用二分法求方程的近似解知识点.doc

用二分法求方程的近似解1.二分法：对于区间a,b上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似值的重要依据必须是满足区间a,b上连续不断、且f(a)f(b)0这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值2.用二分法求函数零点给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1.确定区间a,b,验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a,b)的中点；3.计算 f（x1）：（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a) f(x1)0，则令b= x1（此时零点x0(a, x1) );（3）若f(x1) f(b)0，则令a= x1（此时零点x0( x1,b); 4判断是否达到精确度，即若|a-b| ，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤243.用二分法求方程近似解不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）， ，怎样理解是否达到精度要求了？设函数的零点为x0，则ax0b作出数轴，在数轴上标出a、b、x0对应的点所以0x0-ab-a, a-bx0-b0由于|a-b|，所以|x0-a|b-a, x0-b|a-b|，即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依据程序进行运算了例 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表x0123456 7 8f(x)-6-2310214075142 273观察图表，可知： f(1) f(2)0，说明这个函数在区间（1，2）内由零点下面是求方程近似解的框图，根据框图，可选择一种计算机语言，写出程序，并在计算机上运行后得出结果4.二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根,它在现实生活中也有许多重要的应用,常用于：查找线路电线、水管、气管等管道线路故障，实验设计、资料查询等。在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理？如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, （1）首先从中点C查；（2）用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段；（3）再到BC段中点D；（4）这次发现BD段正常,可见故障在CD段；（5）再到CD中点E来看；（6）这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，要检查77次.从上海到美国旧金山的海底电缆有15个节点，现在某节点发生故障，需及时修理，为尽快断定故障发生点，一般至少需要检查节点的个数为多少？（要检查节点的个数为3个）下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( B ) 方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( B ) A（-2,1） B（2.5,4） C （1，74） D（74，52）函数f(x)=x2+4x+4在区间-4,-1上( B )A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有无数个零点5.用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步骤：寻找解所在区间 （1）图像法：先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。（2）函数性态法：把方程均转换为f(x)=0 的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在的区间。不断二分解所在的区间若x(a,b),不妨设f(a)0(1)若f(a+b)2)0,由f(a)0,则x(a, (a+b)2);(2) 若f(a+b)2)0,则x(a+b)2,b);(3)若f(a+b)2)=0,则x=(a+b)2;对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的区间。根据精确度得出近似解, 当x(m,n),且m,n根据精确度得到的近似值均为同一个值p时，则x p，即求得了近似解。【例】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是（1，5），精确度要求是0.001，则需要计算的次数是 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定.设需计算n次，则n满足42n0.001，即2n4000.由于211=2048，212=4096,故计算12次就可以满足精确度要求故填12.在用二分法求方程的近似解时，精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求得另一个.当然,在实际求解过程中也可能用不到12次,也许11次,甚至10次即可解决问题，但前提是到结束时,区间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同.【例】方程f（x）=0在0，1内的近似解，用二分法计算到x10=0.445达到精确度要求，求所取误差限根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足ba2n+1精确度确定解：由题知计算了10次满足精确度要求，所以（ba）（2n+1）=1211=120480.00049，故所取误差限是0.