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文档简介

1 曲线和曲面上的积分 场论 2 基本概念 梯度场 设 是 Rn上的一个光滑实值函数 纯量场 自然给出了 上的一个向量场 也记为 它称为 的梯度场 简称梯度场 散度场 设F是 Rn上的光滑向量场 上的 数量场 称作F的散度 场 也记作div F F n i i i x F F 1 div 3 基本概念 续 旋度场 设F P Q R 是 R3上的一个光滑 向量场 向量场 称作F的旋度 向量场 也记成rot F F 记号 读作nabla 也称作梯度算子 把它理 解为 y P x Q x R z P z Q y R F rot n xx 1 4 梯度场的意义 设 是 Rn上的一个光滑实值函数 纯量场 是其梯度场 也记作grad 的基本意义是给出了 在 的各点最大的 方向导数的值及其方向 给出了 的等高面 x c上的法向量场 x0 x x0 0是等高面 x x0 在x0点的 切平面 是描述数量场 扩散的基本数学量 5 散度场的意义 设F是 Rn上的一个光滑向量场 div F F 叫做F的散度场 div F x0 表示向量场F在x0点的发散程度 设 V是包含x0点 x0点为内点 的区域F在V上的 平均发散程度定义为 当 V 趋于零时 由Gauss公式就得到上面的解 释 div F x0 0表示x0是F的源 或漏 点 V NdF V 1 6 梯度场的散度场 设 是 Rn上的一个光滑实值函数 纯量场 其梯度场 的散度场div 在讨论温度 场和密度场等数量场时是基本的 叫Laplace算子 如果div F 0 就称F为无源场 例如三维空 间中 向量场的旋度场就是无源场 7 旋度场的意义 设F P Q R 是 R3上的一个光滑向量场 rot F curl F F叫F的旋度 curl F x0 表示向量场F在x0点的环流 涡旋 程度 是一个向量 它的解释要复杂一些 取 定义个方向n 单位向量 S是过x0点与n垂直 的平面区域C是其边界曲线 取其方向与n的 方向成右手螺旋 定义F在S上在n方向上的 平均环流为 C drF S 1 8 旋度场的意义 续 当 S 趋于零时 其极限定义为定义F在x0点 在n方向的环流curl F n x0 由Stokes公式 curl F n x0 curl F x0 n 如果一个F的旋度为零 F称为无旋场 例如 梯度场就是无旋场 雁过无痕 整理发布
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