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第3章 Jordan标准形介绍 JordanCanonicalForm 1 第3章 Jordan标准形介绍 Problem 矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似 Solution 理想情况下 A为对角形并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形理论 Jordan标准形的应用 2 第3章 Jordan标准形介绍 本章的主要结论 Theorem任何复数域上的n阶矩阵A都和一个Jordan标准形相似 Jordan标准形 Jordan块 3 2 1求矩阵的Jordan标准形的道路之一 利用如下的流程图 A l lE A 行列式因子 不变因子 初级因子 Jordan块 J A 4 1 行列式因子 Step1 计算所有的k阶子式 Step2 求所有的k阶子式的首一最大公因式即为Dn 高阶行列式因子可以整除低阶的行列式因子 5 2 不变因子 高阶不变因子可以整除低阶的不变因子 6 3 初级因子 对次数非零的不变因子进行因式分解 所得的一次因式的方幂即为初级因子Remark 来自于不同不变因子的一次因式不能进行合并 7 4 初级因子和Jordan块的关系 一一对应初级因子Jordanblock 8 9 2 2求矩阵的Jordan标准形的道路之二 利用如下的流程图 A l lE A 不变因子 初级因子 Jordan块 J A Smith标准形 10 1 矩阵及其初等变换 矩阵的初等变换 交换两行 列 某行 列 乘非零数 某行 列 的多项式p 倍加到另行 列 和矩阵的初等变换差不多 11 2 矩阵的Smith标准形Problem 矩阵经初等变换可以变成什么样的矩阵 Answer Smith标准形Theorem Smith标准形 12 Ex1求下面矩阵的Smith标准形Keystep 一阶行列式因子 一阶不变因子 13 3 Smith标准形和不变因子 为A的不变因子 一切的理论依据 Theorem P071 定理3 2 5 定理3 2 6 相似的矩阵有相同的行列式因子 Ex2 P071 例3 2 6 求Jordan标准形的第二种方法 14 4 矩阵的三种因子之间的转换关系 Key 最后一个不变因子包含所有的一次因式 Ex3 P059 例3 1 4 15 2 3求相似变换的矩阵P Problem 如何求可逆阵P 使得PAP 1 J Solution 待定系数法 Example P060例3 1 5 16 2 4最小多项式 minimalpolynomials Def 矩阵多项式 例设 17 1Cayley HamiltonTheorem 1858 设A为n阶复方阵 f l lE A 则f A 0Application 对矩阵多项式进行降次Example P074例3 3 1 18 哈密顿 W R Hamilton WilliamRowan 1805 1865 爱尔兰人 哈密顿自幼聪明 被称为神童 他3岁英语已读得非常好 4岁时是不错的地理学者 5岁时能阅读和翻译拉丁语 希腊语和希伯来语 喜欢用希腊语朗诵荷马史诗 8岁掌握了意大利语和法语 觉得英语过于平庸 用拉丁文的六韵步诗体 10岁不到开始学习阿拉伯语 梵语 波斯语 同时学习马来语 孟加拉语 古叙利亚语 他极想学习汉语 但是太难搞到书 14岁时 因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头 主要贡献 力学 数学 光学 19 2矩阵的零化多项式 AnnihilatingpolynomialsofMatrices 问题 A Cn n A 0 是否存在非零多项式g 使得g A 0 Definition 零化多项式 如果g A 0 则g 被称为矩阵A的零化多项式 Cayley Hamilton定理保证 矩阵的零化多项式存在 20 3最小多项式 Definition 最小多项式 mA 是最小多项式 mA A 0mA 在化零多项式中次数最低 mA 最高次项系数是1 mA 整除任何化零多项式 21 3最小多项式 求解最小多项式方法一 最小多项式的结构P075定理3 3 4最小多项式与特征多项式有相同的根 区别在于最小多项式的根的重数比后者要低 f E A mA 22 例1 P076 例3 3 2 例2设A R4 4 mA 求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵 例3设是矩阵A的化零多项式 证明A可以相似于对角矩阵 23 相似问题中的一些矩阵结果 1 幂等矩阵 幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵 idempotent A2 A幂零矩阵 nilpotent A 0 k为正整数 Ak 0乘方矩阵 involutary A2 I A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零 A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵 A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵 24 2设A为阶方阵 证明矩阵A和AT相似 证明思想 证明A和AT相似 证明Jordan矩阵JA和JAT相似 证明JA和JAT的Jordan块J和JT相似 证明方法 取逆向单位矩阵S 证明 SJ JTS backwardidentity 25 4 设矩阵A Fm n 矩阵B Fn