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【精品】奥数问题总结 四年级知识技能巧学篇一数学公式1【数线段条数的公式】若线段AB上有个分点(不包括A、B端点)，则AB线段上共有线段的条数S的计算公式是2)2)(1 (123)1?()1+(+=+=nnnnnS?例如，求下图中线段AB上所有线段的条数解_注意这一公式还可以运用来数形如右图的三角形的个数在这个三角形ABC中，因为它的底边BC上有D、E、F、G共4个分点，我们采用数线段条数的计算公式计算它所有的三角形总个数时，可将它解答为_2【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为S(mm1m2321)(nn1n2321)+2)1 (2)1+(nnmm例如，数出右图中共有多少个不同的长方形解在长方形ABCD的长边上，有6个小格，宽边上有4个小格依据上面的数长方形个数的公式，可得解答如下注意这一公式，还可以用来数形如右图中的梯形的个数显然，这个图中，截去三角形ADE后，其余均为大大小小的梯形最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格利用数长方形个数的计算公式，可数得图中梯形的总个数S为_.3【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n(n (12)2()1?(22222+=+?+=nnnnnnS?例l求下图中的正方形的总个数解图中AB边上分成了7等份，AD边上分成了3等份依据在长方形里数正方形个数的计算公式，可得_.4【等差数列求和公式】项数（末项首项）公差+1末项首项+公差（项数1）总和（首项+末项）项数2二数学问题1【和差问题公式】已知两数的和与差，要求这两数(或其中一个数)是多少的应用题，是“和差问题”和差问题的解题公式是(和差)2较大数；(和差)2较小数例如“小明和小英共集邮票125张，小明比小英多集了15张小明和小英各集了邮票多少张?”解小明的邮票:_.小英的邮票:_.2【和倍问题公式】已知两个数的和及较大数为较小数的多少倍(或较小数是较大数的几分之几)，求这两个数各是多少(或其中一个数是多少)的应用题，是“和倍问题”和倍问题的解题公式是和(倍数1)小数；小数倍数另一个数，或和一个数另一个数例如“甲乙两班同学帮助困难户王大伯上山摘茶籽(茶籽可榨出食用油)，已知两班共摘了320千克，甲班摘的是乙班的3倍甲乙两班各摘了多少千克?”解乙班摘的:_.甲班摘的:_.3【差倍问题公式】已知两数差及较大数是较小数的几倍(或较小数是较大数的几分之几)，求两数各是多少(或其中一数是多少)的应用题，是“差倍问题”差倍问题的解题公式是差(倍数1)较小数；较小数倍数较大数，或较小数差较大数例如“小翔买书和圆珠笔，书的单价是圆珠笔单价的4倍，买一本书比买一支圆珠笔要多付3.6元书和圆珠笔的单价各是多少元?”解圆珠笔单价:_.书的单价:_.4【盈亏问题公式】 (1)一次有余(盈)，一次不够(亏)，可用公式(盈亏)(两次每人分配数的差)人数例如“小朋友分桃子，每人分10个，还少9个桃子；每人分8个，又多了7个桃子问有多少个小朋友和多少个桃子?”解人数:_.桃数:_. (2)两次都盈(都有余数)，可用公式(大盈小盈)(两次每人分配数的差)人数；再用人数求其他数例如“一队士兵背子弹进行军事训练，每人背45发，就多680发子弹；若每人背50发，则仍多200发子弹问有士兵多少人?有子弹多少发?”解士兵人数:_.子弹发数:_. (3)两次都亏(都不够)，可用公式(大亏小亏)(两次每人分配数的差)人数；再用人数求其他数例如“老师将一批练习本发给学生，每人发10本，还差90本练习本；若每人发8本，则差8本问有多少个学生，有多少本练习本?”解学生人数:练习本数: (4)一次不够(亏)，另一次刚好分完，可用公式亏(两次每人分配数的差)人数；再根据人数等，求其他数例如“植树节那天，一队少先队员上山植树，每人植8棵，则树苗少10棵；只有每人植6棵，才刚好植完所有的树苗问人数和树苗数各是多少?”解队员人数:_.树苗数量:_. (5)一次余(盈)，另一次刚好分完，可用公式盈(两次每人分配数的差)人数；再依据人数等，求其他数例如“幼儿园阿姨把若干个橘子分配给若干个小朋友，每人分3个，则剩橘子38个；每人分5个，则刚好分完.小朋友人数和橘子个数各是多少?”解人数:_.橘子数:_.5【鸡兔问题公式】 (1)已知总头数和总脚数，求鸡兔各多少(总脚数每只鸡的脚数总头数)(每只兔的脚数每只鸡的脚数)兔数；总头数兔数鸡数.或者是(每只兔的脚数总头数总脚数)(每只兔的脚数每只鸡的脚数)鸡数；总头数鸡数兔数例如“冬冬家养了鸡和兔子共36只，它们共有脚100只.问冬冬家养的鸡和兔子各是多少只?”解一(100236)(42)(10072)214(只)兔子数361422(只)鸡数解二(436100)(42)(144100)222(只)鸡数362214(只)兔子数 (2)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法，可用下面的公式（每只合格品得分数产品总数实得总分数)(每只合格品得分数每只不合格品扣分数)不合格品数例如“灯泡厂生产灯泡的工人按得分的多少给奖金每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分某工人生产了1000只灯泡，共得3525分问他的产品中有多少个灯泡不合格?”解一(410003525)(4+15)4751925(个)解二1000(1510003525)(415)10001852519100097525(个)注意“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”运到完好无损者每只给运费若干元，破损者不仅不给运费，还要赔成本若干元它的解法显然也可套用上述公式 (3)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后的总脚数，求鸡兔各多少的问题)，可用下面的公式(两次总脚数之和)(每只鸡兔脚数和)(两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差)2鸡数；例如“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只问鸡和兔各是多少只?”解(5244)(42)(5244)(42)2202l0(只)(鸡的只数)(5244)(42)(5244)(42)21226(只)(兔的只数)6【植树问题公式】在某一线路上或某一平面上按相等距离植树，会出现路长、棵距、棵数、段数、行距、每棵占地面积等若干个数量已知其中两个或几个数量，要求其他数量的问题(或与此类似的问题)，是“植树问题”植树问题的解题公式有以下三类 (1)未封闭线路的植树问题间隔数1棵数(两端植树)；路长间隔长1棵数或间隔数l棵数(两端不植)；路长间隔长1棵数；路长间隔数每个间隔长；每个间隔长间隔数路长 (2)封闭线路植树问题路长间隔数棵数；间隔数棵数；路长间隔数路长棵数每个间隔长；每个间隔长间隔数每个间隔长棵数路长三数学法则或方法1.【数的读写方法】 (1)多位数的读法从高位到低位一级一级地读，每级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0，只读一个零。 通常先从个位向左四位分级，再读。 (2)多位数的写法从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一个单位也没有，就在哪一位上写0。 (3)多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 在万位或亿位的右下角点上小数点(若小数点后面是0就不要加小数点)，再在数后面加写“万”或“亿”字，要用“”号。 2【近似数截取方法】截取近似数的方法一般有“四舍五人法”、“去尾法”和“进一法”三种 (1)四舍五入法省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，则把尾数舍去以后，要向它的前一位进一这种求近似数的方法，叫做“四舍五人法”例如，把8654000四舍五入到万位，约等于865万；把2873000000四舍五入到亿位，约等于29亿。 把32.99506四舍五入，精确到百分位，约等于33.00 (2)去尾法在省略一个数的尾数求近似数时，要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法，叫做“去尾法”.如73=0.428571428571若用去尾法，保留两位小数的近似值就是730.42830.42，保留三位小数的近似值就是7 (3)进一法省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前位进一，这种求近似数的方法，叫做“进一法”又如上面的73=0.428571428571用进一法处理取一位小数的近似值是73043，取五位小数的近似值是730.5，取两位小数的近似值是730.42858五年级知识技能巧学篇一数学原理1【差不变原理】在解年龄问题时，有一个原理叫做“差不变原理”这就是说，两个年龄不相等的人，他们年龄之差是永远不变的，甲增长几岁，乙也增长同样多的岁数，若干年以后，甲乙两人年龄之差与现在他俩的差仍然是相同的这也是年龄问题的重要特点2【加法原理】做一件事，完成任务有几类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事便共有Nm1m2mn种不同的方法这就是“加法原理”例如，某人从甲地到乙地，可以乘飞机、火车、汽车或轮船飞机每日2班，火车每日5班，汽车每日3班，轮船每日2班则他一天中乘坐不同班次的飞机、火车、汽专或轮船的方法共有:253212(种)3【乘法原理】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有k1种不同的方法，做第二步有k2种不同的方法做第n步有kn种不同的方法在连续完成这n个步骤后，这件事情才能完成那么，完成这件事情共有Nk1k2kn种不同的方法这就是“乘法原理”例如，某人从甲地出发，经过乙地到达丙地从甲地到乙地有3种不同的走法，从乙地到丙地有2种不同的走法(如下图所示)根据乘法原理，可求得从甲地到丙地的不同走法共有:326(种)4【抽屉原理】如果有m个元素，要分成n个集合，并且mn，那么总有一个集合至少含有2个元素如果有n k1个元素，分成n个集合，那么总有一个集合至少含有k1个元素.这个论断，称之为“抽屉原理”例如，五乙班有37个学生，他们都订阅了少年报儿童时代小学生导刊三种报刊中的一种、两种或三种其中总有至少6个学生订的报刊相同为什么?解设少年报儿童时代小学生导刊三种报刊的代号为a、b、c，那么，学生订阅这三种刊物的情况为a,o,o；b、o、o；c、o、o；a、b、o；a、o、c；o、b、c；a、b、c全班37个同学分成7组，每组5人，即每5人订的报刊相同，剩下2人无论他参加哪一组，都会得到6人相同的订刊，这种情况是在平均分配的基础上发生的所以总共至少有6个学生订的报刊相同又如，今天参加数学竞赛的210个学生中，能否保证有18名以上的同学在同一个月出生?解把每年12个月看做12个抽屉，210名同学看做210件物品，每个抽屉里放17个物品，12个抽屉便放了1712204(件)物品，还余下6个物品再将这6个物品放到抽屉里去，无论你怎样去做，总会有一个放了18件或者多于18件物品这就是说，在210名学生中，能够保证有18名或者18名以上的同学，在同一个月出生5【容斥原理】“容”是“相容、包含”的意思，“斥”是“相斥、排除”的意思“容斥原理”的内容就是对“相容与排斥”关系的阐述它有三个基本的原理 (1)容斥原理1如下图，设有两个集合A和B，把A和B合并在一起组成集合C，则集合C的元素个数等于A与B元素个数的和，减去A与B的公共元素的个数 (2)容斥原理2如下图，设有一个集合M，M内有集合A与B，把A与B合并在一起的是集合C，则C以外的集合N的元素个数，等于集合M的元素个数减去集合C的元素个数 (3)容斥原理3如下图，设有一个集合M，M内有集合A、B、C，把A、B、C合并在一起的集合是D，则D以外的集合N的元素个数，等于M的元素个数减去D的元素个数()()()()dabcabacbcabc=+?+()()()()nmdmabcabacbcabc=?=?+?“容斥原理”的基本精神用一句通俗的话来说，就是“减足了再加，加足了再减”二数学公理，定理或性质1【整数运算的奇偶性】1)基本概念偶数能被2整除的数叫做偶数。 偶数都可以表示为2n，其中n是整数。 奇数不能被2整除的数叫做奇数。 奇数都可以表示为2nl，其中n为整数。 2)奇偶性质 (1)偶数偶数=偶数，偶数偶数偶数； (2)奇数奇数偶数，奇数奇数偶数； (3)奇数偶数奇数，奇数偶数奇数； (4)奇数奇数奇数，奇数偶数偶数 (5)奇数偶数； (6)连续自然数中的奇数与偶数是相间排列的; (7)偶数个奇数相加得偶数； (8)奇数个奇数相加得奇数； (9)任意个偶数相加的和是偶数。 2【最大公因数定理】 (1)定理1如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公因数证明由于b|a，b|b，b是a、b的公因数又由于比b大的数不可能是b的因数，也不可能是a、b的公因数，所以，(a，b)b即a、b的最大公因数是b (2)定理2如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公因数，就是第二个数与这个余数的最大公因数即如果abq(余r)，(r0)那么(a，b)(b，r)证明设p是a、b两数的一个公约数，因为abq(余r)又因为p|a，p|b，所以p|r(根据“有余除法”的整除性定理定理五)因此，a、b两数的公因数一定是b、r两数的公约数又因为a、b的公因数与b、r的公因数是完全一致的，所以它们的最大公因数也完全是一致的即(a，b)(b，r)注定理二是用“辗转相除法”求最大公因数的理论依据3【最大公因数的性质】 (1)两个数分别除以它们的最大公因数，所得的两个商是互质数例如，(20，16)=4(这个式子表示“20和16的最大公约数是4”)2045；1644；(5，4)1所以，两个数20和16分别除以它们的最大公因数4，所得到的两个商5与4，是互质数. (2)两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公约数例如，(24，36)12(24和36的最大公因数是12)。 而12的因数有l，2，3，4，6，12很容易发现， 1、 2、 3、 4、 6、12这六个数，也都是24和36的公因数4【最小公倍数的性质】 (1)两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数例如，6，824(它表示“6和8的最小公倍数是24”)则，6和8的其他任何一个公倍数48，72，96，120，就都是最小公倍数24的倍数 (2)两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积用字母和符号表示，可以是(a，b)a，bab三数学法则或方法1【分数最大公约数的求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，得到的是整数求一组分数的最大公约数，方法是 (1)先将各个分数中的带分数化成假分数； (2)再求出各个分数分母的最小公倍数a； (3)然后求出各个分数分子的最大公约数b； (4)用a作分母，用b作分子，ab即为所求例如，求 565、285和692的最大公约数。 先将各带分数分别化成假分数，得 635、821和956；再求出三个分母的最小公倍数6，8，972；然后求出三个分子的最大公约数(35，23，56)7；即( 565、 285、692)=7272【分数最小公倍数的求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数求一组分数的最小公倍数，方法是 (1)先将各个分数中带分数化成假分数； (2)再求出各个分数分子的最小公倍数a； (3)然后求出各个分数分母的最大公约数b； (4)用a作分子，用b作分母，得b 5、28a，ba就是这一组分数的最小公倍数例如，求565和692的最小公倍数方法是先将各带分数分别化成假分数，得 635、821和956；再求出三个分子的最小公倍数35，21，56840；然后求出三个分母的最大公约数(6，8，9)1； 565、285，69218408403【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数(折数)、分数和百分数，它们之间可以互化，互化方法见小学数学课本上的有关介绍，此处略现主要介绍循环小数化分数的方法循环小数化分数的方法 (1)纯循环小数化分数的法则纯循环小数可以化成这样的分数分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数与循环节的位数相同 (2)混循环小数化分数的法则混循环小数可以化成这样的分数分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数与循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同四数学规律1【尾数规律】1 (1)一个整数的个位数叫做它的尾数。 (2)aa=a2。 读作“a的二次方或a的平方”，表示两个a相乘。 ?aanaa=na读作“a的n次方”，表示n个a相乘。 2自然数尾数性质 (1)自然数和的尾数与这些自然数尾数和的尾数相同。 如398682478的尾数与68的尾数相同。 (2)两个自然数差的尾数与这两个自然数尾数差的尾数相同。 (当两个尾数不够减时，被减数的尾数加lO后再相减)。 如92438673的尾数与83的尾数相同；43658278169的尾数与(102)9的尾数相同。 (3)自然数积的尾数与这些自然数尾数积的尾数相同。 如23824127395的尾数与275的尾数相同。 3平方数的尾数 (1)平方数的尾数为O，1，4，5，6，9，反之不一定成立。 (2)尾数是2，3，7，8的数一定不是平方数。 4一个数n次方的尾数 (1)一个数n次方的尾数，与这个数的尾数的n次方的尾数相同。 如19998的尾数与9。 的尾数相同。 (2)自然数an的尾数规律列表可发现，尾数是O，1，5，6的自然数，不管a自乘多少次，它们的尾数不变，尾数是2，3，4，7，8，9的自然数，随a的自乘次数增大呈循环形式出现。 一般地，a4k+1与a，a4k+2与a2，a4k+3与a3，a4k+4与a4的尾数相同。 即每隔4次，an的尾数循环一次。 2【自然数平方的规律】一个数与自身相乘的结果叫平方数。 例如1ll，224，339， 1、 4、9都叫平方数。 平方数的尾数规律判断一个数是不是平方数，可以用下面方法1用尾数规律判断。 如果一个数的尾数是 2、 3、 7、8，则这个数不可能是平方数。 2如果一个数的尾数是 0、 1、 4、 5、 6、9，这个数有可能是平方数。 进一步判断可以用试算的办法.五数学问题1【牛吃草问题】一些牛在吃一片未割的青草，一方面牛在吃草，另一方面草地上的青草还要长出来。 假定每天或每周等单位时间里长出的草量相同，那又怎样来求吃完全部草(包括吃的过程中新长出的草)所用的时间呢?这类问题叫“牛吃草”问题。 1牛吃草问题的特点随着时间的增长，草的总数量在等量增加。 2牛吃草问题的难点草的总数量不确定。 3草的总数量包括?新增的草量原有的草量4解题关键设法求出原有的草量和单位时间内新增的草量。 2【钟表问题】1基本类型时针与分针的位置关系重合，垂直，一条直线某一时刻时针与分针的夹角两只钟的钟点比较2钟面上的路程和速度分针与时针速度的关系在同一时间，分针是时针转速的12倍，时针是分针转速的121另外还可以按角度算路程可以看成分针、时针转过的角度。 速度分针、时针在单位时间转动的角度。 分针60分走一圈是360度，所以分针每分钟走3600606度时针60分走30度，所以时针每分钟走30600.5。 每分钟时针、分针相差60.55.5度3解题方法解钟表问题时，可以把时针与分针的位置关系问题转化为行程问题中的追及问题解题。 常用公式追及时间路程差速度差。 3【平均数问题】1.平均数的含义几个不全相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，最后求得的相等数，就叫做这几个数的平均数。 2求平均数问题的基本关系式平均数=总数量总份数总份数=总数量平均数总数量=平均数总份数3解题关键确定“总数量”及其相对应的“总份数”【量的知识】1.量，计量和计量单位的意义事物的多少、长短、大小，轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫做量。 把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较做计量。 用来作为计量标准的量叫做计量单位。 2常用计量单位及其进率长度、面积、体积，容积质量的单位及其进率长度1千米1000米1米10分米100厘米1分米10厘米1厘米10毫米面积1平方千米1000000平方米1平方千米100公顷1平方米100平方分米1公顷10000平方米1平方分米100平方厘米1平方厘米100平方毫米体积1立方米1000立方分米1立方分米1000立方厘米1立方厘米1000立方毫米容积1升1000毫升1立方分米1升1立方厘米1毫升质量1吨1000千克1千克1000克六年级知识技能巧学篇一数学公式1【平面图形计算公式】同学们自己尝试总结2【立体图形计算公式】 (1)长方体、正方体、圆柱体的表面积、体积计算公式 (2)圆锥的体积公式和表面积公式如下3【求分率，百分率问题公式】求分率、百分率问题可分为三类一是直接求两数间的分率或百分率，即求一个数是另一个数的几(百)分之几；二是求增长率，即求一个数比另一个数多几(百)分之几；三是求减少率，即求一个数比另一个数少几(百)分之几 (1)直接求分率(百分率)问题一个数另一个数=一个数是另一数的几(百)分之几.即比较数标准数=比较数的对应分(百分)率例如“培红小学五年级甲班有学生50人，少先队员的人数有40人，参加数学兴趣小组的有16人少先队员的人数是全班人数的几分之几?参加数学兴趣小组的人数占全班人数的百分之几？解注意解这类题目的关键，是分清哪个数是用来比较多少或大小的“标准数”标准数就是作为单位“1”的数，也就是作除数的数与标准数(单位1)进行比较的数，可称为“比较数”比较数占标准数中的份数，就是分率(百分率) (2)求增长率问题求增长率问题，就是求一个数比另一个数多几(百)分之几的问题(甲数-乙数)乙数=甲比乙多的分(百分)率或两数差较小数=多几(百)分之几即增长数标准数=增长率例如“农具厂上月生产了插秧机80台，本月生产的插秧机是90台本月的生产量比上月增长了几分之几?”解 (3)求减少率问题求减少率问题，就是求一个数比另一个数少几(百)分之几的问题(甲数-乙数)甲数=乙比甲少的分(百分)率或两数差较大数=小比大少的分(百分)率即减少数标准数=减少率例如，“学校食堂上个月计划烧煤2吨，实际上只烧了1.6吨实际烧煤量比原计划节约了百分之几?”解4【增减分(百分)率互求公式】增长率(1+增长率)=减少率；减少率(1-减少率)=增长率例如“有甲、乙两块试验田，甲田面积比乙田多61问乙田面积比甲田少几分之几?”解这是已知增长率求减少率的应用题按解题公式，可解答为又如“有甲、乙两个学校，甲校人数比乙校少73，乙校人数比甲校多百分之几?”解5【求比较数应用题公式】求比较数的问题，就是求一个数的几(百)分之几是多少的问题解题公式是已知的一个数分(百分)数=要求的数或标准数分(百分)率=与分率(百分率)对应的比较数若分率(百分率)中出现增长率、减少率、分率(百分率)之和、分率(百分率)之差等，则用标准数增长率=增长数；标准数减少率=减少数标准数(两分率之和)=两个数之和标准数(两分率之差)=两个数之差例如“翠华路小学有学生360人，其中女生的人数占53这个学校的女生是多少人?”解又如“百货店去年的利润数为976万元，计划今年和明年都比前一年增长25明年的利润将是多少万元?”解一今年比去年利润的增长数是今年的利润数是明年比今年利润的增长数是明年的利润数是(答略)解二今年的利润将是明年的利润将是列成综合算式，就是再如“一根电线长15米，第一次用去全长的31，第二次用去余下的52还剩下多少米?”解一第一次用去后还剩下的米数是第二次用去后还剩下的米数是解二因为用去两次后的剩余率是所以，题目的解答就是6【求标准数应用题公式】求标准数，就是已知一个数的几(百)分之几是多少，求这个数；也就是已知标准数的分(百分)率以及这个分(百分)率所对应的比较数，求标准数解题公式是比较数与比较数对应的分率(百分率)=标准数；增