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高等数学同步练习 1 高等数学同步练习 1 1 求定义域 ln 2 4 x y x x 2 设 1 x f x x 求 f f x 0 x 3 设 2 2 0 x x g x xx 0 2 0 0 xx f x x x 则 g f x 4 已知 求 2 1 xxx f eee 1 f x的表达式 5 求反函数 1 1 x y x 6 判断奇偶性 1 22 xx f x 2 2 ln 1 f xxx 3 sin cos x f x x 4 3 arccos sin x f xxx x 7 sinf xx 2 2 x 2 1fxx 则 x 定义域为 8 设函数的定义域为 F x 01x xR xx 且 且满足 1 1 x F xFx x 则 F x 9 cos sin x f xxx e x 是 A 有界函数 B 周期函数 C 单调函数 D 偶函数 10 在 ln3f xx 的定义域内 求方程 2 20 x f ex 的根 11 设 f x定义域关于原点对称 证明 f x可以唯一地写成一个奇函数和偶函 数的和 12 设0 证明 ab 11 nnnn nababanbba 2 1 limln 1 2 n fff n n 4 求数列极限 1 1 1 lim 12 n n k k 2 222 3 123 lim n n n 3 2 2 1 lim 1 n n n aaa bbb 1a b n x的极限 存在并求极限lim n n x 3 6 已知数列 1 2a 2 1 2 2 a 3 1 2 1 2 2 a 证明 数列 n a的极限存在 并求li m n n a 7 设 1 03x 0 lim x f x 为 A 不存在 B 1 C 0 D 1 2 下列极限存在的是 A 0 sin1 limarctan x x xx B 0 sin1 limarctan x x xx C 0 sin1 limarctan x x xx D 0 sin1 limarctan x x xx 3 若 2 3 23 lim2 51 n x axx xx 则a n 4 设 1 1 x x f x x 则lim 1 x f x 5 求极限 1 1 1 1 lim x x x 2 2 lim 1 x xxx 3 1cos lim sin x x x 4 lim arctancos ln x xxx 4 设 2 2 lim 2 x xxa b x 求常数和b a 5 设 2 1 lim 0 1 x x axb x 求和b的值 a 6 设 f x是多项式 且满足 3 2 5 lim3 x f xx x 0 lim2 x f x x 求 f x 7 已知 1 2 0 2 1 2 x x f xx xx 1 x g xe 则 0 lim x f g x 是否存在 5 高等数学同步练习 4 高等数学同步练习 4 1 当时 sin0 x 22sinxx 是x的 阶无穷小量 A 2 B 3 C 4 D 5 2 当时 变量0 x 2 11 sin xx 是 A 无穷小量 B 无穷大量 C 有界的但不是无穷小量 D 无界的但不是无穷大量 3 下列命题正确的是 A f x为有界函数 且 lim 0 x x f x 则lim 0 x x B x 为x 时的无穷小量 且 lim0 x x a x 则lim 0 x x C x 为x 时的无穷大量 且 lim x xx a 则lim 0 x x D x 为无界函数 且 lim 0 x f xx 则lim 0 x f x 4 求极限 1 0 1 lim sin x x x 2 1 lim sin x x x 3 0 sin lim x x x 4 sin lim x x x 5 0 lim sin x xx 6 lim sin x xx 7 2 2 11 lim sincos 2 x x x xx 8 332434 lim 32 x xxxx 9 2 2 41 lim cos x 1xxx xx 10 0 1tan1 sin lim 1 cos x xx xx 6 11 0 sin sin sin lim tan x x x 7 高等数学同步练习 5 高等数学同步练习 5 1 设函数在 0 2 0 x ex f x axx 0 x 连续 则a A 0 B 2 C 1 D 1 2 2 x 是函数 sin tan tan sin f xx x的 A 连读点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 第二类间断点 3 是2x 1 ln 2 f x x 的 A 连读点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 第二类间断点 4 求函数 ln sin 1 x f x x x的间断点并确定其类型 5 2 1 lim 1 n n x f x x 求 f x的间断点并判断其类型 6 1 sin 0 0 0 a xx f xx x 连续 试确定a的取值范围 7 设 f x为 0 1上非负连续函数 0 1 ff 证明 存在 0 1 使得 ffl 其中 01 l 8 f x为 a b上连续函数 12 n x xxa b 证明 存在 a b 使得 1 1 n k k ff x n 9 设 f x为 0 1上的连续函数 0 f x1 证明 存在 0 1 使得 f 10 设 f x在 0 a 连续 且0a 0 ff a 证明 2 a f xf x 在 0 2 a 内有根 f 11 设x 在 有定义 且lim x f xa 1 0 0 0 fx g xx x 问 在 是否连续 若不连续 判断间断点类型 g x 0 x 8 高等数学第一章综合练习 高等数学第一章综合练习 1 设 当时 232 xx f x 0 x A f x 与x是等价无穷小量 B f x 与x是同阶但非等价无穷小量 C f x 是比x较高阶的等价无穷小量 D f x 是比x较低阶的等价无穷小量 2 函数 2 sin 2 1 2 xx f x x xx 在下列哪个区间有界 A 1 B C 1 D 2 0 0 1 2 3 3 1 x n 是函数1 2 3 n 1 f xx x 的 为取整函数 A 无穷间断点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 连续点 4 设函数 1 1 1 x x f x e 则 A 0 1xx 都是 f x的第一类间断点 B 0 1xx 都是 f x的第二类间断点 C 是0 x f x的第一类间断点 1x 是 f x的第二类间断点 D 是0 x f x的第二类间断点 1x 是 f x的第一类间断点 5 设 1 1 x x f x x 则lim 1 x f x 6 cos 2 0 lim ln 1 xxx x ee xx 7 2 2 11 lim sincos 2 x x x xx 8 已知 f x在点 0 x处连续 则 0 lim xx y 9 9 函数 1 x eb f x xa x 有无穷间断点0 x 有可去间断点1x 则 a b 10 函数 1 1 sin 1 x xe f x xx 的间断点的个数为 11 函数ln arcsin yx 的连续区间为 12 求极限 1 2 lim arcsin x xxx 2 2 0 limlnln 1 ln x x x x 3 332434 lim 32 x xxxx 4 0 1tan1 sin lim 1 cos x xx xx 5 2 2 41 lim cos x 1xxx xx 6 2 11 lim 1 n n nn 7 2 limtan 4 n n n 13 设 ln lim nn n ex f x n 求0 x f x 14 求极限 3 2 0 1 coscos2cos3cos lim n x xxx x nx 15 设 f x在点0 x 处连续 且0 x 时 3 1 2 x e f x x 求 0 f的值 16 设 2 2 4 0 sin 1 0 1 x x x x f x x x x x 求f x的间断点并确定其类型 17 证明 方程 2 cos0 xpqx 有实根 其中 p q为常数 10 高等数学同步练习 6 高等数学同步练习 6 1 设在 g x 0 xx 的某邻域有定义 0 f xxx g x 则 f x在 0 xx 可导的 充要条件为 A 存在 B 在 0 lim xx g x g x 0 xx 处连续 C 在 g x 0 xx 处可导 D 和都存在且互为相反数 0 lim xx g x 0 lim xx g x 2 已知函数 0 cos 0 x x f x abx x x 在0 x 处可导 则 A B 2 2ab 2 2ab C D 1 1ab 1 1ab 3 设周期函数 f x在 内可导 周期为 4 0 1 1 lim1 2 x ffx x 则曲 线 yf x 在点处的切线切线斜率为 5 f 5 A 1 2 B 0 C 1 D 2 4 设 f x在的一个邻域内有定义 且0 x 0 0f 若 2 0 1 cos1 lim 2 1 x x x f x x e 则 f x在处 0 x A 不连续 B 连续但不可导 C 可导且 0 0 f D 可导且 0 1 f 5 设 则 0 0f f x在可导的充要条件为 0 x A 2 2 0 lim h f h h 存在 B 0 1 lim h h fe h 存在 C 2 0 sinh lim h fh h 存在 D 0 2 lim h fhf h h 存在 6 已知 f x在0 x 可导 则 0 lim 2 x f xfx x 7 设 0 0f 0 0f 则 1 lim 0 n n f n f 11 8 设 1 2 f xx xxxn 则 0 f 9 已知 求 0 1fx 0 00 lim 2 x x f xxf xx 10 设 f x在处连续且0 x 0 lim x f x A x 讨论 0 f 的存在性 若存在 并求之 11 证明 若函数 yf x 在xa 连续 且 0f a 而函数 2 fx在可导 则函 数 f x在xa 可导 12 讨论a取何值时 1 sin 0 0 0 a xx f xx x 是可导的 13 设函数 f x在 1 1 上有定义 且满足 2 xf xxx 11x 证明 存在 且 0 f 0 1 f 14 设 存在 求 0 0f 0 f 1 lim 0 x x f x f 15 设 f x在xa 可导 证明 I 若 则 0f a f x在xa 处必可导 II 若 则 0f a f x在xa 处可导的充要条件是 0fa 16 已知 f x是周期为 5 的连续函数 它在0 x 的某邻域内满足关系式 1 3 1 8 fxfxxx 其中 x 是时0 x x的高阶无穷小 且 f x在 1x 处可导 求曲线 yf x 在点 6处的切线方程 6f 12 高等数学同步练习 7高等数学同步练习 7 1 设曲线 2 yxaxb 和 3 21yxy 在点 1 1 处相切 其中是常数 则 a b A B C 0 2ab 1 1ab 3 1ab D 1 3ab 2 已知 2 32 x yf x 2 arctanfxx 则 0 x dy dx B 3 C 2 D 4 A 3 设 2 cos sin x yx 则y 4 设函数 yy x 由方程 23 ln sinxyx y x确定 则 0 x dy dx 5 求由方程所确定的隐函数的导数0 y exye dy dx 6 求由方程所确定的函数 yx yx y y x 的导数 y 7 求由参数方程 11 2 11 2 xt t yt t 所确定的函数 yy xy 的导数 13 高等数学同步练习 8高等数学同步练习 8 1 设 f xf x 且在 x 0 内 0fx 则在 内 0fx 0 A B 0 0fxfx 0 0fxfx C D 0 0fxfx 0 0fxfx 2 设 3 sinyx 则 n y 3 若 2 cos2f xx x 则 20 0 f 4 设函数f二阶可导 则 22 yfx 5 设 求 22 1xxyy 2 1 2 x d y dx 6 设函数 yy x 由方程所确定 求 y exy e 0 y 7 已知函数 yy x 由方程所确定 求 2 61 y exyx 0 0 y 8 已知 求 y exy e 0 y 14 高等数学同步练习 9 高等数学同步练习 9 1 设函数在 yf x 0 x点可导 xy 分别为自变量和函数的增量 dy为其微分 且 则 0 fx 0 0 m dy li x y y A B 1 C D 1 0 2 已知 2 2 1 x fx x 则 2 1 dfx A 2xdx B 2x dx x C 2 1 1 dx x D 2 2 1 dx x 3 设 sin 3 x y 则dy 4 设 3 ln u yeuf t tx 其中 f u 可微 则dy 5 设 ln f x yfx e 其中f可微 则dy 6 设方程 y xy 确定y是x的函数 求dy 7 已知 求dy sincos 0yxxy 8 利用一阶微分的形式不变性求由方程0 y exye 所确定的隐函数的导数 15 高等数学第二章 综合练习 高等数学第二章 综合练习 1 设 则 0fa 有 A f xf a xa a f xf a xaa B f xf a xa a f xf a xaa C f xf a xaa D f xf a xaa 2 设 2 2 1 0 0 x e x f x x x g x x 其中是有界函数 则 g x f x0 x在 处 A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 3 下列命题正确的是 A 若 f x在 0 x可导 则 f x在点 0 x一定可导 B 若 f x在 0 x可导 则 f x在点 0 x一定可导 C 若 则 0 0f x 0 0fx D 若 f x与在点 g x 0 x都不可导 但 f xg x 在点 0 x可能可导 4 设 f x在区间 内有定义 若当 x 恒有 2 f xx 则必是0 x f x的 A 间断点 B 连续而不可导的点 C 可导的点 且 D 可导的点 且 0 0 f 0 0 f 5 函数 23 2 f xxxx x不可导点的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 6 设 1 f xaf x总成立 0 fb 为非零常数 则 a b f x在1x 处 16 A 不可导 B 可导且 1 fab C 可导且 1 fa D 可导且 1 fb 7 两曲线 2 1 yyax x b在点 1 2 2 处相切 则 A 13 164 ab B 11 164 ab C 9 1 2 ab D 7 1 2 ab 8 设函数 1 cos 0 0 0 n xx f xx x 则使 fx 在0 x 点处连续的最小自然数n为 A 1 B C D 234 9 若函数 f x对任意实数 12 x x都满足关系式 1212 f xxf xf x 且 0 2 f 则必有 A B C 0 0f 0 2f 0 1f D 0 1f 10 设 f x在 0 x点可导 且 00 0 2 lim1 2 x f xxf xx x 则 0 fx 11 设 f xabxabx 其中 x 在 有定义 且在a可导 则 0 f 12 设 f x在处连续 且2x 2 lim2 2 x f x x 则 2 f 13 若 则 2 0 xx f x x 当 为有理数时 当 为无理数时 0 f 14 给定曲线 1 y x 则过点的切线方程为 3 1 15 设曲线 n f xx 在点处的切线与 1 1 x轴的交点为 0 n 则lim n n f 16 若 2 1 lim 1 tx x f tt x 求 f t 17 设函数 f x满足 0 0f 0 1 f 求 1 ln 1 0 lim 1 x x f x 17 18 设 f x在处连续 且0 x 0 1 lim sin x f x xx 求 0 f 19 设 f x为连续函数 且有 1 f xxa xag x 其中 2 lim1 xa g x xa 求 fa 20 已知满足和 g x sincosg xg xxx 0 0g 求 0 lim x g x x 21 设 f x在 上有定义 且对任何 x y有 f xyf xf y 1 f xxg x 其中 0 lim 1 x g x 试证函数 f x在 内处处可导 22 证明 方程 12 1 nn xxxx 在 0内有唯一的实根 1 n x 并求lim n n x 23 设函数 f x在 1 1 上有定义 且满足 2 xf xxx 11x 证明 存在 且 0 f 0 f 1 18 高等数学同步练习 10 高等数学同步练习 10 1 设 f x存在二阶导数 则下列结论正确的是 A 若 f x只有两个零点 则 fx 必定只有 1 个零点 B 若 fx 至少有 1 个零点 则 f x至少有 3 个零点 C 若 f x没有零点 则 fx 至多有 1 个零点 D 若 fx 没有零点 则 f x至多有两个零点 2 设 f x在有限开区间 内可导 下列命题正确的是 a b A 若 f x在 内有界 则 a b fx 在 内有界 a b B 若 fx 在 内有界 则 a b f x在 内有界 a b C 若 f x在 内有界 则 a b fx 在 内无界 a b D 若 fx 在 内有界 则 a b f x在 内无界 a b 3 奇函数 f x在闭区间 1 1 上可导 且 fxM M为正常数 则必有 A f xM B f xM C f xM D f xM 4 设 yy x 由方程确定 且 3223 0 xax yby 1 1y 1x 是驻点 则 a b 5 设0 试证至少存在一点ab a b 使得 22 2 1 l lnln abba abba n 6 证明 设0 函数ab f x在 a b上连续 在 内可导 则在 内至 少存在一点 a b a b 使得 22 2 baf f bf a 7 证明 若函数 f x在 0 xx 连续 在 0 0 内可导 且 0 lim xx fxA 则 0 fx A 19 高等数学同步练习 11 高等数学同步练习 11 1 设 f x在xa 处阶可导 n 1 0 n f afafa 则 0 n fa f x 2 2xy 的迈克劳林公式中 n x项的系数是 3 若 2 0 1cossin1 lim 2 x axbx x 则a b 4 已知 3 0 sin6 lim0 x xxf x x 利用泰勒公式求极限 2 0 6 lim x f x x 20 高等数学同步练习 12 高等数学同步练习 12 1 求极限 1 2 1 0 lim x x e x 2 2 lim 1 x x x 3 0 lim x x x 4 lim n n n a 1a 5 2 1 limln 1 x xx x 6 1 0 lim 2 xx x x ab 7 1 0 1 lim x x xe x 8 2 0 ln 1 lim x xx x 21 高等数学同步练习 13 高等数学同步练习 13 1 设函数 f x g x是大于零的可导函数 且 0fx g xf x g x 则当 时 有 axb A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 2 函数 f x在 0 上连续 在 0 内可导 且 0 0f 则 在 0内 0fxk f x A 没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 有无零点不能确定 3 f x二阶可导 0f 0f x 是 f x的极值点 cosg xf xx 则 A x 是的极大值点 g x B x 是的极小值点 g x C x 不是的极大值点 g x D 不能确定x 是否为的极大值点 g x 4 已知 f x在0 x 的某个邻域内连续 且 0 0f 0 lim2 1 cos x f x x 则在 处 0 x f x A 不可导 B 可导 且 0 0 f C 取得极大值 D 取得极小值 5 设 f x g x在 0 x处可导 且 00 0f xg x 00 0fxg x 00 fxgx 存在 则 A 0 x不是 f x的驻点 B 0 x是 f x的驻点 但不是它的极值点 C 0 x是 f x的驻点 且是它的极大值点 22 D 0 x是 f x的驻点 且是它的极小值点 6 设 f x在连续 除 0 x 外 f x二阶可导 fx 的图形如图 则 yf x A 有两个极大值点 一个极小值点 一个拐点 B 有两个极大值点 一个极小值点 两个拐点 C 有一个极大值点 一个极小值点 一个拐点 D 有一个极大值点 一个极小值点 两个拐点 7 设函数 f x在区间 上二阶可导 且满足条件 1 1 1 0f f 1x 时 则 fx 0 f x g x x 在 1 内 A 曲线是凸的 B 曲线是凹的 C 单调减少 D 单调增加 8 设 1 f xxx 则 A 是0 x f x的极值点 但不是曲线 0 0 yf x 的拐点 B 不是0 x f x的极值点 但是曲线 0 0 yf x 的拐点 C 是0 x f x的极值点 且是曲线 0 0 yf x 的拐点 D 不是0 x f x的极值点 且也不是曲线 0 0 yf x 的拐点 9 曲线 1 ln 1 1 x ye x x 的渐近线的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 23 10 若 fx 不变号 且曲线 yf x 在点的曲率圆为 1 1 22 2xy 则 f x在 区间内 1 2 A 有极值点 无零点 B 无极值点 有零点 C 有极值点 有零点 D 无极值点 无零点 11 设 2 44 2 x y x 则曲线在拐点处的切线方程为 12 曲线 1 ln yxe x 的渐近线为 13 设函数 2 x yxe 求函数的极值和拐点 14 设常数 4 b ba 证明当时 0 x 32 23 60f xxab xabxab 2 15 设 证明 0 1 x 22 1 ln 1 xxx 16 已知ea 证明 b b ab a 17 证明 设不恒为常数的函数 f x在 a b上连续 在内可导 且 a b f af b 则在 内至少存在一点 a b 使得 0f 18 方程有三个实根 求q的取值范围 3 3xxq 0 24 高等数学第三章 综合练习高等