2009年(全国卷II)(含答案)高考理科数学.doc

.2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、=( )A.-2+4i B.-2-4i C.2+4i D.2-4i2、设集合A=x|x3,B=x|,则AB=( )A. B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+)3、已知ABC中，,则cosA=( )A. B. C. D.4、曲线在点（1,1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=05、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6、已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=,则|b|=( ) A. B. C.5 D.257、设a=log3,则( )A.abc B.acb C.bac D.bca8、若将函数y=tan()(0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则的最小值为( )A. B. C. D.9、已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )A. B. C. D.10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种 B.12种 C.30种 D.36种11、已知双曲线C:(a0,b0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点.若，则C的离心率为( )A. B. C. D.12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是( )A.南 B.北 C.西 D.下二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)13、（)4的展开式中x3y3的系数为_.14、设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3.则=_. 15、设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于_.16、已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_.三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)17、(10分) 设ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.18、(12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE平面BCC1. ()证明:AB=AC;()设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小.19、(12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.()设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;()求数列an的通项公式.20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.()求从甲、乙两组各抽取的人数;()求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;()记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望.21、(12分)已知椭圆C:(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.()求a,b的值;()C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.22、(12分)设函数=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1x2. ()求a的取值范围,并讨论的单调性;()证明: .2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) A解析:.故选A.2、(5分) B解析:(x-1)(x-4)0,1x4,即B=x|1x4,AB=(3,4).故选B.3、(5分) D解析:,A为钝角.又,.代入sin2A+cos2A=1,求得.故选D.4、(5分) B解析:,y|x=1=-1.切线的斜率k=-1.切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选B.5、(5分) C 解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角.不妨设AB=1,则AA1=2,设ABE=,ABA1=,则,.cos(-)=coscos+sinsin=.故选C.6、(5分) C 解析:设b=(x,y),由 得解方程组得或则|b|=.故选C.7、(5分) A解析:a=log3log33=1,.abc.故选A.8、(5分) D解析:将函数y=tan()(0)的图象向右平移个单位,得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合,(kZ),即, 当k=0时,即的最小值为.故选D.9、(5分) D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,=16(k2-2)2-4k24k20.得-1k1,即0k1,x1x2=4.又|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.代入x1x2=4,得x22+x2-2=0,x2=1,或x2=-2(舍去,因x20).x1=21+2=4.又0k1,.故选D.10、(5分) C解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.11、(5分) A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由,得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),y1=-4y2.设过F点斜率为的直线方程为,则有将y1=-4y2分别代入得化简得.化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).25c2=36a2.,即.12、(5分) B 解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“”的面的方位则为北.故选B. 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)13、(5分) 6解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,由展开式中的通项,得=.令,得r=2.系数为.14、(5分) 9 解析:由a5=5a3,得,.15、(5分) 8 解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在RtONB中,d2=R2-BN2.又BN2=,.在ONM中,d=OMsin45=,将代入得,R2=2.S球=4R2=8.16、(5分) 5 解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3.在ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,.同理在OBP中,.S四边形=SCAD+SCAB=.当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号. 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.故,或(舍去),于是或.又由b2=ac知ba或bc,所以.18、(12分) 解法一:()取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EFDA. 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AFDE.又DE平面BCC1,故AF平面BCC1,从而AFBC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC,()作AGBD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CGBD,故AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知AGC=60.设AC=2,则.又AB=2,故.由ABAD=AGBD得,解得,故AD=AF.又ADAF,所以四边形ADEF为正方形.因为BCAF,BCAD,AFAD=A,故BC平面DEF,因此平面BCD平面DEF.连接AE、DF,设AEDF=H,则EHDF,EH平面BCD.连接CH,则ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,故EH=1,又,所以ECH=30,即B1C与平面BCD所成的角为30.解法二:()以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系Axyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,c).于是=(,0),=(-1,b,0).由DE平面BCC1知DEBC,=0,求得b=1,所以AB=AC.()设平面BCD的法向量=(x,y,z),则=0,=0.又=(-1,1,0), =(-1,0,c).故令x=1,则y=1, , =(1,1,).又平面ABD的法向量=(0,1,0).由二面角A-BD-C为60知,=60,故=|cos60,求得.于是=(1,1,), =(1,-1,),cos,=,=60,所以B1C与平面BCD所成的角为30.19、(12分) 解:()由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an;于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn. 因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.()由()知等比数列bn中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=32n-1,于是,因此数列是首项为,公差为的等差数列,所以an=(3n-1)2n-2.20、(12分) 解:()由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人. ()记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.()的可能取值为0,1,2,3.Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.Ai与B独立,i=0,1,2.P(=0)=P(A0)=P(A0)P()=,P(=1)=P(A0B+A1)=P(A0)P(B)+P(A1)P()=,P(=3)=P(A2B)=P(A2)P(B)=,P（=2)=1-P(=0)+P(=1)+P(=3)=.故的分布列为0123PE=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=.21、(12分) 解:()设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,故,c=1.由,得,.()C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，由（)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),()当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0.将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入解得k2=2,此时,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P（,).因此，当时，P(,),l的方程为;当时，P(,)，l的方程为.()当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立,综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.22、(12分) 解:()由题设知,函数的定义域是x-1, ,且f(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式=4-8a0,即,且,.又x1-1,故a0.因此a的取值范围