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 22 （ D） 33 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出 ab，而由 ab 推不出选项的选项 . 【精讲精析】选 使 P ,a b a b 推不出 P，逐项验证可选 A。 11 （ 6）设 n 项和，若1 1a，公差 2d ，2 24，则 k （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路点拨】思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二： 利用2 2 1k k k a a 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k a a a k d k k 19 （ 7）设函数 ( ) c o s ( 0 )f x x ，将 ()y f x 的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 （ A） 13（ B） 3 （ C） 6 （ D） 9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要， 将 ()y f x 的图像向右平移3个单2011 年高考数学试卷解析版 理两份 位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍。 【精讲精析】选 C. 由题 2 ()3 k k Z ,解得 6k ，令 1k ，即得 . 40 (8) 已知直二面角 l ， 点 A ， AC l ,C 为垂足，点 B ， BD l ,D 为垂足 B=2， D=1，则 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。 【精讲精析】选 C. 在平面内过 C 作 /D ，连接 四边形 平行四边形 ，因为 BD l ，所以 CM l ，又 AC lQ , 就是二面角 l 的平面角。 90 o. 所以 2 2 2 2 2 2 ,A B A M M B A C B D C D 代入后不难求出 2。 45 (9)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种 【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出 2 人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙 . 【精讲精析】选 人选修课程甲有 24 6C 种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选 1 门课程有 22 2A 种选法，根据分步计数原理，有 6 2 12 种选法。 6 (10)设 () 的奇函数，当 0 x 1 时， () (1 )，则 5()2f = (A) ) 1 4(C)14(D)12 【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 52转化到区间 0,1上进行求值。 【精讲精析】选 A. 先利用周期性，再利用奇偶性得 : 5 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2f f f . 42 (11)设两圆 1C 、 2C 都和两坐标轴相切，且都过点（ 4， 1），则两圆心的距离 12 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 (A)4 (B)42 (C)8 (D)82 【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线 y=x 上并且在第一象限是解决这个问题的关键。 【精讲精析】选 y=x 上并且在第一象限 ,设圆心坐标为 (a,a)(a0),则22( 4 ) ( 1 )a a a ,求出 a=1,a=1(1,1),9),所以由两点间的距离公式可求出12 82. 42 (12)已知平面截一球面 得圆 M，过圆心 M 且与成 060 二面角的平面截该球面得圆 ，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。 【精讲精析】选 B. 作示意图如，由圆 M 的面积为 4 ，易得222 , 2 3M A O M O A M A ， 中， 30o 。 故 2c o s 3 0 3 , 3 9 O M S o. 45 (13)(1- x )20的二项展开式中， x 的系数与 数之差为 : . 【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 r n . 【精讲精析】 0. 由 201 2 0 () x 得 x 的系数为 220C, 820C,而 18 220 20 17 (14)已知 a ( ， 32)， 2，则 . 【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。 【精讲精析】 55由 a ( ， 32)， 2 得 15c o . 39 （ 15）已知正方体 E 为 异面直线 成角的余弦值为 . 【思路点拨】找出异面直线 C 所成的角是解本题的关键。只要在平面 作2011 年高考数学试卷解析版 理两份 及 【精讲精析】 23取 连接 就是异面直线 C 所成的角。在 中， 222 3 5 2c o 3 3 。 33 (15)已知 : 2927y=1 的左、右焦点，点 A C，点 M 的坐标为 (2， 0)， |= . 【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】 6. 由角平分线定理得：22 1211| | | | 1 , | | | | 2 6| | | | 2A F M F A F A F M F ,故 2| | 6. 12 (17)(本小题满 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 设等比数列 n 项和为知2 6,a 136 30,求【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思 想建立关于 q 的方程，求出 q，然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。 【精讲精析】 设 q,由题设得 11166 3 0a q解得 1 32或 1 23， 当1 3, 2时， 13 2 , 3 ( 2 1 ) 当1 2, 3时， 12 3 , 3 1 . 21 （ 18） (本小题满 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 s i n c s i n 2 s i n s i C a C b B . ( )求 B； （）若 07 5 , 2, . 【思路点拨】第（ I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。 （ （ I）问的基础上知道两角一边可 以直接利用正弦定理求解。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 【精讲精析】 (I)由正弦定理得 2 2 22a c a c b 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c a c B 。 故 2，因此 45B o 。 （ s i n s i n ( 3 0 4 5 )A oo s i n 3 0 c o s 4 5 c o s 3 0 s i n 4 5o o o o 264 故 s i n 2 6 13s i n 2 s i n s i n 6 026s i n s i n 4 5 46 (19)(本小题满 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； （）求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 . 【思路点拨】 此题第（ I）问所求概率可以看作“ 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 ”和“ 该地的 1 位车主购买甲种保险 ”两个事件的和 。 由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。 (（ ，关键是求出“ 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买 ”的概率，然后再借助 n 次独立重复试验发生 k 次的概率计算公式求解即可 . 【精讲精析】 记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险： B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。 C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买； E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不 购买。 （ I） P(A)=(B)=A+B 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=(=C ,P(D)=1)=P(E)= 223 0 . 2 0 . 8 0 . 3 8 4C . 39 (20） (本小题满 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 如图，四棱锥 S 中， D ，侧面 等边三角形 . 2 , 1A B B C C D S D . (I) 证明： 平 面 (求 平面 成角的大小。 【思路点拨】 第（ I）问的证明的突破口是利用等边三角形 个条件，找出 中点 E，连结 做出了解决这个问题的关键辅助线。 (题直接找线面角不易找出，要找到与 行的其它线进行转移求解。 【精讲精析】 证明：（ I）取 点 E，连结 四边形 矩形， B=2。 连结 ,3S E A B S E 又 ，故 2 2 2E D S E S D 所以 为直角。 由 ,A B D E A B S E D E S E E I，得 D E 平 面 ,所以 D . 两 条相交直线 垂直。 所以 平 面 （ D E 平 面 知， A B C D S D E平 面 平 面 作 E ，垂足为 F，则 B C D 平 面 , 32S D S E作 C ，垂足为 G，则 C=1。 连结 C 又 C ， G GI ,故 ,B C S F G S B C S F G平 面 平 面 平 面， 高考数学试卷解析版 理两份 作 G ， H 为垂足，则 F H 平 面 . 37S F F 即 F 到平面 距离为 217。 由于 以 平 面 E 到平面 距离 17。 设 平面 成的角为 ，则 21s i , 21a rc s . 解法二： 以 C 为坐标原点，射线 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D（ 1， 0， 0），则 A（ 2， 2， 0）， B（ 0，2， 0）。 又设 S（ x,y,z），则 x0,y0,z0. (I)( 2 , 2 , ) , ( , 2 , ) , ( 1 , , )A S x y z B S x y z D S x y z u u ur u u ur u u 2 2 2 2 2 2| | | | ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A S B S x y z x y z u u ur u u 故 x=1. 由 | | 1DS 221， 又由 | | 2BS， 2 2 2( 2 ) 4x y z 即 22 4 1 0y z y ，故 13,22。 于是 1 3 3 3 3 3 1 3( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 1 , , ) , ( 0 , , )2 2 2 2 2 2 2 2S A S B S D S u u ur u u ur u u 0 , 0D S A S D S B S ,D S A S D S B S，又 S SI 所以 平 面 . 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （ 平面 法向量 ( , , )a m n pr ， 则 , , 0 , 0 ,a B S a C B a B S a C B r u u ur r u u ur r u u ur r u u 33( 1 , , ) , ( 0 , 2 , 0 )22B S C B u u u 33 02220m n 取 2p 得 ( 3 , 0 , 2 )a r ，又 ( 2 , 0 , 0 )21c o s ,7| | | |A B a u u ur ru u ur ru u ur r. 故 平面 成的角为 2153 （ 21） (本小题满 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 已知函数 32( ) 3 ( 3 6 ) + 1 2 4f x x a x a x a a R ( )证明： 曲线 ( ) 0y f x x在 处 的 切 线 过 点 （ 2 ， 2 ） ； （）若00()f x x x x在 处 取 得 最 小 值 ， （ 1 ， 3 ） ，求 a 的取值范围。 【思路点拨】 第 (I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。 (（ 是含参问题，关键是抓住方程 ( ) 0 的判别式进行分类讨论 . 【精讲精析】 解：（ I） 2( ) 3 6 3 6f x x a x a . 由 ( 0 ) 1 2 4 , ( 0 ) 3 6f a f a 得曲线 ()y f x 在 x=0 处的切线方程为 ( 3 6 ) 1 2 4y a x a 由此知曲线 ()y f x 在 x=0 处的切线过点（ 2， 2）。 （ ( ) 0 得 2 2 1 2 0x a x a （ i） 当 2 1 2 1a 时， () ( 21a 或 21a 时，由 ( ) 0 得 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 22122 1 , 2 1x a a a x a a a 故02由题设知 21 2 1 3a a a ， 当 21a 时，不等式 21 2 1 3a a a 无解； 当 21a 时，解不等 式 21 2 1 3a a a 得 5 212 a 综合 (i)( a 的取值范围是 5( , 2 1)2 。 35 （ 21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 22:12在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 l 与 C 交与 A、 B 两点，点 P 满足 O B O P ( )证明：点 P 在 C 上； （）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 O B O P 坐标表示后求出 P 点的坐标，然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、 B 两点的横坐标表示出来。从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 上。 (问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 ,互补 求正切值时要注意利用倒角公式。 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N，然后证明 N 到四个点 A、 B、 P、 Q 的距离相等即可 . 【精讲精析】 (I)设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 2 1l y x ，与 22 12联立得 24 2 2 1 0 126 2 6 2,44 1 2 1 221,24x x x x 由 O B O P 1 2 1 2( ( ) , ( ) )P x x y y 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 122() 2 , 1 2 1 2 1 2( ) ( 2 1 2 1 ) 2 ( ) 2 1y y x x x x 222 ( 1 )( ) 122 所以点 P 在 C 上。 （ 一：12121212( 1 ) ( 1 )22( ) ( )t a n( 1 ) ( 1 )1122( ) ( )22P A P P 2 1 2 11 2 1 23 ( ) 4 ( )33 2 93 ( )22x x x xx x x x 同理 212121211122()22t a 22Q B Q Q 1 2 2 11 2 1 2( ) 4 ( )3213 ( )22x x x xx x x x 所以 ,互补， 因此 A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上。 法二：由 2( , 1)2P 和题设知， 2( ,1)2Q,垂直平分线12 设 中点为 M，则 21( , )42M， 垂直平分线2124 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 由 得1l、21( , )88N 222 2 1 3 1 1| | ( ) ( 1 )2 8 8 8 , 2 21 32| | 1 ( 2 ) | | 2A B x x 32|4 , 222 2 1 1 3 3| | ( ) ( )4 8 2 8 8 , 22 3 1 1| | | | | | 8N A A M M N 故 | | | |A .| | | | , | | | |N P N Q N A N B 所以 A、 P、 B、 Q 四点在同一圆圆 N 上 . 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 2011年高考题全国卷 理科全解全析 科目： 数 学 试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 科 ) 知识点检索号 新课标 题目及解析 （ 1）复数 1 ， z 为 z 的共轭复数，则 1zz z （ A） 2i （ B） i （ C） i （ D） 2i 【思路点拨】 先求出的 z 共轭复数 ,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选 B. 1 , 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1z i z z z i i i i . （ 2）函数 2 ( 0 )y x x 的反函数为 （ A） 2 ()4xy x R（ B） 2 ( 0)4（ C） 24() （ D） 24 ( 0 )y x x 【思路点拨】 先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围，它是反函数的定义域。 【精讲精析】选 ( 0 )y x x 中， 0y 且反解 x 得 24所以 2 ( 0 )y x x 的反函数为 2 ( 0 )4. （ 3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 22 （ D） 33 【思路点拨】 本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出 ab，而由 ab 推不出选项的选项 . 【精讲精析】选 使 P ,a b a b 推不出 P，逐项验证可选 A。 （ 4）设 等差数列 前 n 项和，若 1 1a ，公差 2d ， 2 24，则 k 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路点拨】 思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二： 利用2 2 1k k k a a 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k a a a k d k k （ 5）设函数 ( ) c o s ( 0 )f x x ，将 ()y f x 的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 （ A） 13（ B） 3 （ C） 6 （ D） 9 【思路点拨】 此题理解好三角函数周期的概念至关重要， 将 ()y f x 的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍。 【精讲精析】选 C. 由题 2 ()3 k k Z ,解得 6k ，令 1k ，即得 . (6)已知直二面角 l ，点 ,A AC l,C 为垂足， ,B B D l D为垂足若 ，D=1，则 D 到平面 距离等于 (A) 23(B) 33(C) 63(D) 1 【思路点拨】 本题关键是找出或做出点 D 到平面 距离 据面面垂直的性质不难证明 平面 ，进而 平 面 平面 以过 D 作 C 于 E，则 是要求的距离。 【精讲精析】选 C. 如图，作 C 于 E，由 l 为直二面角， AC l得 平面 ，进而 E ，又,B C D E B C A C CI，于是 平面 距离。 在 中，利用等面积法得 1 2 633B D D . 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 (7)某同学 有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1本，则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种 【思路点拨】 本题要注意画 册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。 【精讲精析】选 出的 1 本画册， 3 本集邮册，此时赠送方法有 14 4C 种；取出的 2 本画册， 2 本集邮册，此时赠送方法有 24 6C 种。总的赠送方法有 10 种。 (8)曲线 y= 2+1 在点 (0， 2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D)1 【思路点拨】 利用导数求出点（ 0， 2）切线方程然后分别求出与直线 y=0 与 y=x 的交点问题即可解决。 【精讲精析】选 A. 202 , | 2x ry e y 切线方程是： 22 ,在直角坐标系中作出示意图，即得 1 2 112 3 3S 。 (9)设 () 的奇函数，当 0 x 1 时， () 2 (1 )，则 5()2f = (A) ) 1 4(C)14(D)12 【思路点拨】 解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把 自变量 52转化到区间 0,1上进行求值。 【精讲精析】选 A. 先利用周期性，再利用奇偶性得 : 5 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2f f f . (10)已知抛物线 C： 2 4的焦点为 F，直线 24与 C 交于 A， B 两点 则 = (A)45(B)35(C) 35(D) 45【思路点拨】 方程联立求出 A、 B 两点后转化为解三角形问题。 【精讲精析】选 D. 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 联立 2 424，消 y 得 2 5 4 0 ，解得 1, 4. 不妨设 A 在 x 轴上方，于是 A， B 的坐标分别为 (4,4),(1, 可求 3 5 , 5 , 2A B A F B F ，利用余弦定理 2 2 2 4c o B F A F B F . (11)已知平面截一球面 得圆 M，过圆心 M 且与成 060 二面角的平面截该球面得圆 ，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路点拨】 做出如图所示的图示，问题即可解决。 【精讲精析】选 B. 作 示 意 图 如 ， 由 圆 M 的 面 积 为 4 ，易得222 , 2 3M A O M O A M A ， 中， 30o 。 故 2c o s 3 0 3 , 3 9 O M S o. (12)设向量 ,r r 满足 1| | | | 1 , , , 6 02a b a b a c b c or r r r r r r r，则 |最大值等于 (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1 【思路点拨】 本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图 形，然后分析观察不难得到 当线段 直径时， |大 . 【精讲精析】选 造 , , , 1 2 0 , 6 0 ,A B a A D b A C c B A D B C D u ur r u u ur r u u ur r， 所以 A、 B、 C、 D 四点共圆，分析可知当线段 直径时， |大，最大值为 2. (13)(1- x )20的二项展开式中， x 的系数与 系数之差为 : . 【思路点拨】 解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 r n . 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 【精讲精析】 0. 由 201 2 0 () x 得 x 的系数为 220C, 系数为 1820C,而 18 220 20 (14)已知 a (2， )， 55，则 【思路点拨】 本题涉及到同角三角函数关系式 ,先由正 弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。 【精讲精析】 43.由 a (2， )， 55得 2 5 s i n 1c o s , t a n5 c o s 2 , 22 t a n 4t a n 2 1 t a n 3 . (15)已知 别为双曲线 C: 2927y=1 的左、右焦点，点 A C，点 M 的坐标为 (2， 0)， 平分线则 |A = . 【思路点拨】 本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】 6. 由角平分线定理得：22 1211| | | | 1 , | | | | 2 6| | | | 2A F M F A F A F M F ,故 2| | 6. (16)己知点 E、 F 分别在正方体 棱 ，且 面面 成的二面角的正切值等于 . 【思路点拨】 本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键 ,延长 与 交，交点为 P，则 面 面 交线 . 【精讲精析】 F 交 延长线于 P，则 面 面 交线，因为90o ，所以 为面 面 成的二面角的平面角。 223t a (17)(本小题满分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 C=90， a+c= 2 b，求 C. 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 【思路点拨】 解决 本题 的突破口是 利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合 A C=90 ,得到 【精讲精析】选 0o ，得 A 为钝角且 ， 利用正弦定理， 2a c b 可变形为 s i n s i n 2 s i B， 即有 s i n s i n c o s s i n 2 s i n ( 4 5 ) 2 s i C C C B o， 又 A、 B、 C 是 的内角，故 45o 或 ( 4 5 ) 1 8 0 去 ) 所以 ( 9 0 ) ( 4 5 ) 1 8 0A B C C C C o o o。 所以 15C o . (18)(本小题满分 12 分 )(注意： 在试题卷上作答无效 ) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种 保险 的概率为 0 5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率； ( )X 表示该地的 车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 【思路点 拨】解本题应首先主出 该车主购 买乙种保险的概率为 p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为 可求出 p=利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可 . 【精讲精析】 设该车主购买乙种保险的概率为 p,由题意知： (1 0 0 ，解得 。 （ I） 设所求概率为 1 1 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 8P . 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 （ 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1 0 . 5 ) (1 0 . 6 ) 0 . 2 。 ( 1 0 0 , 0 . 2 ) . 1 0 0 0 . 2 2 0X B E X : 所以 X 的期望是 20 人。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （ 19 ） 如 图 ， 四 棱 锥 S 中，/D , D ，侧面 等边三角形，2 , 1A B B C C D S D . （）证明： A B 平 面 ; （ )求 平面 成角的大小 . 【思路点拨】 本题第（ I）问可以直接证明，也可建系证明。 （ 立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题 ,思路清晰思维量小。 【精讲精析】 计算 ， 5 , 2A D ，于是 2 2 2S A S D A D，利用勾股定理，可知A ，同理，可证 B 又 B SI ， 因此， 平 面 . （ D 做 D z A B C D 平 面 ，如图建立空间直角坐标系 A(2,),B(2,1,0),C(0,1,0), 13( , 0, )22一个法向量是 ( 0 , 3 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 )n A Br u u | 2 3 2 1| c o s , |7| | | | 27A B n u u ur ru u ur ru u ur r. 所以 平面 成角为 21（ 20）设数列 a且111 （）求 （）设 111 , , 1 n k b 记 S 证 明 ： 【思路点拨】 解本题突破口关键是由式子111 得到 11等差数列，进2011 年高考数学试卷解析版 理两份 而可求出数 列 （ 求出 【精讲精析】 (I) 11 公差为 1 的等差数列， 111 ( 1 ) 1 所以 1 ()n na n (1 11 1111n n n 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 11 2 2 3 1 1n n n L. （ 21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 22:12在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 l 与 C 交与 A、 B 两点，点 P 满足 O B O P ( )证明：点 P 在 C 上； （）设点 P 关 于点 O 的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . 【思路点拨】 方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 O B O P 坐标表示后求出 P 点的坐标，然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、 B 两点的横坐标表示出来。从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上。 (问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 ,互补 求正切值时要注意利用倒角公式。 思路二：根据圆 的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N，然后证明 N 到四个点 A、 B、 P、 Q 的距离相等即可 . 【精讲精析】 (I)设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 高考数学试卷解析版 理两份 直线 : 2 1l y x ，与 22