基于偏好的需求.ppt

1 TopicstobeDiscussed 理论与现实理论 效用最大化 消费者需求 以消费者偏好为前提 基于偏好的需求 现实 需求是看得见 摸得着的实实在在的东西 可观察的需求 比如 只需观察家庭主妇在商场购买的东西 就能知道她的需求是什么 问题 我们建立的需求理论是否符合现实 研究需求 是为了解释现实需求如何决定 如果基于偏好的需求与现实需求差别很大 尤其是在性能上差异很大的话 那么我们所建立的需求理论就失去了意义 因此 还需研究基于偏好的需求是否具备现实需求的性能特点 本讲的内容 讨论需求的决定 需求的连续性 可微性以及价格和收入的变动对于需求的影响等问题 2 需求的决定 连续性与可微性 需求的决定 需求决定是需求分析的基础 效用最大化理论不但明确了需求的含义 而且奠定了需求决定的基础 效用最大化 理性消费者 X 的需求是明确的 D p r x p r y p r y x p r 需求可由边际方程决定 对任何 p r 及x X 都有 x D p r 0 u x p px r 连续需求的决定 一阶条件 效用函数一阶可导 理性消费者 一阶条件决定上半连续的需求集映 假设HC HP 一阶条件决定连续的需求函数 可微需求的决定 二阶条件 效用函数二阶可导 条件 假设HC HP HU 并且效用函数强拟凹 结果 二阶条件决定了可微的需求函数 意义 需求可微 这是现实消费活动的重要特点 消费决策中 人人心中都有一本账 人人都要算账 3 一 连续需求的决定 一阶条件 预算 需求以预算为前提 需要的连续性也就必然以预算的连续性为必要条件 预算不连续 就难以保证价格和收入的微小变化只能引起需求的微小变化 定理 预算的连续性 设消费集合是下有界非空闭凸子集 则预算集映 X是连续的闭对应 定理 需求集映的上半连续性 设消费集合是下有界非空闭凸子集 偏好关系 连续 则需求D X是上半连续的闭集值集映 并且还是对应 定理 需求函数的连续性 在假设HC和HP下 需求映射 X连续 从而各个需求函数 h p r h 1 2 连续 定理的意义 上述定理表明 当效用函数一阶可导时 边际方程决定了连续的需求 下面给出两个应用事例 需求的决定 连续性与可微性 4 例1 移动通讯需求 问题 信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴起 手机已十分普遍 移动通讯需求相当旺盛 该行业的竞争也迅速展开 那么 移动通讯的需求情况如何 如何进行竞争 分析 假定市场上有两家公司A和B 比如联通和移动 在提供移动通讯业务 它们提供的服务相同 但话费可能不同 公司A的话费 p1 元 分种 公司B的话费 p2 元 分种 消费者使用A网络通话时间 x1 分钟 消费者使用B网络通话时间 x2 分钟 消费者准备用于支付话费的收入 r 元 通话选择x x1 x2 消费者使用网络A通话x1分钟 使用网络B通话x2分钟 消费集合 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 5 1 偏好关系的确定 偏好评价 既然两家公司的服务相同 那么在不考虑价格因素的情况下 不论谁的网络 对消费者都一样 可认为消费者根据通话时间多少来评价通讯消费方案好坏 通话总时间越多越好 即 x y X x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 无差异曲线 x1 x2 Ux x1 x2 的话费 px p1x1 p2x2预算集合 p r x X px r 移动通讯需求D p r 的确定 对任何 p r 需要按照三种情形分别确定 p1 p2 p1 p2 p1 p2 x1 x2 0 例1 移动通讯需求 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 p r 无差异曲线 预算线 X 6 2 需求集合的确定 x1 x2 0 例1 移动通讯需求 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 预算线 x2 x2 x1 x1 0 0 无差异曲线 无差异曲线 预算线 D p r D p r D p r X X X 结论 服务相同时 通讯价格低的公司完全占领市场 7 3 移动通讯需求的连续性特点 x1 x2 例1 移动通讯需求 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 X 上半连续 需求上半连续性定理的条件明显得以满足 故移动通讯需求集映D p r 上半连续 非下半连续 比如在p1 p2 0的地方 D p r 不下半连续 证明 给定收入r 0和价格p p0 p0 0 必可选出一个开球V使得 如下图所示 对于包含p 的任何开集U及U中这样的点p p1 p2 p1 p2 都有D p r V 这表明D p r 在 p r 处不是下半连续的 V D p r D p r V p p1 p0 p2 p0 w1 w2 V D w r w U 8 例2 线性支出系统 问题 消费者必须保证生存的最低消费 商品i的最低消费量为 i i 1 2 1 2 代表生活基本需要 当收入用于生活必需后还有剩余时 为了得到更大的满足 需要进行更多的消费 那么 消费者如何把剩余收入用于增加各种商品的消费 分析 此问题中 消费集合 价格收入空间 假定消费者具有Cobb Douglass形效用函数 消费者偏好连续 无满足 内部严格凸 满足假设HU 还满足边界最差假设 故均衡必在消费集合内部实现 偏好的内部严格凸性保证了均衡的唯一性 从而需求映射是确定的 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 9 1 效用函数的变形 单调变换 可对上述效用函数进行单调变形以便于使用 进行幂变换 其中 1 2 i i i 1 2 进行对数变换 既然均衡在消费集合内部实现 故不必考虑边界消费 可进而用lnw x 作为效用函数u x 即其中 1 2 1 i 0 i 1 2 边际方程 唯一确定需求x p r 需求的决定 连续性与可微性 一 连续需求的决定 一阶条件 例2 线性支出系统 10 2 需求函数的求解 解的意义 p 是消费者必需的最小支出 pi i是消费者在商品i上的最小支出 上式说明 消费者把剩余收入r p 按照比例 i用于增加商品i的消费 线性支出 在这个需求系统中 pixi pi i i r p 即消费者在商品i上的支出是各种商品价格及收入的线性函数 鉴于此 人们把这个需求系统叫做线性支出系统 例2 线性支出系统 一 连续需求的决定 一阶条件 需求的决定 连续性与可微性 11 二 可微需求的决定 二阶条件 需求的决定 连续性与可微性 二阶必要条件 若x X 是效用最大化问题maxu z s t pz r的解 则海森矩阵u x 在切空间 x 上半负定 即对任何z x 都有 切空间切平面 证明 既然x是效用最大化问题的解 x必然满足边际方程 从边际方程可见 x是效用函数在T x 上的最大值点 根据微积分知识可知 u在该点x处的海森矩阵u x 必然在切空间 x 上半负定 u x ppx r x p y z o x1 x2 T x x 无差异曲线 切线 切空间 12 1 二阶充分条件 效用函数强拟凹 二阶充分条件 任意给定x X 使得u x p px r 如果u x 0on x 即 则x是效用最大化问题maxu z s t pz r的局部唯一解 证明 这是微积分中的基本知识 强拟凹性 称效用函数u x 强拟凹 是指对任何x X 海森矩阵u x 都在切空间 x 上负定 即对任何z x z 0 都有 记作u 0on 强拟凹性是关于偏好的性质 与表达同一偏好的效用函数选择无关 即 若u和v是等价的二阶可微效用函数 则u强拟凹当且仅当v强拟凹 二 可微需求的决定 二阶条件 需求的决定 连续性与可微性 13 2 强拟凹性的矩阵特征 加边海森矩阵Hu x 定理强拟凹的效用函数必然是内部严格拟凹的 强拟凹定理1在假设HC和HU下 效用函数u x 强拟凹当且仅当在任何点x X 处 加边海森矩阵Hu x 都可逆 强拟凹定理2在假设HU下 如果效用函数u x 强拟凹 则对任何x X 及任何实数 0 矩阵H u x 都可逆 其中 二 可微需求的决定 二阶条件 需求的决定 连续性与可微性 14 边际方程的雅克比矩阵 u x p 0 r px 0边际方程的隐函数 在假设HC HP和HU下 需求映射x p r 是边际方程的隐函数 根据隐函数定理 p r 是否连续可微 取决于矩阵J x 是否可逆 根据强拟凹定理2 只要u强拟凹 J x 就可逆 这就得到下面的可微性定理 定理 可微性 在假设HC HP和HU下 如果效用函数u强拟凹 则需求映射 p r 在任何点 p r 附近都连续可微 3 需求函数的可微性 二 可微需求的决定 二阶条件 需求的决定 连续性与可微性 15 需求变动矩阵方程 价格与收入变动对需求的影响 边际等式 把各种商品的需求函数xh h p r h 1 2 代入边际方程 即得到如下的恒等式 称作边际等式 其中拉氏乘数 p r 变动 价格变动 收入变动dr 引起需求变动和拉氏乘数变动d 变动dp dr dx d 之间的关系 对边际等式求微分 即 其中 E为 阶单位阵 16 一 需求变动公式 价格与收入变动对需求的影响 矩阵可逆 u x p u强拟凹 强拟凹定理2 记并令 斯勒茨基矩阵 S shk Slutsky smatrix斯勒茨基系数 shk h k 1 2 Slutsky scoefficients基本事实 17 求解需求变动方程 Slutsky sequation 1 斯勒茨基方程 一 需求变动公式 价格与收入变动对需求的影响 18 微分公式 导数公式 即 2 需求变动的微分公式与导数公式 一 基本矩阵方程 价格与收入变动对需求的影响 基本事实 19 二 变动效应分析 收入效应 纯粹因收入变动而引起的需求变动 替代效应 纯粹因商品替代而引起的需求变动 总效应 因价格与收入变动而引起的需求变动 价格与收入变动对需求的影响 总效应分解 总效应 收入效应 替代效应辨析收入效应 搞清楚实际收入的变化 确定替代效应 去除收入效应 剩下的就是替代效应 收入效应 替代效应 总效应 补偿预算线 20 总效应 dr xdp 实际收入变动 dr 名义收入变动 xdp 价格变动引起的实际收入变动 x r 收入效应率 即纯粹因实际收入增加一单位而引起的需求增加 收入效应 dr xdp x r替代效应 Sdp dx dr xdp x r 扣除收入效应所剩 替代效应Sdp实际上是dr xdp 0时的总效应 dr xdp 0意味着实际收入水平不变 替代效应是保持实际收入水平不变时的需求变动 1 总效应的分解 二 变动效应分析 价格与收入变动对需求的影响 21 2 替代矩阵 二 变动效应分析 价格与收入变动对需求的影响 替代矩阵 替代效应Sdp中的矩阵S 斯勒茨基矩阵 替代效应系数 替代矩阵的元素shk h k 1 2 替代矩阵的意义 u const dr xdp 0 即实际收入水平不变 当dr xdp 0时 dx Sdp 即S x p u const shk xh pk u const 商品h对k的替代效应率 表示在保持实际收入水平不变的情况下 商品k的价格上升一单位所引起的商品h的需求增加量 22 3 替代矩阵的特点 二 变动效应分析 价格与收入变动对需求的影响 对称性 S是对称矩阵 原因 对称矩阵的逆矩阵是对称的 替代效应是对称的 shk skh h k 1 2 替代效应是相互的 shk skh 即这种商品以多大程度替代那种商品 那种商品就以同等程度替代这种商品 半负定 可以证明 S是半负定矩阵 可表示为S 0 半负定的意义 shh 0 h 1 2 即商品价格变动对商品自己的替代效应与价格变动反方向 也即 当一种商品涨价时 即使对消费者进行补偿以使实际收入水平不变 消费者也不会增加这种商品的消费 反而可能会减少其消费 23 行列式 故S是奇异矩阵 4 不可祈求替代矩阵负定 二 变动效应分析 价格与收入变动对需求的影响 奇异的替代矩阵事例消费集合 效用函数 需求函数 24 三 需求法则 价格与收入变动对需求的影响 商