概率论与数理统计习题及答案第三章.doc

习题习题 3 13 1 1 已知随机变量 X1和 X2的概率分布分别为 X1 1 01 P 1 4 1 2 1 4 X201 P 1 2 1 2 而且 求 X1和 X2的联合分布律 12 0 1P X X 解解 由知 因此 X1和 X2的联合分布必形 12 0 1P X X 12 0 0P X X 如 X2 X1 01pi 1 P110 1 4 0P21P22 1 2 1P310 1 4 p j 1 2 1 2 1 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有 X1和 X2的联合分布律 X2 X1 01pi 1 1 4 0 1 4 00 1 22 1 1 1 4 0 1 4 p j 1 2 1 2 1 2 注意到 而 所以 X1和 12 0 0 0P XX 12 1 0 0 0 4 P XP X X2不独立 2 一盒子中有 3 只黑球 2 只红球和 2 只白球 在其中任取 4 只球 以 X 表示取到黑 球的只数 以 Y 表示取到红球的只数 求 X 和 Y 的联合分布律 解解 从只球中取球只有种取法 在只球中 黑球有 只 红7435 4 7 C4i 球有 j 只 余下为白球只 的取法为4ij 4 322 ijij C C C 0 1 2 3 0 1 2 ijij 4 于是有 022 322 1 0 2 3535 P XY C C C 111 322 6 1 1 3535 P XY C C C 121 322 6 1 2 3535 P XY C C C 202 322 3 2 0 3535 P XY C C C 211 322 12 2 1 3535 P XY C C C 220 322 3 2 2 3535 P XY C C C 301 322 2 3 0 3535 P XY C C C 310 322 2 3 1 3535 P XY C C C 0 0 0 1 1 0 3 2 0P XYP XYP XYP XY 分布律的表格形式为 0123 000 3 35 2 35 10 6 35 12 35 2 35 2 1 35 6 35 3 35 0 3 设随机变量 X Y 的概率密度为 6 02 24 0 f x y kxyxy 其它 求 1 常数 2 3 4 k 1 3 P XY 1 5 P X 4 P XY X Y 解解 1 由 得 d d1f x yx y 2 424 22 202 0 4 2 1 1d 6 d 6 d 10 8 2 ykxyxky xxykyyk 所以 1 8 k 2 31 20 1 3 1 1 3 d 6 d 8 d d xy P XYyxyxf x yx y 1 3 2 2 0 11 6 d 82 y xxy 3 2 1113 d 828 yy 3 1 51 5 1 5 d d d X P Xxf x yyfxx 41 5 20 1 d 6 d 8 yxyx 1 5 4 2 2 0 11 6 d 82 y xxy 4 2 1633 d 882 yy 27 32 4 作直线 并记此直线下方区域与的矩形区域4xy 0f x y 的交集为 即 见图 3 8 因此 0 2 0 4 G 02 0Gxy 4x P XY 4 PX YG d d G f x yx y 44 20 1 d 6 d 8 x yxyx 4 4 2 2 0 11 6 d 82 x y xxy 4 2 2 11 6 4 4 d 82 yyyy 4 2 2 11 2 4 4 d 82 yyy 4 23 2 11 4 4 86 yy 2 3 图图 3 83 8 第第 4 4 题积分区域题积分区域 4 二维随机变量的概率密度为 X Y 2 1 01 0 f x y kxy xyx 其它 试确定 并求 k 2 01PX YGG xyxx 解解 由 2 111 4 00 1 ddd 1 d 26 x kk f x yxdyxkxy yxxx 解得 6 k 因而 2 11 24 00 1 d6d3 d 4 x x PX YGxxy yx xxx 5 设二维随机变量 X Y 概率密度为 4 8 2 01 0 0 yxxyx f x y 其它 求关于 X 和 Y 边缘概率密度 解解 的概率密度在区域 外取零值 因而 X Y f x y 0Gx10yx 有 0 2 4 8 2 d 01 d 0 2 4 2 01 0 x X yxyx fxf x yy x xx 其它 其它 1 2 4 8 2 d 01 d 0 2 4 34 01 0 y Y yxxy fyf x yx yyyy 其它 其它 6 假设随机变量在区间 2 2 上服从均匀分布 随机变量U 1 1 1 1 U X U 若 若 1 1 1 1 U Y U 若 若 试求 1 X 和 Y 的联合概率分布 2 P XY 1 解解 1 见本章第三节三 4 2 P XY 1 1 1 P XY 1 1 1 P XY 13 1 44 习题习题 3 23 2 1 设 X Y 的分布律为 求 1 在条件 X 2 下 Y 的条件分布律 2 22 P XY 解解 1 由于 所以在条件 X 2 下 Y 的条件6 02 01 003 0 2 XP 分布律为 2 1 6 0 3 0 2 1 2 2 1 XP YXP XYP 0 6 0 0 2 2 2 2 2 XP YXP XYP 6 1 6 0 1 0 2 3 2 2 3 XP YXP XYP Y X 1234 10 100 10 20 300 10 2 300 200 3 1 6 0 2 0 2 4 2 2 4 XP YXP XYP 或写成 kY 1234 2 XkYP 2 1 0 6 1 3 1 2 注意到 P Y2 1 2 P YP Y 0 1 0 3000 20 6 而 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2 P XYP XYP XY P XYP XY 0 3000 20 5 因此 2 2 22 2 P XY P XY P Y 0 55 0 66 2 设平面区域 D 由曲线及直线所围成 二维随机变量 X 1 y x 2 0 1 eyxx Y 在区域 D 上服从均匀分布 求 X Y 关于 X 的边缘概率密度在 x 2 处的值 解解 由题设知 D 的面积为 2 2 e e 1 1 1 dln2 D Sxx x 因此 X Y 的密度为 1 2 0 x yD f x y 其它 由此可得关于 X 的边缘概率密度 d X fxf x yy 显然 当 x 1 或 x e2时 当时 故 0 X fx 2 1ex 1 0 11 d 22 x X fxy x 2 1 4 X f 3 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 1 01 02 0 f x y xyx 其它 求 1 X Y 的边缘概率密度 2 XY fxfy 11 22 P YX 解解 1 当时 01x 2 0 dd2 x X fxf x yyyx 当 x 0 时或 x 1 时 0 X fx 故 2 01 0 其它 X xx fx 当 0 y 2 时 1 2 dd1 2 y Y y fyf x yxx 当 时或 时 y0y2 0 Y fy 故 1 02 2 0 Y y y fy 其它 2 当 z 0 时 0 Z Fz 当 z 2 时 1 zFZ 当 0 z0 试求随机变量和 Z X Y 的概率密度 解解 已知 X 和 Y 的概率密度分别为 2 2 2 1 e 2 x X fx x 0 2 1 aay aay a yfY 由于 X 和 Y 相互独立 所以 2 2 2 11 ded 22 z y a ZXY a fzfzy fyyy a 1 2 z az a a 10 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G x y 1 x 3 1 y 3 上的均匀分布 试求随机变量 U X Y 的概率密度 f u 解解 由题设知 X 和 Y 的联合概率密度为 11 1 3 3 4 0 xy f x y 其它 记为 U 的分布函数 参见图 3 7 则有 F u 当 u 0 时 u 0 F uPXY 当 u 2 时 1F u 当 0 u2Y 2 求 Z X Y 的概率密度 fZ z 解解 1 1 1 2 02 2 7 2 d dd 2 d 24 y xy P XYf x yx yyxyx 2 方法一方法一 先求 Z 的分布函数 d d Z x yz FzP XYZf x yx y 当 z 0 时 FZ z 0 当 0 z 1 时 1 00 d dd 2 d zz y Z D Fzf x yx yyxyx z2 z3 1 3 当 1 z 2 时 2 11 1 1 d d1d 2 d Z zz y D Fzf x yx yyxyx 1 2 z 3 1 3 当 z 2 时 FZ z 1 故 Z X Y 的概率密度为 2 2 2 01 2 12 0 ZZ zzz fzFzzz 其其 方法二方法二 利用公式 d Z fzf x zxx 2 01 01 0 xzxxzx f x zx 其它 2 01 1 0 zxxzx 其它 当 z 0 或 z 2 时 fZ z 0 当 0 z 1 时 0 2 d 2 z Z fzzxzz 当 1 z1 P Y X 及 P Y X 1 2 1 2 解解 1 当 x 0 或 y 0 时 x y 0 所以 F x y 0 当 0 x 1 0 y 2 时 x y x2 xy 1 3 所以 2 00 1 d d d d 3 xyxy F x yu vu vuuvvu 322 11 312 x yx y 当 02 时 2 0000 d d d d d d xyxyx F x yu vu vu vv uu vvu 2 2 00 1 d d 3 x uuvvu 2 1 21 3 xx 当 x 1 01 y 2 时 12 2 00 1 d d1 3 F x yuuvvu 综上所述 分布函数为 2 2 0 00 1 01 02 34 1 21 01 2 3 1 4 1 02 12 1 1 2 或 xy y x y xxy F x yxxxy yyxy xy 2 当 0 x 1 时 2 22 0 2 d d2 33 X xy xx yyxyxx 故 2 2 2 01 3 0 其它 X xxx x 当 0 y 2 时 1 2 0 11 d d 336 Y xy yx yxxxy 故 11 02 36 0 其它 Y yy y 3 当 0 y 2 时 X 关于 Y y 的条件概率密度为 2 62 2 Y x yxxy x y yy 当 0 x 1 时 Y 关于 X x 的条件概率密度为 3 62 X x yxy y x yx 4 参见图 3 10 图图 3 103 10 第第 9