第三章 线性方程组.doc

第三章 线性方程组主要内容、结构、体系线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一.它不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广，而且称得上是整个线性代数的一个缩影.学好本章对于学好以后各章起着关键性的作用.对于一般线性方程组，其主要理论问题有：1有没有解？有解的条件是什么？2有解时，解的个数是多少？如何求出解？3解不止一个时，解之间有没有联系？围绕这些问题，本章主要有四部分内容.第一部分内容是1介绍的消元法，它是中学里“加减消元法”的一般化，是解具体线性方程组的一个最基本和最有效的方法.第二部分内容是介绍讨论一般线性方程组所用的主要工具：n维向量与矩阵的秩（24）.首先，2把向量概念推广到n维向量，并介绍了它的简单性质.3详细而深入地讨论了n维向量的线性相关性.这些内容，在本章虽然只是以讨论线性方程组的工具的面目出现的，但其本身极端重要，在线性代数中将随时用到它们.它是本章的重点之一，也是一个难点.在2，3讨论的基础上，4给出矩阵的概念及计算秩的方法.第三部分内容全面回答了线性方程组的理论问题（56）. 5利用矩阵的秩给出了有解的充要条件及解的个数的结论，同时介绍了基于克兰姆法则的又一个求解方法.6则研究了线性方程组解的性质与结构.这部分内容是本章的中心内容.第四部分内容（7）是介绍线性方程组理论的一个应用给出二元高次方程组的一个一般解法，这对于指导中学数学教学有一定的作用.知识点分类（必会、掌握、了解）理解维向量组的线性相关性、向量组和矩阵的秩、基础解系等概念及性质，掌握线性方程组有解判别定理，会求齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组的所有解.难点疑点重点是向量组的线性相关性、线性方程组有解判别定理和解的结构，难点是向量组的极大线性无关组和方程组解的结构.主要方法利用定义讨论向量组的线性相关性，两个向量组的等价和向量组极大线性无关组与秩. 利用初等行变换求矩阵的秩.运用线性方程组有解判别定理判别方程组是否有解.求齐次线性方程组的基础解系，齐次线性方程组解的结构和一般线性方程组解的结构.例1求矩阵的秩.解：用初等行变换将A化为阶梯阵所以当时，当时，.例2 判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出它的一个线性组合其中，.解：设，即有方程组（1）对方程组（1）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组（1）有解（1）的一般解为令，得（1）的一个解（1,0，1），从而有例3已知向量组，（1）试求这个向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）写出每个向量用（1）中求出的极大线性无关组线性表出的表达式.解：以为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换.由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，也不改变矩阵的秩，由B看出，秩（B）秩（A）2.B的前两列是B的列向量组的一个极大线性无关组.（1）向量组的秩为2，且为这个向量组的一个极大线性无关组（极大线性无关组也可取或或或或）.（2）由矩阵B易得线性表达式，.例4求齐次线性方程组 的一个基础解系解：对齐次线性方程组的系数矩阵A 进行初等行变换： 则原方程组的解为： （其中为自由未知量）令，得；令，得从而原方程的基础解系为：，原方程组的一般解为：例5求解方程组.解：可见，所以原方程组有解，并有，（其中为自由未知量）取，则 ，即得原方程组的一个特解下面求导出组的基础解系：导出组与 同解取，得；取，得于是原方程组的通解为：例6问取何值时，齐次线性方程组有非零解?解: 当时，所以由Cramer法则得方程组有非零解例7设线性方程组，(1)试求的两个特解；(2)用的导出组的基础解系与的特解表出的全部解.解 (1)对的增广矩阵进行初等行变换，由此，得的一般解（其中为自由未知量）.令，得一个解为，令，得一个解为.(2) 为求的导出组的基础解系，只要把上面得到的的最简阶梯阵的最后一列划去，得矩阵这就是的导出组的系数矩阵经初等行变换而得的最简阶梯阵，从而可得导出组的一般解：（其中为自由未知量）.令，得一个解为，令，得一个解为，即为导出组的基础解系.故的全部解为 （其中为任意常数）.例8如果向量可由向量组线性表出，证明：表示法唯一的充要条件是线性无关.证明：必要性由题设知 用反证法. 设线性相关，那么存在一组不全为零的数，使 将与相加，得由于不全为零，这样就得到了的两种不同的表示法，这与题设矛盾，所以线性无关. 充分性设有两种表示方法： 将两式相减，得由于线性无关，所以此即，唯一性得证.例9设向量可由向量组线性表出，但不能由线性表出，证明：（1）不能由线性表出；（2）能由线性表出.证明：（1）反设能由线性表出： 由题设向量可由向量组线性表出，设为 将代入，得这与不能由线性表出的题设矛盾，故得不能由线性表出.（2）由于题设不能由线性表出，故上面的式中，从而这就是说，能由线性表出.经典例题分析例10解线性方程组 解：方程组的系数行列式 ，所以由Cramer法则得方程组有唯一解（1，2，3，1）.例11 取什么值时，线性方程组有解？当有解时，求一般解.解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为最简阶梯阵由此可见，当且仅当且时，原方程组有解.这时原方程组与方程组同解.其一般解为（其中为自由未知量）.例12 对的不同取值，讨论线性方程组的解的情况.解法一 (1)当即时，则 ，从而原方程组无解.(2) 当时， (i)当时，原方程组与同解.此时，一般解为（为自由未知量），一个基础解系为，.(ii) 当时，结论：(1) 当时，原方程组无解.(2) 当时，原方程组有无穷多解，其一般解为（为自由未知量），一个基础解系为，.(3) 当且时，原方程组有唯一解，.解法二 原方程组的系数矩阵行列式为(1) 当时，原方程组为，由得：，所以原方程组无解.(2) 当时，原方程组为，所以原方程组为齐次线性方程组，其一般解为（为自由未知量），一个基础解系为，.(3) 当且时，所以原方程组有唯一解，.例13 证明线性方程组有解.证法一 对线性方程组的系数矩阵和增广矩阵进行初等行变换，得所以 所以线性方程组有解.证法二：必要性设线性方程组有解为，则有 . 充分性 如果，则可取，则，即线性方程组有解为.例14 设为矩阵，是在中划去第列所得的子式.证明：齐次线性方程组的解为.证明：因为，所以的每一个基础解系仅有个非零解，从而的任一个非零解都构成的一个基础解系. 下面我们证明是的一个非零解.令 ，则，所以 ，所以 ，故是的一个解.因为，故至少有一个，故是的一个非零解.例15证明线性方程组有解当且仅当齐次方程组的每一个解有，其中.证明： 必要性 设有解，则，设是的任一解，则. 充分性 考察齐次方程组因为的每一个解满足，所以式与同解，从而 ，故线性方程组有解.例16 设向量组 线性无关，向量可由向量组线性表出，向量不能由向量组线性表出.证明：线性无关，其中是任意数.证明：设有数使 则必. 事实上，若，则由上式，可由线性表出，而又可由向量组线性表出，由此，可由向量组线性表出，与题设矛盾，故成立.由，式即为由于向量组 线性无关，所以，这样得到式只有全为零才成立，这就证明了线性无关.练习题（基本题，提高题，考研题）基本题1使向量组，线性无关的的值是 . 2设，则当 时有唯一解，当 时有无穷多解.3是某齐次线性方程组的基础解系，是一组向量，当且仅当 与 等价时，也是该齐次线性方程组的基础解系.4维向量组线性无关的充要条件是（ ）使.A存在不全为零的数；B存在全不为零的数；C不存在全不为零的数；D当且仅当.5当（ ）时维向量组线性相关.A； B； C； D.6若，则（ ）.A的阶子式不全为零； B的阶子式（如有的话）全为零； C只有一个不为零的阶子式； D的列向量组的秩为.7已知向量，.（1）试求用线性表出的表达式；（2）判断能否有两种方法用线性表出，并叙述理由.8已知，.（1）试求这个向量组的一个极大线性无关组与秩；（2）写出每个向量用极大线性无关组线性表出的表达式.9计算下列矩阵的秩. （1）（2）（3）（4）10证明：若线性相关，而线性无关，则（1）可由线性表出；（2）不能由线性表出.11设向量组线性无关，证明：当且仅当n是奇数时，向量组：也线性无关.12设有个向量：，且，证明：（1）若线性无关，则也线性无关；（2）若线性相关，则也线性相关.13设向量组线性相关，且它们都不是零向量，证明：其中至少有两个向量，这两个向量的每一个都可由其余向量线性表出.14证明：向量组线性无关的充要条件是存在向量可由线性表出，但不能由其中的个向量线性表出.15设向量组线性无关，而线性相关.证明：若与向量组不等价，则与中有且仅有一个向量可由线性表出.提高题1 设，且，则k= 2设，令，求的一个基础解系.3设矩阵，证明矩阵方程有解当且仅当.4设齐次线性方程组有非零解，证明存在使得无解.5设有向量组，其中，且每个都 不能被线性表出，证明：线性无关.6设有两个向量组：； . 证明：（1）若向量组线性无关，则也线性无关；（2）若，且对任意的，向量组都线性无关，则也线性无关.7设是一组n维向量，证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可被它们线性表出.8设是r个互不相同的数，证明：向量组 线性无关.9设是n个互不相同的数，令证明: 任一n维向量都可由线性表出，且表法唯一.10已知向量组线性无关， 证明：线性无关的充要条件是.11设是线性方程组的一个解，是的导出方程组的一个基础解系.令.证明：的任一解，都可表成，其中.考研题1设方程组的导出组为，(1)下列命题正确的一个是 有惟一解仅有零解有解有解有非零解有无穷多解有非零解有无穷多解(2) 设是的一个解，是的一个基础解系，则下列命题错误的一个是 是的一组线性无关的解的每个解都可以表成的线性组合是的一个解的所有解都可以表成的线性组合2当取何值(或满足何种关系式)时，元线性方程组有解？有多少解？3设是s个线性无关的n维向量，证明：存在含n个未知量的齐次线性方程组，使是它的一个基础解系.4设 是非齐次的线性方程组（即至少有一个），且系数阵A的秩为r.证明：若有解，则它有个线性无关的解向量，使