计算方法习题集及答案第四版.pdfVIP

习题1 1 1 什么叫数值方法 数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2 试证明 及 证明 1 令 即 又 即 设 不妨设 令 即对任意非零 有 下面证明存在向量 使得 设 取向量 其中 显然且任意分量为 故有即证 3 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值 问此近似值具有 多少位有效数字 解 该近似值具有7为有效数字 4 若T h 逼近其精确值T的截断误差为 其中 系数与h无关 试证明由 所定义的T的逼近序列的误差为 其中诸是与h无关的常数 证明 当m 0时 设m k时等式成立 即 当m k 1时 即证 习题2 1 1 试构造迭代收敛的公式求解下列方程 1 2 解 1 迭代公式 公式收敛 k0123 00 250 250980 25098 2 局部收敛 k 0123456789 1 5 1 322 1 421 1 367 1 397 1 380 1 390 1 384 1 387 1 386 2 方程在附近有根 把方程写成三种不同的等价形式 1 对应迭代公式 2 对应迭代公式 3 对应迭代公式 判断以上三种迭代公式在的收敛性 选一种收敛公式求出附近的根到4 位有效数字 解 1 局部收敛 2 局部收敛 3 不是局部收敛 迭代公式 1 01234567 1 5 1 44444 1 47929 1 456976 1 47108 1 46209 1 46779 1 4416 1 46647 910111213141516 1 4650 1 46593 1 4653 1 46572 1 46548 1 46563 1 465534 1 465595 迭代公式 2 k0123456 1 51 4811 4731 4691 4671 4661 466 3 已知在 a b 内有一根 在 a b 上一阶可微 且 试构造一个局部 收敛于的迭代公式 解 方程等价于 构造迭代公式 令 由于在 a b 上也一阶可微 故上述迭代公式是有局部收敛性 4 设在方程根的邻近有连续的一阶导数 且 证明迭代公式具有 局部收敛性 证明 在邻近有连续一阶导数 则在附近连续 令则取 则 时 有 从而 故 令 由定理2 1知 迭代公式是有局部收敛性 5 用牛顿法求方程在 3 4 中的根的近似值 精确到小数点后两 位 解 y次迭代公式 k0123 3 53 643 633 63 6 试证用牛顿法求方程在 1 3 内的根是线性收敛的 解 令 y次迭代公式 故 从而 时 故 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7 应用牛顿法于方程 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛 性 解 相应的牛顿迭代公式为 迭代函数 则 习题3 1 1 设有方程组 1 考察用Jacobi法 Gauss Seidal法解此方程组的收敛性 2 用Jacobi法及Gauss Seidal法解方程组 要求当时迭代终止 解 1 A是强对角占优阵 故用雅克比法及高斯 塞德尔法解此方程均收敛 2 雅克比法 取初始向量 迭代18次有 i 1 2 3 高斯 塞德尔法 取初始向量 迭代8次有 i 1 2 3 2 设有方程组 迭代公式 求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是 证明 迭代公式中的矩阵 由迭代收敛的充要条件知 即证 3 用SOR方法解下列方程组 取松驰因子 要求 解 SOR方法 故 迭代初值 k 00 0000000 000000 10 6000000 1 320000 21 2720000 0 854400 30 858240 1 071648 41 071341 0 964268 50 964293 1 017859 61 017857 0 991071 70 991071 0 997768 81 004464 0 997768 90 997768 1 001116 101 001116 0 999442 110 999442 1 000279 121 000279 0 999861 130 999861 1 000070 141 000070 0 999965 150 999965 1 000017 161 000017 0 999991 4 用选列主元高斯消去法求解方程组 解 解得 5 用追赶法解三角方程组 解 高斯迶元 回代得 解为 6 用三角分解法求解方程组 解 系数矩阵三角分解为 原方程可表为 解 得 解 得 7 用选主元法去法计算下列行列式的值 解 8 设计算 解 习题四 1 1 给出概率积分 的数据表 试用二次插值计算 X0 460 470 480 49 f x 0 48465550 49375420 50274980 5116683 解 取插值节点 2 已知y sinx的函数表 X1 51 61 7 sinx0 997490 999570 99166 试构造出差商表 利用二次Newton插值公式计算sin 1 609 保留5位小 数 并估计其误差 解 由题意得如下差商表 故 又 故 3 设为互异节点 求证 1 2 证明 令 又 所以 故 原等式左边用二项式展开得 由结论 得 即证 4 若 求和 解 5 证明两点三次Hermite插值余项是 证明 且 即 为的二阶零点 设 令 易知 又 由微分中值定理 Rolle定理 使得 进而 有三个零点 有两个零点 有一个零点 即 使得 得 6 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S x X 1013 Y 11331 4 28 解 已知 边界条件 即 从而 解 得 当 即 时 故 同理 在及上均有 7 用最小二乘法求一个形如的经验公式 使与下列数据相拟合 X1925313844 Y19 032 349 073 397 8 解 依题意 故 正则方程为 解得 故拟合曲线为 习题5 1 试确定下面求积公式 使其具三次代数精度 解 要公式有3次代数精度 需有 解得 故求积公式为 2 在区间上导出含五个节点的Newton Cotes公式 并指出其余项及 代数精度 解 当时 又 故 当时 有求积公式 其中 由Lagrange差值定理有 故余项 对 至少有四次代数精度 时 式 左边 右边 时 故 式具有5次代数精度 3 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算 取步长h 1 6 解 1 用复合梯形公式 故 2 用复合Simpson公式 4 用变步长梯形求积公式计算 精确到 解 由 得 5 用Romberg算法计算积分 精确到 解 由公式 得 又 即已经达到预定精度 取 6 试构造两点Gauss公式 并由此计算积分 精确到 解 二次Lagendre多项式 Gauss点为 由公式 得 令 即 使得 习题6 1 试用三种方法导出线性二步方法 解 1 Taylor展开法 线性k步公式为 得 即得 且 2 数值积分法 用矩形求积公式 令 中矩形公式 即得 3 由隐式欧拉法得 由显示欧拉法得 1 代入 得 2 用Taylor展开法求三步四阶方法类 并确定三步四阶显式方法 解 线性k步公式为 在 6 17 中令 即 取 即 满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法 令可得 方法即为 3 形如 的k阶方法称为Gear方法 试确定一个三步Gear方法 并给出其截断误 差主项 解 线性k步公式为 由Gear法的定义知 三步Gear法满足 方法为阶 故有 得 取得 得三步Gear方法 其中 4 试用显式Euler法及改进的Euler法 计算初值问题 取步长h 0 2 并比较两者的误差 解 步长 真解 显式法 改进法 显然改进的法误差小于法 5 给出线性多步法 为零稳定的条件 并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的 证明 线性多步法 的相应多项式 多项式的两根为 由判断零稳定的充要条件 根条件 知 此方法的零稳定的条件为 由于 得 当方法为零稳定时 从而 故 方法是二阶收敛的 6 给出题 6 5 题中时的公式的绝对稳定域 解 6 5中当时 即为方法 其相应的差分方程的多项式为 令 即方法的绝对稳定域为 7 指出Heun方法 0000 1 31 300 2 302 3