线性代数PPT全集ppt.ppt

课程简介 线性代数是代数学的一个分支 主要处理线性关系 问题 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的 最简单的线性问题就是解线性方程组 行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具 也推动了线性代数的发展 向量概念的引入 形成了向 量空间的概念 而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论 因此向量空间及其线性变换 以及与此相联系 的矩阵理论 构成了线性代数的中心内容 它的特点是研究的变量数量较多 关系复杂 方法上既有严谨的逻辑推证 又有巧妙的归纳综合 也有繁琐和技巧性很强的数字计算 在学习中 需要特别加强这些方面的训练 第一章行列式 第二章矩阵及其运算 第三章矩阵的初等变换及线性方程组 第四章向量组的线性相关性 基础 基本内容 用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容 第五章相似矩阵及二次型 矩阵理论 一 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元 一次 线性方程组 第一章行列式 1 2 1 a22 a11a22x1 a12a22x2 b1a22 2 a12 a12a21x1 a12a22x2 b2a12 两式相减消去x2 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 b2a12 1 1二阶与三阶行列式 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横为行 竖为列 的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 例1 解 二 三阶行列式 定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 1 沙路法 三阶行列式的计算 2 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 若记 或 记 即 得 得 则三元线性方程组的解为 例 解 按对角线法则 有 例3 解 方程左端 例4解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 三 小结 思考题 思考题解答 解 设所求的二次多项式为 由题意得 得一个关于未知数的线性方程组 又 得 故所求多项式为 1 2全排列及其逆序数 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 这是一个大家熟知的问题 答案是 3 6 将此问题推广 把n个不同的元素按先后次序排成一列 共有多少种不同的排法 定义 把n个不同的元素排成一列 叫做这n个元素的全排列 或排列 n个不同的元素的所有排列的种数 通常用Pn表示 称为排列数 Pn n n 1 n 2 2 1 n 一 全排列 二 排列的逆序数 定义 在一个排列i1i2 is it in中 若数is it 则称这两个数组成一个逆序 例如 排列32514中 我们规定各元素之间有一个标准次序 以n个不同的自然数为例 规定由小到大为标准次序 32514 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 前面的数比后面的数大 32514 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为 3 1 0 1 0 0 1 0 3 1 5 例如 排列32514中 计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 方法1 分别计算出排在1 2 n前面比它大的数码的个数并求和 即先分别算出1 2 n这n个元素的逆序数 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数 方法2 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和 即算出排列中每个元素的逆序数 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 方法3 依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和 即算出排列中每个元素的逆序数 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 例1 求排列32514的逆序数 解 在排列32514中 3排在首位 则3的逆序为0 2的前面比2大的数只有一个3 故2的逆序为1 32514 没有比5大的数 故其逆序为0 个 故其逆序为3 4的前面比4大的数有1个 故逆序为1 5的前面 1的前面比1大的数有3 即 于是排列32514的逆序数为t 0 1 0 3 1 5 解 此排列为偶排列 例2 计算下列排列的逆序数 并讨论其奇偶性 1 217986354 217986354 0 1 0 0 1 3 4 4 5 于是排列217986354的逆序数为 t 0 1 0 0 1 3 4 4 5 18 2 n n 1 n 2 21 解 n n 1 n 2 21 0 1 2 n 1 n 2 t 0 1 2 n 2 n 1 于是排列n n 1 n 2 21的逆序数为 此排列当n 4k 4k 1时为偶排列 当n 4k 2 4k 3时为奇排列 3 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k 1 k 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k 1 k 解 0 1 2 1 2 3 3 k 1 k 1 k t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k 于是排列 2k 1 2k 1 2 2k 2 k 1 k 1 k的逆序数为 此排列当k为偶数时为偶排列 当k为奇数时为奇排列 1 n个不同的元素的所有排列种数为n 个 2 排列具有奇偶性 3 计算排列逆序数常用的方法 三 小结 1 3n阶行列式的定义 一 概念的引入 三阶行列式 说明 1 三阶行列式共有6项 即3 项 说明 2 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 说明 3 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数 行标为标准排列 例如a13a21a32 将行下标标准排列 列下标排列312的逆序数为 t 312 1 1 2 偶排列 a13a21a32的前面取 号 例如a11a23a32 将行下标标准排列 列下标排列132的逆序数为 t 132 0 1 1 奇排列 a11a23a32的前面取 号 其中 是对列下标的所有排列求和 3 项 t是列下标排列p1p2p3的逆序数 二 n阶行列式的定义 定义 设由n2个数排成一个n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积 并冠以符号 1 t 得到形如 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为排列p1p2 pn的逆序数 的项 所有这n 项的代数和 称为 由上述数表构成的 n阶行列式 记作 简记作det aij 数aij称为行列式det aij 第i行第j列 的元素 即 说明1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的 说明2 n阶行列式是n 项的代数和 说明3 n阶行列式的每项都是位于不同行 不同列n个元素的乘积 的符号为 1 t 说明4 一阶行列式的符号 a a 不要与绝对值符号相混淆 一般不使用此符号 例1 计算对角行列式 解 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零 同理可得 p2 3 p3 2 p4 1 所以只能p1 4 若p1 4 则 即行列式中非零的项为 1 t 4321 a14a23a32a41 即 例2 计算上三角行列式 解 分析 展开式中项的一般形式是 所以非零的项只可能是 a11a22 ann 从最后一行开始讨论非零项 显然 pn n pn 1 n 1 pn 2 n 2 p2 2 p1 1 即 显然 1 4 5 8 同理可得下三角行列式 对角行列式 例5 设 证明 D1 D2 中b的指数正好是a的行标与列标的差 证 由行列式定义有 由于p1 p2 pn 1 2 n 所以 故 行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式 n阶行列式共有n 项 每项都是位于不同行 不同列的n个元素的乘积 正负号由下标排列的逆序数决定 三 小结 思考题 已知多项式 求x3的系数 思考题解答 含x3的项有仅两项 即 对应于 x3 2x3 故x3的系数为 1 1 t 1234 a11a22a33a44 1 t 1243 a11a22a34a43 一 对换的定义 1 4对换 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换 a1a2 alabb1 bm a1a2 albab1 bm a1a2 alab1 bmbc1 cn a1a2 albb1 bmac1 cn 例如 二 对换与排列奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 即除a b外 其它元素的逆序数不改变 证明 先考虑相邻对换的情形 a1a2 alabb1 bm a1a2 albab1 bm 例如 因此 相邻对换排列改变奇偶性 当a b时 对换后a的逆序数增加1 b的逆序数不变 当a b时 对换后a的逆序数不变 b的逆序数增加1 a1a2 alab1 bmbc1 cn a1a2 albb1 bmac1 cn 对一般对换的情形 例如 经过m次相邻对换 排列a1a2 alab1 bmbc1 cn对 换为a1a2 alabb1 bmc1 cn 再经过m 1次相邻对换 对 换为a1a2 albb1 bmac1 cn 共经过了2m 1次相邻对换 所以 由相邻对换的结果知 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 所以一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 对一般对换的情形 例如 a1a2 alab1 bmbc1 cn a1a2 albb1 bmac1 cn 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明 由定理1知 对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为0 论成立 因此 推 下面讨论行列式的另一种定义形式 对于行列式的任一项 其中12 i j n为自然排列 其逆序数0 t为列标排列p1p2 pi pj pn的逆序数 对换元素 此时 行标排列12 j i n的逆序为奇数 而列标排列p1p2 pj pi pn的逆序也改变了一次奇偶性 换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变 即t 1 j i n t p1 pj pi pn 与t p1 pi pj pn 具有相同的奇偶性 因此 对 故 一般地 经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为 1 t 因此 总可以经过 若干次对换行列式的任一项 得 其中s为行下标排列q1q2 qn的逆序数 定理2 n阶行列式也可定义为 其中s为行标排列q1q2 qn的逆序数 并按行标排列求和 定理3 n阶行列式也可定义为 其中t为行标排列p1p2 pn与列标排列q1q2 qn的逆序数之和 并按行标排列 或列标排列 求和 因此 我们可以得到行列式的另一种定义形式 根据以上讨论 还可以如下定义 例1 试判断a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项 解 a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列 列标排列的逆序数为 t 431265 0 1 2 2 0 1 6 偶数 所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项 将 a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列 则其列标排列的逆序数为 t 452316 0 0 2 2 4 0 8 偶数 所以 a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项 解 将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列 则其列标排列的逆序数为 t 431265 0 1 2 2 0 1 6 偶数 所以a23a31a42a56a14a65的前边应带正号 例2 在六阶行列式中 下列两项各应带什么符号 1 a23a31a42a56a14a65 2 a32a43a14a51a66a25 项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之和为t 341562 t 234165 0 0 2 0 0 4 0 0 0 3 0 1 6 4 10 偶数 所以a32a43a14a51a66a25的前边应带正号 例3 用行列式的定义计算 解 由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素 所以Dn 1 ta1n 1a2n 2 an 11ann Dn 1 t1 2 n 1 n 1 tn 即 而 t t n 1 n 2 21n 0 1 2 n 3 n 2 0 n 1 n 2 2 所以 三 小结 1 对换排列中的任意两个元素 排列改变奇偶性 2 行列式的三种定义方法 其中r为行标排列p1p2 pn与列标排列q1q2 qn的逆序数之和 并按行标排列 或列标排列 求和 思考题 证明在全部n阶排列中 n 2 奇偶排列各占一半 思考题解答 证 设在全部n阶排列中有s个奇排列 t个偶排列 则s t n 现来证s t 若将所有s个奇排列的前两个数作对换 则这s个奇排列全变成偶排列 故必有s t 若将所有t个偶排列的前两个数作对换 则这t个偶排列全变成奇排列 如此产生的s个偶排列不会超 过所有的s个奇排列 所以t s 过所有的t个偶排列 所以s t 如此产生的t个奇排列不会超 1 5行列式的性质 一 行列式的性质 行列式DT称为行列式D的转置行列式 记 将D的行列互换就得到 证明 记行列式D det aij 的转置行列式为 性质1 行列式与它的转置行列式相等 即DT D 按定义 即bij aji i j 1 2 n 又由行列式的另一种表示得 所以 DT D 结论成立 说明 性质1行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的结论 对列也同样成立 性质2 互换行列式的两行 列 行列式变号 证明 设行列式 是由行列式 互换i j i j 两列得到 即 当k i j时 bpk apk 当k i j时 bpi apj bpj api 于是 其中t为排列p1 pi pj pn的逆序数 设s为排列p1 pj pi pn的逆序数 显然t与s的奇偶性不同 即 1 t 1 s 所以 例如 推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 则有D D 所以D 0 性质3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 即 推论 行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质4 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 性质5 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 例如 则D等于下列两个行列式之和 证明 故结论成立 性质6 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 例如 引入记号 用ri表示第i行 ci表示第i列 在计算行列式时 我们经常利用性质2 3 6对行列式进行变换 利用性质2交换行列式的第i j两行 列 记作ri rj ci cj 利用性质6把行列式的第j行 列 的各元素乘以同一数k然后加到第i行 列 对应的元素上去 记作ri rj k ci cj k 利用性质3行列式的第i行 列 乘以数k 记作ri k ci k 二 行列式计算 计算行列式常用方法 利用性质2 3 6 特别是性质6把行列式化为上 下 三角形行列式 从而 得到行列式的值 结论 上 下 三角行列式 主对角线行列式的值等于其主对角元的乘积 例1 计算5阶行列式 解 例2计算 解 解 将第2 3 n列都加到第一列得 例3 计算n阶行列式 第2 3 n行都减去第一行得 例4 设 证明 D D1D2 证明 对D1作行运算ri trj 把D1化为下三角形行列式 对D2作列运算ci kcj 把D2化为下三角形行列式 先对D的前k行作行运算ri trj 然后对D的后n列作列运算ci kcj 把D化为下三角形行列式 故 D p11 pkkq11 qnn D1D2 例5计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 解 将D2n中的第2n行依次与前面的行对换 换至 第二行 再将D2n中的第2n列依次与前面的列对换 换至第二列 共做2 2n 2 次对换 得 若 则称D为对称行列式 若 则称D为反对称行列式 证明 奇数阶反对称行列式的值为0 反对称行列式的主对角元全为0 证明 设n阶反对称行列式为 由行列式的性质1可知 每行提取 1 n为奇数 所以D 0 行列式的6个性质 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上 下 三角形行列式 从而算得行列式的值 三 小结 思考题 其中已知abcd 1 计算行列式 思考题解答 1 6行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式 引例 考察三阶行列式 在n阶行列式D中 把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后 留下来的n 1阶行列式叫做 行列式D的关于 元素aij的余子式 记作Mij 即 记Aij 1 i jMij 称Aij为元素aij的代数余子式 例如 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式 引理 如果一个n阶行列式D的第i行元素除aij外都为零 那么 行列式D等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即D aijAij aijAij 证 当aij位于第一行第一列时 又由于A11 1 1 1M11 M11 由上节例4 即教材中的例10得 D a11M11 从而D a11A11 即结论成立 再证一般情形 此时 把D的第i行依次与第i 1行 第i 2行 第1行交换 得 再把D的第j列依次与第j 1列 第j 2列 第1列交换 得 1 i jaijM 11 显然 M 11恰好是aij在D中的余子式Mij 即M 11 Mij 因此 D 1 i jaijMij aijAij 故引理结论成立 定理3 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n D a1iA1i a2iA2i aniAni i 1 2 n 二 行列式按行 列 展开法则 证 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 由引理得 引理的结论常用如下表达式 i 1 2 n 推论 行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 证 把行列式D det aij 按第j行展开 得 把ajk换成aik k 1 2 n 当i j时 可得 第j行 第i行 同理a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 所以 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j 关于代数余子式的重要性质 其中 说明 由证明过程可知 例1 计算行列式 解 解 按第一行展开 得 例1 计算行列式 如果按第二行展开 得 例2 计算行列式 解 D 例3 证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 说明 1 范德蒙德 Vandermonde 行列式的特点是 每列 行 元素都是分别是同一个数的不同 方幂 方幂的次数从上到下 自左至右 按 递升次序排列 从0到n 1次 2 范德蒙德 Vandermonde 行列式的结果是 满足条件 的所有因子 的连乘积 共有 个因子 证 用数学归纳法 所以 当n 2时 1 式成立 假设对n 1阶范德蒙德行列式 1 式成立 对n阶范德蒙德行列式 作如下变换 ri x1ri 1 i n n 1 2 1 得 按第一列展开 并把每列的公因子 xi x1 提出 就 有 n 1阶范德蒙德行列式 则根据归纳假设得证 例4 计算 解 Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂 方幂的次数自左至右按递升次序排列 但不是从0到n 1 而是从1递升至n 若提出各行的公因子 则方幂的次数便是从0升到n 1 于是得 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式的转置 由范德蒙行列式知 评注 本题所给行列式各行 列 都是某元素的不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式化成范德蒙行列式 例5 计算 解 考虑行列式 一方面 这是一个关于y的n次多项式 其中 的系数是 另一方面 将 按最后一列展开 其中 是 的系数 比较可得 这种方法称为 加边法 升阶法 例6 计算行列式 解 例4 已知 求 解 1 行列式按行 列 展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 三 小结 2 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 A11 A12 A1n 设n阶行列式 思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 A11 A12 A1n 1 7克拉默 Cramer 法则 设线性方程组 若常数项b1 b2 bn不全为零 则称此方程组为非齐次线性方程组 若常数项b1 b2 bn全为零 则称此方程组为齐次线性方程组 1 齐次线性方程组 易知 一定是 2 的解 称为零解 若有一组不全为零的数是 2 的解 称为非零解 定理1 克拉默 Cramer 法则 如果线性方程组 1 的系数行列式不等于零 即 那么 线性方程组 1 有解 且解是唯一的 解可以表为 其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式 即 2020 3 12 147 可编辑 证明 用系数行列式D的第j列元素的代数余子式A1j A2j Anj依次乘方程组 1 的n个方程 得 再把n个方程相加 得 D 由行列式代数余子式的性质可知 上式中xj的系数等于D 而xi i j 的系数均等于0 等式右端为Dj 于是 因此 当D 0时 方程组 2 有唯一解 Dxj Dj j 1 2 n 2 由于方程组 2 与方程组 1 等价 故 也是方程组 1 的唯一解 定理2 如果线性方程组 1 无解或有解但不唯一 则它的系数行列式必为零 定理3 如果齐次线性方程组 3 的系数行列式D 0 则齐次线性方程组 3 没有非零解 3 定理4 如果齐次线性方程组 3 有非零解 则它的系数行列式D必为零 在后面我们将证明 齐次线性方程组 3 有非零解的充分必要条件为 3 的系数行列式D必为零 例1 用克拉默法则解方程组 解 所以 解 例2 用克拉默法则解方程组 所以 例2 问 取何值时 齐次方程组 有非零解 由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D 0 解 则 0 2或 3时 齐次方程组有非零解 解 假设这3点位于直线 上 其中 a b c不同时为0 即有 3点共线等价于上述关于a b c的齐次线性方程组有非零 解 其充要条件是 例4 证明n次多项式至多有n个互异的根 证明 用反证法 假设n次多项式 有n个互异的根 即有 上述关于 的齐次线性方程组的系数 行列式为 因为 互不相等 所以 从而齐次方程组只有零解 这与 矛盾 故结论成立 用克拉默法则解方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 2 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 并不适用于实际计算 小结 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默法则解方程组 此时方程组的解为何 思考题解答 不能 此时方程组可能为无解 或有无穷多解 wangzhaoyanfen 2 1矩阵 一 矩阵概念的引入 1 线性方程组 的解取决于系数aij和常数项bj i 1 2 n j 1 2 m 对线性方程组的研究可转化为对这张数表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2 某航空公司在A B C D四城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的航班图 如果从A到B有航班 则用带箭头的线连接A与B 四城市间的航班图情况常用表格来表示 这个数表反映了四城市间交通联接情况 二 矩阵的定义 定义 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵 简称m n矩阵 记作 简记为 A Am n aij m n aij 这m n个数aij称为矩阵A的 第i行第j列 元素 矩阵与行列式有本质的区别 行列式是一个算式 其行数和列数相同 一个数字行列式经过计算可求得其值 而矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 例如 是一个2 4实矩阵 是一个3 3复矩阵 是一个1 4 实 矩阵 是一个3 1 实 矩阵 是一个1 1 实 矩阵 几种特殊矩阵 1 行数与列数都等于n的矩阵A 称为n阶方阵 也可记作An 对于方阵 可以计算其行列式 但要注意 方阵和方阵的行列式是不同的含义 记作 称为对角矩阵 或对角阵 3 如果En diag 1 2 n diag 1 1 1 则称En为 n阶 单位矩阵 或简称单位阵 简记为E 4 只有一行 列 的矩阵称为行 列 矩阵 或行 列 向量 5 元素全为零的矩阵称为零矩阵 m n阶零矩阵记作Om n或O A O A 0 A 0 A O 若 A 0 称A为奇异矩阵 对于n阶方阵A 6 设A aij 为n阶方阵 对任意i j 如果aij aji都成立 则称A为对称矩阵 如果aij aji都成立 则称A为反对称矩阵 例如 A为对称矩阵 B为反对称矩阵 例1 设 解 由于矩阵A B 则由矩阵相等的定义 已知A B 求x y z x 2 y 3 z 2 得 2 两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵 并且对应元素相等 即aij bij i 1 2 m j 1 2 n 则称矩阵A与B相等 记作A B 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵 三 矩阵的应用 线性变换 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为 称之为恒等变换 单位阵 线性变换 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换 1 矩阵的概念 m行n列的数表 三 小结 2 特殊矩阵 方阵 行矩阵与列矩阵 单位矩阵 对角矩阵 零矩阵 一 矩阵的加法 定义 设两个同型的m n矩阵A aij 与B bij 那末矩阵A与B的和定义为 aij bij 记作A B 即 对应元素相加 2 2矩阵的运算 例如 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 矩阵加法的运算规律 交换律 A B B A 2 结合律 A B C A B C 4 称为矩阵A的负矩阵 5 A A O A B A B 3 A O A 二 数与矩阵相乘 定义 数 与矩阵A aij 的乘积定义为 aij 记作 A或A 简称为数乘 即 注意 与不同 设A B为同型的m n矩阵 为数 1A A 2 A A 3 A A A 4 A B A B 矩阵的数乘的运算规律 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算 三 矩阵与矩阵相乘 引例 设有两个线性变换 将 2 代入 1 这个线性变换称为线性变换 1 和 2 的乘积 线性变换 1 对应的矩阵为 线性变换 2 对应的矩阵为 1 和 2 的乘积对应的矩阵为 由此引出矩阵乘法的定义 定义 设A aij 是一个m s矩阵 B bij 是一个s n矩阵 定义矩阵A与矩阵B的乘积C cij 是一个m n矩阵 其中 i 1 2 m j 1 2 n 并把此乘积记作C AB 是A中的第i行元素与B中第j列的对应元素相乘再相加 例1 例2 当运算可行或作为运算结果时 一阶矩阵可以与数等同看待 例3 求AB 其中 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 利用矩阵的乘法 若记 则线性变换可记作 对于线性方程组 则方程组可以表示为 线性方程组的矩阵表示形式 若记 则上述方程组可以表示为 线性方程组的向量表示形式 矩阵乘法的运算规律 结合律 AB C A BC 分配律 A B C AB AC B C A BA CA 3 AB A B A B 其中 为数 当AB有意义时 BA可能无意义 例如 不存在 有意义 但是 注意 1 矩阵乘法一般不满足交换律 即 AB BA 因此要注意矩阵相乘的次序 一般 AB称为A左乘B 或者B右乘A AB和BA都有意义时 它们可能不是同型矩阵 例如 是一阶方阵 但是 是三阶方阵 即使AB和BA都有意义 也是同型矩阵 它们 也可能不相等 例如 设 AB BA 当AB BA时 称A与B不可交换 当AB BA时 称A与B可交换 2 矩阵的乘法一般不满足消去律 即 或 从上述例子还可以看到 此时A与B必为同阶方阵 若 但AB O 则称B是A的右零因子 A是B的左零因子 特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论 单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的 乘法中的作用 若A为方阵 则有 左乘A等于用 乘以A中第i行的元素 右乘A等于用 乘以A中第i列的元素 若 则 例4 计算下列矩阵乘积 解 a11x1 a21x2 a31x3 a12x1 a22x2 a32x3 a13x1 a23x2 a33x3 a11x1 a21x2 a31x3 x1 a12x1 a22x2 a32x3 x2 a13x1 a23x2 a33x3 x3 当矩阵为对称矩阵时 结果为 n阶方阵 若当i j时 则称A为上三角矩阵 若当i j时 则称A为下三角矩阵 结论 两个上 下 三角矩阵的积仍然是上 下 三角矩阵 证明 设A B是两个上三角矩阵 且C AB 当i j时 即C为上三角矩阵 方阵的幂和方阵的多项式 定义 设A是n阶方阵 k个A的连乘积称为A的 k次幂 记作 即 当m k为正整数时 有 只有方阵能定义幂 当AB不可交换时 一般 当AB可交换时 定义设 是x的k次多项式 A是n阶方阵 则称 为方阵A的n次多项式 若f x g x 为多项式 A B为n阶方阵 则 f A g A g A f A 当AB不可交换时 一般 特别当矩阵为对角阵 diag 1 2 n 时 则 f a0E a1 ak k 方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式 例如 E A 2E A 2E A A2 E A 3 E 3A 3A2 A3 因为单位矩阵E与任意同阶方阵可交换 所以有 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设 当k n时结论成立 对k n 1时 所以对于任意的k都有 也可利用二项式定理展开计算 记 于是 注意到 即当 时 所以 四 矩阵的转置 定义 把矩阵A的行列互换 所得到的新矩阵 叫做矩阵A的转置矩阵 记作AT 例如 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 A T AT 4 AB T BTAT 转置矩阵的运算性质 一般地 证明 4 设 首先容易看到 与 为同型矩阵 因为 所以 的第i行第j列 的元素为 又因为 中第i行的元素为B中第i列的元素 中第j列的元素为A中第j行的元素 于是 的第i行第j列元素为 故 解法1 因为 所以 解法2 AB T BTAT 例6 设 1 的第i行第j列的元素为 2 的第i行第j列的元素为 3 的第i行第j列的元素为 设A aij 为n阶方阵 对任意i j 如果aij aji都成立 则称A为对称矩阵 如果aij aji都成立 则称A为反对称矩阵 显然 若A是反对称矩阵 那么对任意i 有 由矩阵转置和对称矩阵 反对称矩阵的定义可得 方阵A为对称矩阵的充分必要条件是 A AT 方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是 A AT 证明 因为 例7 设列矩阵X x1x2 xn T 满足XTX 1 E为n阶单位矩阵 H E 2XXT 证明 H为对称矩阵 且HHT E HT E 2XXT T ET 2 XXT T E 2XXT H 所以 H为对称矩阵 E2 E 2XXT 2XXT E 2XXT 2XXT E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XTX XT E 4XXT 4XXT E HHT H2 E 2XXT 2 例8 证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 设C A AT 所以 C为对称矩阵 从而 命题得证 则CT A AT T AT A C 设B A AT 则BT A AT T AT A B 所以 B为反对称矩阵 五 方阵的行列式 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 例如 则 方阵行列式的运算性质 AT A kA kn A 3 AB A B B A BA 定理 设A B是两个n阶方阵 则 思路 利用分块行列式的结论 行列式的性质6及矩阵乘法的定义 对于同阶方阵A和B 一般AB BA 但是 AB BA 继续做 重要例子 例9 设 矩阵A的伴随矩阵注意其元素的下标 证 设 其中 于是 两边取行列式得 因为 所以 类似可证 六 共轭矩阵 定义 当A aij 为复矩阵时 用表示aij的共轭复数 记 称为A的共轭矩阵 运算性质 设A B为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 则 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 五 小结 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两矩阵才能相乘 且矩阵相乘不满足交换律 3 矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同 注意 思考题 思考题解答 设A与B为n阶方阵 等式A2 B2 A B A B 成立的充要条件是什么 答 因为 A B A B A2 BA AB B2 故等式A2 B2 A B A B 成立的充要条件是 AB BA 作业 P53 543 4 7 9 10 在数的运算中 当数a 0时 有aa 1 a 1a 1 在矩阵的运算中 单位阵E相当于数的乘法运算中的1 那么 对于矩阵A 如果存在一个矩阵A 1 使得 AA 1 A 1A E 则矩阵A称为可逆矩阵 称A 1为A逆阵 一 逆矩阵的概念和性质 2 3逆矩阵 或者从线性变换的观点来看 给定线性变换 若记其系数矩阵 则线性变换可记为 若 记 则上式可以写作 这是一个从Y到X的线性变换 它是线性变换 的逆变换 为恒等变换 则有 定义 对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 使得AB BA E则称矩阵A是可逆的 并称矩阵B为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A 1 即 1 A与 为同阶方阵 2 若B是A的逆矩阵 那么A也是B的逆矩阵 3 例如 设 由于AB BA E 所以B为A的逆矩阵 说明 若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 事实上 若设B和C是A的逆矩阵 则有 所以 A的逆矩阵是唯一的 即 AB BA E AC CA E 可得 B EB CA B C AB CE C B C A 1 解 利用待定系数法 即 则 又因为 则 解得 所以 即 AB BA E 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的 必须寻求可行而有效的方法 证明 若A可逆 则有A 1 使得AA 1 E 定理1 矩阵A可逆的充要条件是 A 0 且 其中A 为矩阵A的伴随矩阵 故 A A 1 E 1 所以 A 0 由伴随矩阵的性质 AA A A A E 知 当 A 0时 按逆矩阵的定义得 说明 1 该定理揭示了矩阵可逆的充要条件 并给出了逆矩阵的一种求法 公式法 2 上 下 三角矩阵可逆当且仅当 主对角元全不为0 且当 时 这里逆矩阵由定义得到 若 当 1 2 n 0时 A可逆 且 例2 当a b满足什么条件时 矩阵A不可逆 其中 解 由矩阵可逆的充要条件可知 当a 1或b 2时 A不可逆 当 A 0时 称A为奇异矩阵 否则称A为非奇异矩阵 由此可得 A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵 若A可逆 那么由 AB O B O 由AB AC B C 证明 由AB E得 A B E 1 推论 若AB E 或BA E 则B A 1 故 A 0 因而 A 1存在 于是 B EB A 1A B A 1 AB A 1E A 1 故结论成立 推论说明 若AB E 则一定有BA E 当 A 0时 定义 A0 E A k A 1 k k为正整数 且此时对任意整数 有 A A A A