导数及其应用复习课件..ppt

导数 导数概念 导数运算 导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值 最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题 导数及其应用复习 本章知识结构 1 函数的平均变化率 函数y f x 的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 2 函数的瞬时变化率 导数 分母是分子中两个自变量的差 可将分母的系数直接乘过去 1 2 3 导数的概念 1 导数的定义 对函数y f x 在点x x0处给自变量x以增量 x 函数y相应有增量 y f x0 x f x0 若极限存在 则此极限称为f x 在点x x0处的导数 记为f x0 或y 2 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线在 x0 f x0 处的切线的斜率 所以曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程为y y0 f x0 x x0 3 导数的物理意义 物体作直线运动时 路程s关于时间t的函数为 s s t 那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数 即v t s t 加速度a v t 加速度a s t 例2 已经曲线C y x3 x 2和点P 1 2 求在点P处的切线方程 解 f x 3x2 1 k f 1 2 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 变式 求过点A的切线方程 例2 已经曲线C y x3 x 2和点 1 2 求在点A处的切线方程 解 设切点为P x0 x03 x0 2 切线方程为y x03 x0 2 3x02 1 x x0 又 切线过点A 1 2 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0 化简得 x0 1 2 2x0 1 0 当x0 1时 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 解得x0 1或x0 k f x0 3x02 1 当x0 时 所求的切线方程为 y 2 x 1 即x 4y 9 0 点评 在A点的切线 A为切点 过A点的切线 A可能是切点也可能不是切点 求过A点的切线时 先设出切点 再利用导数求切线 所求曲线的切线方程为y 2x与 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 C 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 4公式 基本初等函数的导数公式 乘以lna 3 tanx 常用的还有 axlna axa 1 3xln3 3x2 1 x x 1 导数的运算法则 1 函数的和或差的导数 u v u v 3 函数的商的导数 v 0 2 函数的积的导数 uv u v uv 特例 Cu Cu C为常数 tanx 提示 积法则 商法则 都是前导后不导 前不导后导 但积法则中间是加号 商法则中间是减号 1 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递增 2 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递减 一般地 函数y f x 在某个区间 a b 内 5 导数与单调性 f x 0 如果在某个区间内恒有 则为常函数 返回 极小值点 极大值点统称极值点 极大值和极小值 统称为极值 6 极值点与极值 注意 1 极值点指x的值 极值指y的值 4 极大值不一定大于极小值 大 小 大 小 必要不充分 Y x3 导数为0的点为函数f x 的驻点 极值点一定是驻点 驻点不一定是极值点 例如 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 位移 速度是位移一阶导数 加速度是速度的一阶导数 位移二阶导数 1 存在性定理 在闭区间 a b 上连续函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 求最大 小 值的方法 函数f x 在闭区间 a b 上最值求法 求出f x 在 a b 内的极值 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中较大的一个是最大值 较小的一个是最小值 7 函数的最大 小 值与导数 最值与极值的区别与联系 1 最值是整个定义域内最大 小 值 而极值只是在极值点附近最大 小 的值 2 极值可以有多个 最值若有则只能有一个 3 极值只能在区间内取得 而最值可以在区间端点取得 4 有极值未必有最值 有最值也未必有极值 5 极值有可能是最值 但最值只要不在端点处必定是极值 8 复合函数的导数 复合函数y f g x 的导数与函数y f u u g x 的导数间关系为 例如 求y 2x 3 2的导数 y u2 u 2x 3 y x y u u x 2u 2 2 2x 3 4x 6 常用求导数的方法 Y x 2 x 1 x 3 x 5 取对数 lny ln x 2 x 1 x 3 x 5 ln x 2 ln x 1 ln x 3 ln x 5 注意lny是复合函数 其导数是y y 复合函数求导 y 2x 1 说明 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 3 注意在某一区间内f x 0只是函数f x 在该