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几何讲义 几何学 P3 11 6 1 2 直线间的关系 几何学溯源 何以几何 5 点 直线的关系 7 三角形 3 几何学研究内容 基本方法 4 现实 物体 基本概念 1 几何 学 溯源 旧石器 200W 1w 新石器 1w 1000 欧几里得364BC 283BC 两河流域泥板文书埃及纸草古希腊毕达哥拉斯 2 何以几何 测量 规划 划分 土地的技术 实践性的 1感性 实践的局限性 缺乏普遍性和必然性 不宽 不紧 手心相应 制作出质量最好的车轮 这里面有规律 但我只可意会 不可言传 我不能明白地告诉我的儿子 我儿子也不能从我这里得到 做轮子的经验和方法 所以我已七十岁了 还在 独自 做车轮 古代人和他们所不能言传的东西都 一起 死去了 2 感性本身存在谬误 眼见为实 3 几何学研究对象 方法 现实直观 几何学 简称几何 是研究空间区域关系的数学分支 空间区域关系 形状 大小及物体间相互位置关系 4 现实的直观 物体 立体图形 4 立体图形 平面 3D 2D 1 4 1 2 3 2 4 正方形分解例题 前 后 左 右 顶 底 点动成 线 线动成 面 面动成 体 4 点 线 面 体 点 没有大小 形状 只有位置 不可分割 的图形 运动的观点引出 线 面概念 直观的 自明性 几何原本 中第一卷里的点 线 面 直线 平面都是有定义的 然而这些定义却用了一些未经定义的概念 部分 长度 宽度 界限 同样的位置 等等 意义模糊不清 缺乏逻辑性 5 点 直线关系 直线 射线 线段 A B A A A A B C 线段 射线 共线 过两点有且只有一条直线 两点确定一条直线 两点之间 线段最短 A B 连接接两点之间的线段的长度 A B C D 如图 已知 A B C D四点共线 线段AD的长度为3cm 线段BC长度为1cm共有几条线段 这些线段的总长度是多少 两点间距离 6 直线的关系 平面内 6 两直线相交角 对顶角 邻补角 角的定义 运动的观点 不做特殊说明 一般而言的角都小于平角 8 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度 9 当形成一角的两线是一直线的时候 这个角叫做平角 求 1 2 3 4 5之和 时钟的时针一天转过多少度 6 对顶角 邻补角总结 对顶角相等 邻补角互补 有公共顶点 没有公共边 两条直线相交形成的角 两条直线相交而成 有公共顶点 有一条公共边 都是两条直线相交而成的角 都是成对出现的 都有一个公共顶点 两直线相交时 对顶角只有两对邻补角有四对 有无公共边 6 垂线 垂线段 点到直线距离 当两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角时 即两条直线互相垂直 交点叫垂足 垂线的定义 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 同一平面内 有且只有一条 垂线的性质1 6 垂线 垂线段 点到直线距离 过直线外一点画已知直线的垂线 以这点和垂足为端点的线段就是这点到这条直线的垂线段 垂线段的定义 注 垂线段 和 点到直线的距离 是两个不同概念 垂线段是图形 点到直线的距离是一个长度 是一个数量 不是垂线段这个图形本身 但在求点到直线的距离时 需先做出垂线段 然后计算或度量出该垂线段的长度 P O 20cm 点到直线的距离 6 垂线 垂线段 点到直线距离 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 垂线段最短 垂线性质二 6 平面内三条直线关系 三线八角 F 问题 1 观察 1与 5的位置关系 在直线EF的同侧 在直线AB CD的同方向 A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 同位角 6 同位角 6 同位角 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2 观察 3与 5的位置关系 在直线AB CD的内侧 在直线EF的两侧 内错角 6 内错角 6 内错角 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 问题3 观察 4与 5的位置关系 在直线AB CD的内侧 在直线EF的同侧 同旁内角 6 同旁内角 形如字母 U 在截线同侧夹在两条被截线之间 同旁内角 形如字母 Z 或反置 在截线两侧 交错 夹在两条被截线之间 内错角 形如字母 F 或倒置 在截线同侧在被截线同一方 同位角 图形结构特征 位置特征 角的名称 6 三线八角总结 识别哪些角是同位角 内错角 同旁内角 1 2 1 同位角 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 a b c 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 1 2 9 10 同位角 同位角 同位角 同位角 内错角 同旁内角 练习1 下列各图中与哪些是同位角 哪些不是 内错角 BD BC AD BD CD AB 内错角 6 平行线 如图 分别将木条a b与木条c钉在一起 并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线 转动a 直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交 想象一下 在这个过程中 有没有直线a与直线b不相交的位置呢 平行线的定义 在同一平面内 不相交 不重合 的两条直线叫做平行线 1 在同一平面内 平行线有什么特征 2 不相交 不重合 我们通常用 表示平行 平行线的表示法 读作 AB平行于CD 读作 m平行于n 一 放 二 贴 三 推 四 画 已知直线AB和直线外一点P 过点P画一条直线和已知直线AB平行 P 推平行线法 A B 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 A B C B 平面内 垂直 存在且唯一 苏格兰数学家JohnPlayfair 若平面内一条直线和另外两条直线相交 若在直线同侧的两个内角之和小于180 则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交 如图 三条直线AB CD EF 如果AB EF CD EF 那么直线AB与CD可能相交吗 F E D C B A 假设AB与CD相交 设AB与CD相交于P 因为AB EF CD EF于是过点P就有两条直线ABCD都与EF平行 根据平行公理 这是不可能的也就是说 AB与CD不能相交 只能平行 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 几何语言表达 a c b c 已知 a b 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 1 平行线的定义 同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行线的表示法 通常用符号 表示平行 AB CD或a b 3 平行线的两条性质 平面内 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理 唯一性 推论 如果两条直线都平行于第三条直线 那么这两条直线也互相平行 平行线的传递性 如果a c b c 那么a b 平行线小结 1 观察如图所示的长方体后填空 用符号表示下列两棱的位置关系 A1B1 ABAA1 AB A1D1 C1D1 AD BC2 A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线 他们 平行线 填 是 或 不是 由此可知 只有在 两条不相交的直线才能叫平行线 3 在同一平面内 两条不重合的直线位置关系只有 种 即 练习 不是 同一平面内 2 相交和平行 1 注意观察 a b P 2 如何画平行线 刚才的画法中 三角板起着什么作用 想一想 1与 2具有什么样的位置关系 我们能得到一个判定两直线平行的方法吗 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 平行线的判定1 公理 简单说成 同位角相等 两直线平行 何言几语 同位角相等 两直线平行 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 平行线的判定方法2 定理 简单说成 内错角相等 两直线平行 何言几语 内错角相等 两直线平行 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 平行线的判定方法3 简单说成 同旁内角互补 两直线平行 何言几语 同旁内角互补 两直线平行 a b C 如果a c a b 那么b c 如果两条直线都垂直于第三条直线 那么这两条直线互相平行 2 观察直线b C是否平行 1 画一条直线a 再画两条直线b C分别与直线a垂直 同位角 内错角 同旁内角 1 2 3 2 2 4 180 a b c 1 2 3 4 6 判定两条直线平行的方法总结 如图 可以确定AB CE的条件是 A 2 BB 1 AC 3 BD 3 A C 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 平行线的判定示意图 判定 数量关系 位置关系 小结 如图 BC DE分别平分 ABD和 BDF 且 1 2 请找出平行线 并说明理由 如图所示 已知 1 2 AC平分 DAB 试说明DC AB 3 证明 AC平分 DAB 已知 1 3 角平分线的定义 1 2 已知 2 3 等量代换 DC AB 内错角相