高等量子力学 第二章 算符.ppt

2算符 2 1定义 主要内容 2 2算符的代数运算 2 3作用于左矢的算符 2 4厄米算符和幺正算符 2 5投影算符 算符是矢量空间中又一重要概念 在这一节里 我们在右矢空间中引入算符 并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质 这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去 2 1定义 在算符的定义中 被算符A作用的右矢全体 称为A的定义域 得出的右矢全体称为值域 二者可以不同 也可以部分或完全重合 通常算符的定义域与值域都是整个空间 一个算符A 其定义域是一个矢量空间 而又满足下列条件的 称为线性算符 2 1 满足下列二条件的 称为反线性算符 2 2 其中a是任意常数 在量子力学中出现的算符 绝大多数都是线性算符 下面我们只讨论线性算符 算符对其定义域中每一个右矢作用 都应有确定的结果 定义一个具体的算符应当规定其定义域 并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果 而确定一个具体的线性算符 只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢 例如一组基矢 中每个右矢的作用结果即可 线性算符的定义域 可以是整个右矢空间本身 也可以是它的一个子空间 可以证明 线性算符具有下列性质 1 线性算符的值域也是右矢空间 大空间本身或其子空间 2 若定义域是有限维的空间 则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数 3 在定义域中 那些受A的作用得到零矢量的右矢全体 也构成一个右矢空间 定义域的子空间 复数对右矢的数乘 可以看成算符对右矢的作用 每一个复数都可以看成一个算符 其定义域和值域均为全空间 其中两个特殊的算符 这时我们记作 则说这两个算符是可对易的 或称为两个算符对易 定义 2 2 经常使用的几个对易关系 由上述定义可知 除交换律不一定成立外 算符之间服从一般的加 减 乘和幂次的代数运算法则 等等 可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数 甚至可以构成无穷级数 我们不去仔细考察由此引起的数学问题 例如可以写 2 3 注意上式是算符的指数函数的定义式 在此定义下 关系式 不是所有的算符都有逆 一个算符A有逆的条件如下 定理设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符 若有另外两个线性算符B和C存在 满足 AB 1 CA 1 2 4 则算符A有逆 而且 证明 我们证明这样的A满足有逆条件 1 和 2 定理证毕 2 2算符的代数运算 在量子力学中 经常出现不可对易线性算符的代数运算 在这一小节里 我们举几个较复杂的运算例子 并且用代数方法证明两个常用的算符等式 2 9 和 2 14 两式 2 5 例1 证明 2 8 证明 用数学归纳法证明 当n 1时上式为 原式成立 下面我们从原式出发 推出用n 1代替n的同样形式的式子 将原式从左方用A作用 得 在上式右边第二个取和式中 取j i 1 得 将此式的求和傀标j再改成i 即可与第一和式相加 于是得 这是与原式完全相同的形式 只是原来的n成为n 1 这说明原式若对n成立 对n 1亦成立 由于我们已经证明原式对n 1成立 因此 原式对任何整数n都成立 证毕 例2 证明 2 9 这是量子力学中常用的一个公式 是一个真正的无穷级数 证明 利用 2 8 式 有 为证明 2 9 式可取 这时 例5 证明Glauber公式 2 14 证明 令 令 2 3作用于左矢的算符 我们在右矢空间中定义了算符A 2 17 注意我们对左矢采用相反的写法 即算符向左作用于左矢 右矢空间 左矢空间 2 19 2 20 将 2 20 式用于右矢空间的算符B 2 21 现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间 而算符是两个空间公用的 算符向右可以作用于右矢 向左可以作用于左矢 算符的这种既能向左 又能向右作用的性质 是对偶空间优于单一空间的主要之点 证明 定理的必要性是明显的 我们证明其充分性 2 22 2 23 定理证毕 第6节 最后 简单的提一下单一空间的情况 由于单一空间是右矢空间的复制品 除了内积的说法稍加改变以外 单一空间的事情与右矢空间的事情完全一样 但这里伴算符的引入是在左右矢两空间进行的 在单一空间情况下 要作一点改变 2 24 单一空间的伴算符 2 4厄米算符和幺正算符 一 厄米算符 若算符满足 则称 为厄米算符或自伴算符 证明 因此 二 等距算符和幺正算符 定理以下三个命题是等价的 1 2 3 下面的定理指出了等距算符的主要性质 证明 我们依次证明前一条是后一条的充分条件 这就是 2 已知有 从而有 于是得 这就是 1 证毕 幺正算符是满足以下条件的算符 2 26 幺正算符一定是等距算符 因此有上面定理中指出的性质 幺正算符在讨论两组基矢的关系时起重要作用 下面给出两条有关的定理 证明 证明一组矢量是基矢 只须证明它是正交归一化的 并且是完全的即可 首先有 由此得 2 27 2 28 三 幺正变换 从幺正算符的性质可知 幺正变换不改变矢量的模 也不改变两矢量的内积 从而不改变正交关系 因此一组基矢经过幺正变换之后仍是这个空间的基矢 从这一点来看 在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量 在多维空间中 的转动 现在 用幺正算符对空间中全部矢量进行幺正变换 2 29 2 30 2 29 和 2 30 两式就是矢量与算符的幺正变换 由此可以看出 一个包含矢量和算符的关系式 经过幺正变换之后其形式不变 2 5投影算符 2 31 它作用在任意右矢上得 投影算符的性质 1 投影算符是线性算符 2 投影算符是厄米算符 右方确实是实数 对于其它投影算符也可以同样证明 3 投影算符的重要性是它的幂等性 即 4 完全性 我们也可以讨论投向整个空间的投影 这时投影算符是 右边取和是对所有基矢 这个投影算符