广东肇庆高中数学第一章1.3导数在研究函数中的应用综合训练4学案.docx_第1页
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1.3导数在研究函数中的应用（综合训练4）一、学习要求能运用导数证明不等式。二、先学后讲利用导数证明不等式：一般地,证明不等式()成立，通常构造辅助函数，转化为证明不等式成立。（1）根据不等式构造出一个函数；（2）求函数的导数；（3）利用导数研究函数在其定义区间上的单调性、极值、最值；（4）借助函数的单调性，比较函数在其定义区间上的函数值与某点（区间端点、极值点、最值点）处的函数值的大小，从而使不等式得以证明。三、问题探究合作探究例1当时，证明不等式.证明：令，则。当时，函数单调递增，即；当时，函数单调递减，即，综上所述，当时，不等式成立。自主探究1证明下列不等式： （1）,； （2），。证明：（1）令，则；当时，函数在上单调递减，即。（2）令，则。当时，函数单调递增，即；当时，函数单调递减，即；当时，综上所述，当时，不等式成立。四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1. 证明不等式：，。证明：令，则。当时，函数单调递增， ，。2. 已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线 在点处的切线斜率为.（）求的值及函数的极值；（）证明：当时，.解：（），. 依题意，得， ；，令，解得，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值。证明：（）令，则。由（）得：，函数在上是增函数，即。【补充】1.函数是上的单调增函数，则实数取值范围是。 解：，.是上的单调增函数，当时，恒成立，.2.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ） 解：，函数在内单调递减，当时，恒成立，即恒成立；又当时，。故选。3.求证：函数在区间上是单调递增函数。【证明】，；， 函数在区间上是单调递增函数。4.设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。解：，；（）当时，令，则，解得，或，当变化时，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由表可知，是函数的极小值点；是函数的极大值点。（II）为上的单调函数，若为上的单调递增函数，则恒成立，即在上恒成立。 为正实数，即，即，。的取值范围是。5.已知函数，该函数图像在点x=1处的切线方程为。若时，y=f(x)有极值。（1）求a, b, c的值；（2）求y=f(x)在-3, 1上的最大值和最小值。解：由，得，当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 （1）当时，f (x)有极值，则可得4a+3b+4=0 （2）由（1）（2）解得a=2, b=-4。由于切点的横坐标为x=1，因此f(1)=4。所以1+a+b+c=4。所以c=5。所以a=2, b=-4, c=5。（2）由（1）可知，所以。令，得,.当
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