高考数学第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案文新人教A版.docx

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识梳理1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：注意两直线垂直有两种情况异面垂直和相交垂直(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a与平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a常用结论1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线二、习题改编1(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A过三点确定一个平面B四边形是平面图形C三条直线两两相交则确定一个平面D两个相交平面把空间分成四个区域答案：D2(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交答案：B一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若P且l是，的交线，则Pl.()(2)三点A，B，C确定一个平面()(3)若直线abA，则直线a与b能够确定一个平面()(4)若Al，Bl且A，B，则l.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)对异面直线的概念理解有误；(2)对等角定理条件认识不清致误；(3)对平面的性质掌握不熟练，应用不灵活1已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选C.假设cb，又因为ca，所以ab，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行2若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1COB与O1B1不平行 DOB与O1B1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.3如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 解析：EF与正方体左、右两侧面均平行所以与EF相交的平面有4个答案：4平面的基本性质(典例迁移) 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：E，C，D1，F四点共面【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B.又因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面，所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面【迁移探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EFCD1，且EFCD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE，且PD1F，又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA三线交于一点共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线，先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点提醒点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线空间两直线的位置关系(师生共研) (2019高考全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为CDE是正三角形，所以EFCD.设CD2，则EF.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD2，NF1，BCCD.因为平面ECD平面ABCD，所以EF平面ABCD，BC平面ECD，所以EFNF，BCEC，所以在RtEFN中，EN2，在RtBCE中，EB2，所以在等腰三角形BDE中，BM，所以BMEN.易知BM，EN是相交直线故选B.【答案】B1已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误故选D.2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论是 (注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案：异面直线所成的角(师生共研) (1)(2020成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A. B1 C. D(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为 【解析】(1)如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.【答案】(1)C(2)或平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1(2020广东省七校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选C.如图，连接CD1，AD1则A1BCD1，所以ACD1是异面直线AC与A1B所成的角或其补角易知ACD1是等边三角形所以ACD160，所以异面直线AC与A1B所成的角为60.故选C.2(2020济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为 解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OGBD且OGBD，所以COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角设正方形ABCD的边长为2，则CEBE1，CFDE，所以COCF.易得BE平面CDFE，所以BEDE，所以BD，所以OGBD.易知CE平面ABEF，所以CEBE，又GEBE，所以CG.在COG中，由余弦定理得，cosCOG，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.答案：核心素养系列15直观想象空间中的“动”与函数1直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养2立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有一个底面为正方形的长方体水池，且底面边长为1丈(注：1丈10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水面齐平(示意图如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”设DEF，则tan()A3 B4 C5 D6【解析】设水深为x(单位：尺)，则芦苇长为x1，故(x1)2x225，所以x12，从而tan ，所以，故tan或tan(舍)，所以tan5.【答案】C本题是立体几何与数学文化、三角函数的交汇，试题设置的新意，充分体现了考纲要求要注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交汇点处设计试题，使其对数学基础知识的考查达到必要的深度如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图象是()解析：选C.过点M作MNAB，交AB于点N，则MN平面ABCD，过点N作NQAD，交CD于点Q，过点Q作QHPD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面，由题意得，解得MN42x，由.即，解得QH(2x)，过点H作HENQ，垂足为E，在RtHEQ中，EQ2x，所以NE2(2x)x，所以MHx，所以yf(x)x24(0x2)所以函数yf(x)的图象如图故选C.基础题组练1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交 B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交 D与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面故选D.3已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC.又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形4已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件5(2020内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选A.取CB的中点G，连接EG，FG.则EGAB，FGCD.所以EF与CD所成的角为EFG(或其补角)，因为EFAB，所以EFEG.EGAB1，FGCD2，所以在RtEFG中，sinEFG，所以EF与CD所成的角为30.故选A.6已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是 解析：如图，由题意可知MNAC.又因为ACAC，所以MNAC.答案：平行7给出下列四个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是 解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：8如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为 解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案：9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明：如图，连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三点共线10.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.综合题组练1如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析：选C.由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.2.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A是圆 B是椭圆C是抛物线 D不是平面图形解析：选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BCCD，再过点B作BEAD于点E，连接HE，因为AB平面BCD，所以ABCD.又BCCD，且ABBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH.又BHAC，且ACCDC，所以BH平面ACD，所以BHA