SARS传播的数学模型

1 摘 要 通过对题目附件 1 的 型进行分析和评价，加深了对 认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于 人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用 件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当 1 = 2 =1 时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了 正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性， 1 的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对 情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出 i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。 关键词： 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线 2 一 、问题的提出 称非 典型肺炎 ，是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害： 爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与 强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制 然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对 播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制 延提供可靠、足够的信息， 无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。 二 、模型的假设 1 地总人数 流入人口等于流出人口。 2 据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者， 人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。 4 隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。 5 复者二度感染的概率为 0。 6 国家完善了监控手段，加强了对 毒监控的力度，故可假设所有感染 人类和疑似类。 7 由于对 原体的研究不够深入，无有效药物可 以使人体免疫，同时 毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。 三、模型的建立 （一） 参数的设定和符号说明 s(t)： i(t)： 人在总体人群中的比例 l(t)： r(t)： 亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。 1 ： 人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。 u ：日治愈率。为每天被 治愈的病人占病人总数的比例。 ：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为 者的比例。 ：日死亡率。为每天 人死亡的数量和当天病人总数量的比值。 3 2：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。 （二）模型建立 模型一 感染为 者情况 由假设，每个病人每天可使 )(1 健康者变为病人，因为病人人数为 )(所以每天共有 )()(1 健康者被感染，于是 是病人数 增加率，又因为每天被治愈率为 ，死亡率为 ，所以每天有 个病人被治愈，有 个病人死亡。那么病人的感染为 由于 1)()()( )1( 对于退出者 ( 为所有退出者比例之和 ) )2( 由假设可知： 故 者率模型一的方程建立如下： 0111011)0()0( (3) 0)0( r )4( 模型二 疑似患者的变化情况 与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二： (5) 四、模型求解 （一）参数的确定和分析： 4 1. , 的确定 = 当天病人总数每天治愈的人数 ， =当天疑似病人总数 每天确诊的人数 ， = 当天病人总数每天死亡的人数 用 子表格处理题目附件 2 中所给数据得： = = =处理数据见附件） 221,的确定 )1( 确定 1 很明显从我们建立的模型是无法得到 s、 i、0i、0了解决这个问题我们用 件中龙格 库塔方法求出他们的数值解。 先通过实际统计数据算出每一天的 s、 i、0i、0，然后我们再对 1 取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图 2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较 ,调试。我们发现当 1 ，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下： :根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件） 通过数值解作出的 i 关于时间 t 的变化（画图程序见附件） 5 分析两个图形可知 ，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在 0,10的 期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在 4月 24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的 曲线相比较，不能准确反映 生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对 延期特点的分析， 在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的 以曲线是 合理的。 （ 2）确定 2 与确定 1 时类似，先根据实际数据画出图形 实际数据图形 6 然后再对2取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较 ,调试。发现当2 ，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下： 在 0,10的初期范围内，曲线趋势不同，原 因同前。整个曲线反映了疑似患者在 五、结果分析与检验 （一）讨论 的性质 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域 ),( 为 1,0,0|),( 从模型（一）中消去 利用 的定义，可得 , 00| ii （ 6） 由（ 6）式解得 )*1000 （ 7） （二）对于合理确定的 ，我们可以画出 图，图形如下： （画图程序见附件 7 由于在这个 毒发展过程中，是变化的，故可以画出 取不同值时的图形，如下 取 /1 的图形。 分析（ 3）式和（ 7）式，可知： 1 不论初始条件 0s ， 0i 如何，病人终会消失，即 亦即 0i 。证明省略。 8 从图形上看，相轨线终将与 s 轴相交（ t 充分大）。 2 设最终未被感染的健康者的比例是s，在（ 7）式中令 0i 得到方程 0 （ 8） 8）在（ 0,1/ ）内的根，在图形上s 轴在（ 0,1/ ）内交点的横坐标。 对于确定下来的 /1 =以代入（ 8）式解出s 0 3 病传染过程分析 整个传染过程，随着政府和 公众对 重视程度的变化，可知接触数 /1随着治愈率 、死亡率 和接触率1的不断变化而变化。 （ 1）在 发的初期，由于潜伏期的存在，社会对 毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率 和死亡率 很小，而接触率1 相对较大，所以 /1 很小。 当 0s /1，则 )(始增加，可认为是疾病蔓延阶段。 （ 2）当0s= /1 时， )(到最大值 ) 000 m （ 9） 对于我们确定的 ，可以求出 认为是疾病传染到达了高峰期。 （ 3）当0s Y=p,t,S) Y = 6 7 4 5 2 3 0 1 8 9 6 7 4 t,z,o,t,Y) is 相轨线 s=; i=11.5*s/ s,i) 20 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权 所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 201 爱朱丹老婆 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 中华人民共和国 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 爱朱丹老婆 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 爱朱丹老婆 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络， 请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 爱朱丹老婆 本 文 来 自 网 络 ， 请 不 要 使 用 盗 版 ， 谢 谢 阅 读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 爱朱丹老婆 本文来自网络，请不要使用盗版，要谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用 盗版，谢谢阅读 版权所有 2010 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有 爱朱丹老婆 本文来自网络，请不要使用盗版，谢谢阅读 版权所有