用空间向量证明线线垂直与线面垂直.doc

第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、 空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用或表示，其中向量的大小称为向量的长度或模，记为或。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量=（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是终点坐标减起点坐标。在空间，知道向量=（x，y，z）则，=2、 空间向量数量积 已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作=，=，则角AOB叫向量与的夹角，记作，规定，若0，若，=，称与垂直，记作。 已知空间两个向量、，则COS，叫向量、的数量积，记作COS，若 若已知空间向量（x1，y1，z1）， （x2，y2，z2）则x1x2+y1y2+z1z2， COS，例如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC，求向量与所成角的余弦值。C1B11D1E1E1DA1F1D1AB1CBC1练习：已知正方体ABCD中，=，求向量与所成角的余弦值。二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD中，求证AC平面ABDB1A1DCBAC1D1练习：在正方体ABCD中，O为底面ABCD的中心，P为DD的中点，B1A1DCBAC1D1OP求证：BO平面PAC。ABCDPMN例3 如图，PA矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB ,PC中点（1）求证：MNCD（2）若PDA=45，求证：MN平面PCDBNACDA1B1D1MPC1练习：正方体ABCD中，M是棱DD中点，N是AD中点，P为棱AB上任一点。求证：NPAM作业：EOB1A1DCBAC1D11.如图，正方体ABCD中，E是BB中点，O是底面ABCD中心，求证：OE平面DAC.OMB1A1DCBAC1D12.如图，正方体ABCD中，O ,M分别是BD, AA中点，求证：OM是异面直线AA和BD的公垂线.CDMA1AC1BB13、如图，直三棱柱ABC-ABC中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA=1，侧面AABB的两条对角线交点为D，BC的中点为M。求证：CD平面BDMAA1MCBB1C1D1EFD4在棱长为a的正方体ABCD中，E， F分别为棱AB和BC的中点，M为棱BB上任一点，当值为多少时能使DM平面EFBFEDCBA5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a， CD=a，F为BE中点，求证：AFBD6、如图，已知直三棱柱ABC-ABC中BC=AC，ABAC。C1B11求证：ABB1C第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直一、二面角二面角，若的一个法向量为，的一个法向量为，则，二面角的大小为或EBACB1C1A111例1如图，正三棱柱中，E为的中点，求平面与平面所成锐角的大小。VDCBA例2（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（1）证明AB平面VAD；（2）求面VAD与面VBD所成的二面角的大小A1B1EDCBAC11D1练习：如图，棱长为1的正方体中，E是的中点，求二面角的余弦值。二证面面垂直若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则。例3在四棱锥P-ABCD中，侧面是正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，M是PB的中点。DACMBP（1）求证：（2）求二面角的度数；（3）求证：平面平面。FEPDCBA练习：（04年辽宁）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为PD的中点。（1）证明平面PED平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值. 作业：1（04年广东）如图，在长方体中，已知分别是线段上的点，且。（）求二面角C-DE-C1的正切值；（）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。2（05年全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。3已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱底面ABCD，PA2，M、N分别是AD、BC的中点，于QNNMQAPDCB（1）求证：平面PMN平面PAD；（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值。ABCDEA1B1C14（06年全国）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（2）设AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小5 （04年浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证：AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。6（05年湖南）如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（1）证明：ACBO1；（2）求二面角O-AC-O1的大小。BA图1OO1DCO1CODAB图27（06年山东）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，