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第8章 特征值问题的变分原理8.1 Sturm-Liouville微分方程与特征值在求解微分方程、结构的稳定性或者求结构的固有频率时，我们经常会遇到下面的微分算子 (8.1.1)其中都是已知的函数，那么方程 (8.1.2)称为Sturm-Liouville方程，其中权函数，当且仅当在的一个零测度集上等号成立。当给定了齐次边界条件后，只有某一些特定的才能使得该方程有非零解, 使得该方程有非零解的称为特征值，相应的解称为特征函数。常见的边界条件为(1) 两端固定。(2) 两端自由。(3) 一端固定、另一端自由或， 或。我们可以在复函数空间中定义一个内积运算为 容易证明，即是对称(自伴)算子。如果记 ()为Sturm-Liouville方程的特征值是相应的特征函数。也就是说 (8.1.3)那么，对于特征值和特征函数，我们可以得到以下一些性质：1. 所有特征值是实的 若是一组特征值和特征函数，即 (8.1.4)则也是一组特征值和特征函数，即 (8.1.5)将(8.1.4) 乘、(8.1.5) 乘相减并积分可得 2. 特征函数正交性 由算子的对称性 另一方面，由于是算子的特征向量，所以有 因此 当时，要求上式成立，只有 当时，若是的两个线性无关的特征向量，选择 代替，满足正交性要求。对于有多个线性无关特征向量的重特征值问题，也可类似处理(Schmit正交化)。这样，我们总是可以选择合适的特征函数，使得 (8.1.6)也就是说可以把特征函数单位正交化。否则，我们只要把得到的特征函数作下面的变换就可以3. 特征函数的富里叶展开对于任意一个连续函数，均可以用Sturm-Liouville算子的特征函数进行富里叶展开 (8.1.7)其中 这里，严格的证明我们不去讨论。8.2 Sturm-Liouville特征值问题的Rayleigh原理根据上面Sturm-Liouville方程的算子及内积定义，对于任意的函数,定义 (8.2.1)我们称该泛函为算子的Rayleigh商。定理8.1 上述定义的Rayleigh商与算子的特征值有 (8.2.2)这里表示泛函取驻值，此时得到的为对应特征值的特征函数。当时，所有特征值，此时取最小特征值,则(8.2.2) 变成 (8.2.3)证明: 对任何一个函数，按Sturm-Liouville方程的特征函数进行富里叶展开其中那么由于因此有 从而即 当时，式(8.2.3) 可由性质(2)得到。 定理8.1称为Sturm-Liouville特征值问题的Rayleigh原理。8.3 特征值问题的Rayleigh-Ritz法 根据Rayleigh原理，Ritz提出了求解Sturm-Liouville微分方程特征值的近似计算方法:首先把特征值问题转化为变分问题(8.2.2)，然后再用数值方法来求解该变分问题。令 其中是待定的常数，是选定的一系列基函数，它们满足指定的边界条件。在实际应用中最好从一组完备的函数系中来选取基试算函数，如幂函数，三角函数等。将的表达式代入的定义中，可以得到 其中 而且矩阵和是对称的。要使得上面的取到最小值，那么必定要求满足 从而得到 也就是 这是一个(广义)代数特征值问题，可以通过迭代方法，SVD方法或者其他数值方法来求解。例8.1 解：其特征值为，特征函数为Rayleigh商为如果取近似函数为，那么，代入的表达式中得到 它比真实的稍大。如果取近似函数为，代入的表达式中得到，它和真实的几乎相等。8.4 Sturm-Liouville四阶微分方程的特征值问题Sturm-Liouville四阶微分算子为 (8.4.1)特征方程为 (8.4.2)这里。边界条件为每端各取下列两个边条件(1) 或者；(2) 或者。与该方程特征值问题等价的变分问题为 8.5 结构的稳定性结构的平衡状态可以分为三类: 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡。在工程中经常会遇到结构失稳问题：(1) 细长杆受压，当压力从零开始增加时，杆件保持为直线，当压力到达一定值的时候，杆件被压弯，产生较大的变形。(2) 板条或者工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲，当载荷到达一定值时，会发生侧向弯曲与扭转。(3) 圆柱壳的失稳。定义8.1（稳定性）设结构处于某一平衡状态，受到任一微小扰动后而稍微离开原平衡位置。当扰动消失后，如果结构能回到原来位置，则称此平衡状态为稳定平衡状态；如果结构可能继续偏离，不能回到原来位置，则称此平衡状态为不稳定平衡状态。介于稳定平衡和不稳定平衡之间的过渡平衡，称为临界平衡状态，简称临界状态。注：这里我们用临界平衡替代前述的随遇平衡。这是两个不同的概念，因为临界平衡可能是随遇平衡，也可能是稳定平衡或不稳定平衡，它在工程上更有用。定理8.2 设为系统的总势能，是结构的位移函数，则其平衡点必定满足，并且（1）对于任意，则必定是稳定的平衡点；（2）至少存在一个非零的，使得，则必定是不稳定平衡点；（3）对于任意，并且至少有一个非零的使得不等式中的等号成立，则必定是系统的临界平衡点。定理8.3 平衡点稳定的充要条件是使得总势能取严格极小值。例8.2图8.1（a）为一刚性压杆（不变形），承受中心压力为，底端为铰支座，顶端有弹簧系数为的水平弹簧支承。 （a） （b）图8.1例8.2图解：当为竖直时，系统能平衡，这是原始的平衡形式。现在考虑倾斜位置是否还存在新的平衡状态。为此，写出平衡条件（水平方向）即这个方程有两个解这正好是原始平衡状态（），另一解为这是新的平衡路径（）。将这些解画在图（b）上，显然分支点为分支点将原始平衡路径分成两段：前段上的点属于稳定平衡，而后段属于不稳定平衡。而在新的平衡路径上，当载荷减少时倾角反而增大，所以也是属于不稳定平衡。对于这类具有不稳定分支的完善体系，进行稳定性验证时要特别小心，一般应考虑初始缺陷（初曲率、偏心）的影响。现在按小挠度理论分析。所谓小挠度理论，是将平衡方程中位移分量按小量线性化处理。由于 代入方程（a）得故两个平衡态为 ，前者是原始平衡状态，后者是新的平衡状态。图8.2 小挠度理论结果显然，按小挠度理论计算出的分支点与大挠度完全一样；但对分支点以后的情形，小挠度给出的随遇平衡是一种假象。例8.3 考虑图8.3（a）单自由度非完善体系，刚性杆有初倾角，其余同上例。 (a) (b) (c)图8.3例8.3图解：在图（b）中，平衡条件（水平方向）为（a）所以（b）对于不同的，曲线画在图（c）上。曲线上有极值点，为此令，解得代入式（b）得到相应的极值载荷为（c）显然，初倾角越大，临界载荷就越小。现在用小挠度理论。设，从而 代入式（b）得（d）对于所有的，上述的曲线均是以作为渐近线的，即。很显然，式（d）中的曲线无极值。稳定性问题的出现是由于整个结构总势能的正定性破坏能造成的，所以只要讨论正定性破坏的条件，就可以得到所需的临界载荷。（1）是平衡点要满足的条件，表明的正定性被破坏。所以，或有非零解存在可以得到临界载荷的值。（2）一般我们考虑的是小应变、大变形问题。换言之，由于应变量是小量，所以应变能可以按原来的公式计算；但外力势能，则要按变形后的位置计算。例8.4 用能量法计算前面例子中的临界载荷。解：点弹簧的弹性势能为当转过角度时（图8.2（b），外力沿方向移动了：所以外力的势能为总势能为由得从其非零解条件可得例8.5图8.4 两端简支的压杆首先来考虑两端是简支的压杆。选取坐标系如图所示，则其弯矩为用表示的平衡方程（适用于小挠度）引入记号则方程的通解为（当时）由的条件可得，再将的条件代入上式可得为使方程有非零解（第二平衡路径），必须有 因此取最小的作为临界载荷。选，即这就是我们要求的两端简支梁的临界载荷。8.6 求压杆临界载荷的变分方法考虑一根直梁，在轴向力作用下的失稳问题。由于没有横向载荷，挠度满足方程 （8.6.1）梁的边界条件为每端各取下列两个条件(1) 或者 ；(2) 或者 .显然是该方程的解。对于一些特殊的，该方程有非零解，我们称的这些值为压杆的临界载荷，相应的为特征函数。对应的变分形式为 （8.6.2）8.7 临界载栽荷的Rayleigh-Ritz法以两端简支的压杆稳定性为例。由于作用，其在微元上所作用的弯矩为当挠度由变到时，这一弯矩所做的功为从而对整根梁来说，力所做的功为因为, 式中处的项自动消失。这样外力势能为而总势能为设挠度曲线可以近似写成这里满足边界条件，为已知的插值函数系，为待定参数，代入总势能表达式得式中从可以得到一组要满足的代数方程 （8.7.1）要使代数方程有非零解（零解对应原始平衡位置），必有 （8.7.2）即必定是矩阵对的广义特征值。临界载荷应当是最小特征值。现在我们用上述方法计算临界载荷。取，用两种不同插值函数求。取，显然满足条件。此外所以由式(8.7.2)可得比精确值大22。若取，显然也满足边界条件，同时所以从而这个值刚好是精确值。一般来说，插值函数取项越多越准确。如果所取插值函数中有一项刚好是精确的所对应的非零解，则得到的结果是精确的。可以证明，随着所取的插值函数项的增加；所求得的临界载荷值（即最小特征值）是不增的。换言之，用上述近似方法算出的临界载荷是精确值的一个上限。例8.6 计算一端固定、一端自由的受到均匀垂直分布载荷的杆的临界载荷。图8.5例8.6图解：用能量法求解。现在计算外力势能，考虑上的外力所做的功，这里外力为，而弯曲产生的位移为所以该段上外力所做的功为从而整个杆上的外力势能为总势能现用近似方法求解，取满足固定端的边界条件。此外所以最后与精确解相比，误差为。8.8 求结构固有振动频率的变分方法所谓固有振动，是指在没有外界作用下系统以某一特定的频率的运动。现在来推导固有振动应满足的方程。为简单起见，考虑具有一个广义位移函数的系统。对线性系统(平衡位置附近的小振动)来说动能与势能可写成 其对应的拉格朗日方程的变分形式（可从哈密尔顿原理导出）为 （8.8.1）假定系统以某一特定频率运动，即因为 代入式（8.8.1）并消去公共因子得 （8.8.2）这是无限(连续)系统的特征值()问题，式中为固有频率，其对应的非零解为对应的特征函数或振型。可以证明上述无限自由度系统有无限多个分列的