2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷1.doc

欢迎下载 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 选修选修 一 选择题一 选择题 1 设集合 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集 U AB 则集合 AB 中的元素共有 u A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 2 已知 2 I 则复数 z 1i Z A 1 3i B 1 3i C 3 I D 3 i 3 不等式 1 的解集为 1 1 X X A x B 011xx x 01xx C D 10 xx 0 x x 4 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 22 22 1 xy ab A B 2 C D 356 5 甲组有 5 名同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 6 设 是单位向量 且 0 则的最小值为abcab acbc A B C D 2 22 1 12 7 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面上的射影为的中点 则异 111 ABCABC 1 AABCBC 面直线与所成的角的余弦值为AB 1 CC A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 8 如果函数的图像关于点中心对称 那么的最小值为 cos 2yx 3 4 3 0 A B C D 6 4 3 2 9 已知直线 y x 1 与曲线相切 则 的值为yln xa A 1 B 2 C 1 D 2 10 已知二面角 l 为 600 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为 Q 到 的距3 离为 则 P Q 两点之间距离的最小值为2 3 A B 2 C D 422 3 11 函数的定义域为 R 若与都是奇函数 则 f x 1 f x 1 f x A 是偶函数 B 是奇函数 f x f x C D 是奇函数 2 f xf x 3 f x 12 已知椭圆 C 的又焦点为F 右准线为L 点 线段AF 交C与点B 若 2 2 1 2 x y AL 则 3FAFB AF A B 2 C D 323 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 的展开式中 的系数与的系数之和等于 10 xy 73 x y 37 x y 14 设等差数列的前 n 项和为 若 72 则 n a n s 9 s 249 aaa 15 直三棱柱 各顶点都在同一球面上 若 则此球的ABC 111 ABC 1 2 ABACAA BAC120 表面积等于 16 若 则函数的最大值为 42 X 3 tan2 tanyxx 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 在ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为 a b c 已知 且 22 2acb 求 b sincos3cossinACAC 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 SD 底面 ABCD AD DC SD 2 点 M 在侧棱 SC 上 2 ABM 60 证明 M 是侧棱 SC 的中点 0 求二面角 S AM B 的大小 19 本小题满分 12 分 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲 获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 1 求甲获得这次比赛胜利的概率 2 设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数 求 的分布列及数学期望 20 本小题满分 12 分 在数列中 n a 11 11 11 2 n n n aaa n 设 求数列的通项公式 n n a b n n b 求数列的前项和 n an n s 21 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线与圆相交于四个点 2 E yx 222 4 Mxyr r 0 ABCD I 求的取值范围 r II 当四边形的面积最大时 求对角线ABCD 的交点的坐标 ABCD p 22 本小题满分 12 分 设函数有两个极值点 32 33f xxbxcx 122 11 2 xxx 0 且 求 b c 满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点 b c 和区域 证明 1 10 2 2 f x 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修 选修选修 参考答案 参考答案 一 选择题一 选择题 1 解 故选故选 A A 3 4 5 7 8 9 AB 4 7 9 3 5 8 U ABCAB 2 解 解 故选故选 B B 1 2 1 3 1 3ziiizi 3 解 验 x 1 即可 4 解 设切点 则切线的斜率为 由题意有又 00 P xy 0 0 2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 5 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有种选法 112 536 225CCC 2 乙组中选出一名女生有种选法 故共有 345 种选法 选 D 211 562 120CCC 6 解 是单位向量 a b c 2 acbca babcc 故选 D 1 12cos 12abcab c 7 解 设的中点为 D 连结D AD 易知即为异面BC 1 A 1 A AB 直线与所成的角 由三角余弦定理 易知AB 1 CC 故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 8 解 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx 3 4 3 0 由此易得 故选 A 4 2 32 k 13 6 kkZ min 6 9 解 设切点 则 00 P xy 0000 ln1 yxayx 又 0 0 1 1 x x y xa 故答案选 B 000 10 12xayxa 10 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 B C B C A1 1 1 A D 连PDlD 于 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当 即重合时取最小值 故答案选 C 0AP AP点与点 11 解 与都是奇函数 1 f x 1 f x 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数关于点 及点对称 函数是周期的周期函数 f x 1 0 1 0 f x2 1 1 4T 即是奇函数 故选 D 14 14 fxf x 3 3 fxf x 3 f x 12 解 过点 B 作于 M 并设右准线 与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 故BMl l3FAFB 又由椭圆的第二定义 得 故选 A 2 3 BM 2 22 233 BF 2AF 二 填空题 二 填空题 13 解 373 101010 2240CCC 14 解 是等差数列 由 得 n a 9 72S 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 15 解 在中 可得 由正弦定理 可得外接圆半径ABC 2ABAC 120BAC 2 3BC ABC r 2 设此圆圆心为 球心为 在中 易得球半径 故此球的表面积为 O ORT OBO 5R 2 420R 16 解 令 tan xt 1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 244 xt yxx xt ttt 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 解法一 在解法一 在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有 ABC sincos3cossin ACAC 化简并整理得 化简并整理得 又由已知又由已知 222222 3 22 abcbca ac abbc 222 2 acb 22 2acb 2 4bb 解得解得 40 bb 或舍 解法二解法二 由余弦定理得由余弦定理得 222 2cosacbbcA 又又 22 2acb 0b 所以所以 2 cos2bcA 又又 sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC sin 4cossinACAC 即即sin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得 sinsin b BC c 故故 4 cosbcA 由由 解得解得 4b 18 解法一 解法一 I 作 交于点 E 则 平面MECDSDMEABME SAD 连接 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作 垂足为 F 则 AFME 为矩形MFAB 设 则 MEx SEx 222 2 2AEEDADx 2 2 2 2MFAExFBx 由 2 tan60 2 23 2 MFFBxx 得 解得 即 从而 所以为侧棱的中点1x 1ME 1 2 MEDC MSC 又 所以为等边三角形 22 2MBBCMC 60 2ABMAB ABM 又由 知 M 为 SC 中点 故2 6 2SMSAAM 222 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G 连结 BG 取 SA 中点 H 连结 GH 则 由此知为二面角 BGAM GHAM BGH 的平面角SAMB 连接 在中 BHBGH 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 解法二解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 则 2 0 0 A 2 2 0 0 2 0 0 0 2 BCS 设 则 0 SMMC 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MBABMBAB 即 222 422 2 111 解得 即1 SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 由 得 AM 的中点 0 1 1 2 0 0 MA 2 1 1 22 2 G 又 2 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 0 0GBAMMSAM 所以 GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角 GB MSSAMB 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 19 解 记表示事件 第 i 局甲获胜 i 3 4 5 i A 表示事件 第 j 局乙获胜 j 3 4 j B 记 B 表示事件 甲获得这次比赛的胜利 因前两局中 甲 乙各胜一局 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而 34345345 BAABAAABA 由于各局比赛结果相互独立 故 34345345 P BP AAP BAAP ABA 34345345 P A P AP B P A P AP A P B P A 0 6 0 6 0 4 0 6 0 6 0 6 0 4 0 6 0 648 II 的可能取值为 2 3 由于各局比赛结果相互独立 所以 3434 2 PP AABB 3434 P AAP BB 3434 P AP AP BP B 0 6 0 6 0 4 0 4 0 52 1 0 52 0 48 3 1 2 PP 的分布列为 23 P0 520 48 2 2 3 3 EPP 2 0 52 3 0 48 2 48 20 解 解 I 由已知得 且 11 1ba 1 1 12 nn n aa nn 即 1 1 2 nn n bb 从而 21 1 2 bb 32 2 1 2 bb 1 1 1 2 2 nn n bbn 于是 1 21 111 222 n n bb 1 1 2 2 2n n 又 1 1b 故所求的通项公式 1 1 2 2 n n b II 由 I 知 11 1 2 2 22 n nn n ann n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 又是一个典型的错位相减法模型 1 2 1 n k kn n 1 12 n k k k 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 21 I 将抛物线与圆的方程联立 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 消去 整理得 2 y 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于 四个点的充要条件是 2 E yx 222 4 0 Mxyrr ABCD 方程 有两个不相等的正根即可 由此得 22 12 2 12 7 4 16 0 70 160 r xx x xr 解得 2 15 16 4 r 又 所以 0r 15 4 2 r 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 II 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代入的方法处理 本小题是一个较好的切入点 设与的四个交点的坐标分别为 EM 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则直线的方程分别为ACBD 2121 1111 2121 xxxx yxxxyxxx xxxx 解得点 P 的坐标为 12 0 x x 设 由及 I 知 12 tx x 2 16tr 7 0 2 t 由于四边形为等腰梯形 因而其面积ABCD 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 则