重叠问题详解.doc

三年级数学举一反三重叠问题详解【探究必备】日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基本计算公式：容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数同时属于A类和B类的元素个数。容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数同时属于A类和B类的元素个数同时属于A类和C类的元素个数同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。【王牌题目】1、三（1）班有48人，其中订少年报的有32人，订数学报的有38人，有25人两份报都订，那么：（1）只订少年报而没有订数学报的有多少人？（2）只订数学报而没有订少年报的有多少人？（3）有多少人两种报都没订？【解析】：先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订少年报的人数32人；字母B所在的椭圆表示订数学报的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。（1）用订少年报的总人数A，减去重叠部分C,剩下来的就是只订少年报而没有订数学报的人数：32-25=7（人）；（2）同理,(B-C)就是只订数学报而没有订少年报的人数：38-25=13（人）；（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。这题有两种解法。解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订少年报的人数7人、只订数学报的人数13人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为25人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。解法二：不考虑重叠部分，订数学报和少年报的总人数为：32+38=70（人）。有25人两份报都订了，这些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我们在求和时，这25人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70-25=45（人）。两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。2、一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第二道题有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？【解析】： 解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。因为第二道题有15人错，全班只有8人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的8个人包含在前面15人之中，从15人里去掉这8个人还剩：15-8=7（人）。去掉两题都错的8人，剩下的7人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道题肯定是对的，所以第一道对而第二道错的同学有7人。3、100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。（1）懂中文和英语的一共有多少人？（2）既懂英语又懂中文的有多少人？（3）只懂中文不懂英语的有多少人？（4）只懂英文不懂中文的有多少人？【解析】：（1）100名旅游者中，有10人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90（人）。（2）70人懂中文，52人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52=122（人）。在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为90人，所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。（3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为32人，而懂中文的总人数为70人，这32人是包含在这70人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数，剩下