高等数学微积分习题册上册答案.pdf

学院 姓名 学号 日期 1 2 数列的极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 1 一 根据数列极限的定义证明下列极限 1 0 1 lim 2 n n n 证明 对任意 解不等式 22 1 11 0 n n nn 取 1 N 当 n N 时 2 1 0 n n 所以0 1 lim 2 n n n 2 5 2 15 32 lim n n n 证明 对任意 解不等式 2321711 5155 51 n n nnn 取 1 N 当 n N 时 232 515 n n 所以 5 2 15 32 lim n n n 3 0 1 lim nn n 证明 对任意 解不等式 2 111 10 1 nnn nnn 取 2 1 N 当 n N 时 10 nn 所以0 1 lim nn n 4 sin lim0 n n n 证明 对任意 解不等式 sin11 0 n n nn 取 1 N 当 n N 时 sin 0 n n 0 当 n N 时 n xa 由于 nn xaxa 0 当 k N1时 21 k xa 0 当 k N2时 2 k xa N 时 n xa 0 解不等式 5212 5 2 2 5 xxx 取 5 当0 2 x 5212 x 0 2 1x 解不等式 2 4 2 xx 取min 1 当0 2 x 2 4 x 0 解不等式 2 4 4 2 2 x x x 取 当0 2 x 2 4 4 2 x x 所以 2 2 4 lim4 2 x x x 二 证明11 14 lim 3 x x 并求正数 使得当 3 x时 就有001 0 11 14 x 证明 对任意 解不等式 4111 4 3 3 4 xxx 取 4 当0 3 x 4111 x 0 解不等式 22 111 0 x xx 学院 姓名 学号 日期 1 3 函数的极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 4 取 1 X 当 xX 2 1 0 x 0 解不等式 2 cos11 0 x x xx 取 2 1 X 当xX cos 0 x x 0 解不等式 2 222 1111 2122 21 x x xxx 取 1 X 当 xX 2 2 1 212 x x 时 就有01 0 1 1 0 x 2 解不等式 2 111 1 11 x x xxx 取 2 1 X 当xX 1 1 x x 0 存在10 20XX 当1xX 或2xX 时 f xA f xA 当 0 0 xx 时 1f xA 即1 1Af xA 0 存在 12 0 0 当 10 0 xx 或 02 0 xx 时 f xA 取 12 min 当 0 0 xx f xA kxfkkx kk 2 0 2 2 xxxfsin 在 0 内无界 取0 0 2 kk xfkkx 当 x时 xf不是无穷大 四 判断下列命题的正确性 1 两个无穷小的和也是无穷小 2 两个无穷大的和也是无穷大 3 无穷小与无穷大的和一定是无穷大 4 无穷小与无穷大的积一定是无穷大 5 无穷小与无穷大的积一定是无穷大 6 无穷大与无穷大的积也是无穷大 五 举例说明 1 两个无穷小的商不一定是无穷小 2 无限个无穷小的和不一定是无穷小 解 1 当0 x时 1 sin x x 0 2 x x 2 当 n时 1 2 1 1 2 1 0 根据不等式 1 sin 0 x x xxf 取 当 0 根据不等式 0 ln 1 ln 1 1 x x exf x 任取 0 当 0 根 据 不 等 式 ln 1 ln 1 0 1 0 当Mx 时 0lim x x e 即 x exf 为无穷小 学院 姓名 学号 日期 1 5 极限运算法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 8 一 算下列极限 1 423 lim 2 2 xx x 2 2 13 lim 2 2 1 x xx x 3 2 4 lim 2 2 x x x 解 1 1242223 423 lim 22 2 xx x 2 1 21 131 2 13 lim 2 2 1 x xx x 3 4 1 2 lim 2 4 lim 2 2 2 x x x xx 4 1 1 lim 1 x xn x n是正整数 5 1 1 1 3 lim 3 1 xx x 6 h xhx h 33 0 lim 解 4 nxxx x x nn x n x 1 lim 1 1 lim 21 11 5 3 1 1 2 lim 1 2 lim 1 1 1 3 lim 2 1 3 2 1 3 1 xx x x xx xx xxx 6 222 0 322 0 33 0 3 33 lim 33 lim limxhxhx h hxhhx h xhx hhh 二 计算下列极限 1 1 2 1 3 lim 2 xx x 2 14 13 lim 2 2 xx x x 解 1 6 1 2 1 3 lim 2 xx x 2 4 3 1 14 13 lim 14 13 lim 2 2 2 2 xx x xx x xx 3 15 1 lim 23 2 xx xx x 4 110 53 lim 2 x xx x 解 3 0 1 15 1 1 1 lim 15 1 lim 2 32 23 2 xx xxx xx xx xx 学院 姓名 学号 日期 1 5 极限运算法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 9 4 2 22 1 10 5 13 lim 110 53 lim xx xx x xx xx 5 222 121 lim n n nnn 6 2 2 1 lim 1 1 1 n n n aaa ab bbb 解 5 2 1 1 2 1 lim 1 21 lim 2222 n nn n n nn nn 6 a b b a a b bbb aaa n n n n n n 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 2 2 7 11 32 32 lim nn nn n 8 222 111 lim 12 n nnnn 解 7 3 1 3 3 2 2 1 3 2 lim 32 32 lim 11 n n n nn nn n 8 1 1 2 1 1 1 lim 1 1 2 1 1 1 22222222 分别求函数 xf在1 x与1 x的左极限 右极限和极限 解 2 1 1111 lim lim 5 4 lim lim 1 lim x xxxx f xxf xxf x 不存在 2 1 1111 lim lim 5 4 lim lim 1 lim x xxxx f xxf xxf x 不存在 八 设 1 1 lim 2 2 n n n x x xf 试求 xf的表达式 解 当 x 1 22 22 111 limlim1 111 nn nn nn xx f x xx 当 x 1 2 2 1 lim0 1 n n n x f x x 所以 1 1 1 1 01 x f xx x 学院 姓名 学号 日期 1 6 极限存在准则两个重要极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 12 一 利用夹逼定理求下列极限 1 222 111 lim 12 n nnnn 解 因为 22222 111 121 nn nnnnnnn 22 limlim0 1 nn nn nnn 所以 222 111 lim 0 12 n nnnn 2 222 111 lim 12 n nnnnnnn 解 因为 22222 111 2121 nn nnnnnnnnnnn 22 limlim0 21 nn nn nnnn 所以 222 111 lim 12 n nnnnnnn 0 3 2 arctan 1 limx x x 解 因为 2 2 11 0 arctan 4 x xx 2 1 lim0 4 x x 所以 2 arctan 1 limx x x 0 二 证明 332lim nnn n 证明 因为3233 2 nnnn 证明 12 lim nnn n m n aaaa 证明 因为 12 nnnn n m aaaaa m a 证明0lim n n a n 证明 设 a 1 h h 0 2 2 1 1 10 1 2 1 2 nn n n nnn ahh n n a h 2 lim0 1 1 2 n n n n h 所以0lim n n a n 五 利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛 并求出极限 1 121 2 22 2 nn xxxx 证明 I 使用数学归纳法证明单调性 1nn xx 成立 2 假设 1nn xx 成立 则 111 22 nnnnnn xxxxxx 成立 所以数列单调增加 II 使用数学归纳法证明有界性 2 n x 1 当 n 1 1 22x 成立 2 假设2 n x 成立 则 1 2222 nn xx 成立 所以2 n x III 设lim n n xa 11 2lim2lim22 nnnn nn xxxxaaa 2 11 12 11 111 11 n n n xx xxx xx 证明 I 使用数学归纳法证明单调性 1nn xx 1 当 n 2 显然成立 2 假设 1nn xx 成立 则 11 11 1111 22 1111 nnnn nnnn xxxx xxxx 成立 所以数列单调增加 II 1 1 22 1 n n x x III 设lim n n xa 学院 姓名 学号 日期 1 6 极限存在准则两个重要极限 四川大学数学学院高等数学教研室编 14 2 1 1115 2210 112 n n xaaaa xa 六 设 11 xayb 0 ab nnn yxx 1 2 1 nn n yx y 1 证明数列 n x单调增加 数列 n y单调减少且满足 1 2 nn xy n 2 证明数列 n x和 n y都收敛 并且有相同的极限 证明 1 11 1 2 2 nn nnnnnn xy xx yyxyn 1 22 nnnn nn xyyy yy 0 cos1 0 2sin 2 x x x x x x xf 求 00 00 ff 和 lim 0 xf x 解 00 sin2sin2 00 lim2 lim2 2 xx xx f xx 222 2 000 2 2 00 limlim2 lim2 1cossin 2 2sin 2 xxx xxx f x xx 0 lim 2 x f x 十一 设 1 52 1 3 xx xx xf的间断点和连续区间 并确定间断点的类型 解 连续区间 1 1 x 1 跳跃间断点 五 设函数 4 4 4 16 2 xa x x x xf在 内连续 求a的值 解 2 44 16 limlim 4 8 4 xx x ax x 六 利用初等函数的连续性计算下列极限 1 x x x e sin 0 lim 学院 姓名 学号 日期 1 8 1 9 连续性与间断点 四川大学数学学院高等数学教研室编 20 解 0 sinsin lim 0 lim x xx xx x eee 2 11 11 lim 3 0 x x x 解 23 3 3 00 1 11113 limlim 21111 xx xxxx xxx 3 11 lim 22 xx x 解 22 22 22 112 lim 11 limlim0 1 11 xxx xx xx xx 七 判断下列命题的正确性 并对错误的命题举出反例 设 xf和 xg在 内有定义 1 若 xf和 xg为连续函数 则 xgf也为连续函数 2 若 xf为连续函数 xg有间断点 则 xgf必有间断点 3 若 xf有间断点 xg为连续函数 则 xgf必有间断点 八 讨论函数 xf 试 证 明 存 在0 使 0 00 xxxxf 证明 根据 xf在点 0 x连续且0 0 xf 取 00 1 0 2 f x 存在0 当 00 xxx 000 11 0 22 f xf xf xf xf x 十 一 设 xf和 xg是 连 续 函 数 试 证 明 max xgxfx 和 min xgxfx 也是连续函数 证明 max 2 f xg xf xg x xf xg x min 2 f xg xf xg x xf xg x 十二 1 在点 0 x处 xf连续 xg不连续 则 f xg x 和 f x g x在点 0 x是否不 连续 2 设 xf和 xg在点 0 x不连续 则 f xg x 和 f x g x是否在点 0 x不连续 解 1 f xg x 不连续 反证 f x g x不一定连续 xf 0 xg sgn x x 0 2 f xg x 和 f x g x不一定连续 1010 0 1 1010 xx f xg xf xg xf x g x xx 在开区间 0 1 上连续 没有有最大值和最小值 无界函 数 不满足介值性 二 证明方程2sin2 xx至少有一个小于3 2的正根 证明 令 2sin2F xxx 333 0 20 3sin21sin0 222 FF 所以方程2sin2 xx至少有一个小于3 2的正根 三 证明方程sinxaxb 00 ab 至少有一个不超过ba 的正根 证明 令 sinF xxaxb 0 0 sin 1sin 0FbF ababaabbaab 至少有一个不超过ba 的正根 四 三次方程0396 23 xxx有多少个实根 并指出实根所在区间 解 令 32 693F xxxx 2 31293 1 3 0Fxxxxx 1 1 3 3FF 有三个实根 分别位于区间 1 1 3 3 五 设 xf和 xg在 ba上连续 且 f ag a 试证 在 ba内至少存在一点c 使 cgcf 证明 令 F xf xg x 0 0F af ag aF bf bg b 在 ba内至少存在一点c 使 0F c cgcf 学院 姓名 学号 日期 1 10 连续函数的性质 四川大学数学学院高等数学教研室编 23 六 设 xf在 ba上连续 12 n axxxb 试证 存在 1n xx 使 12 1 n ff xf xf x n 证明 设 1212 min max nn Af xf xf xBf xf xf x 所以 12 1 n Af xf xf xB n 0 sin 0 1ln xx xx xf 学院 姓名 学号 日期 2 1 导数概念 四川大学数学学院高等数学教研室编 25 解 函数在0 x处的连续 00 ln 1 sin lim1 lim1 hh hh fxfx hh 可导 八 讨论 取何值时 函数 0 0 0 1 sin x x x x xf 在0 x处 1 连续 2 可导 解 1 当 0 时 0 1 limsin0 0 x xf x 连续 2 当 1 时 1 00 1 sin0 1 0 limlimsin0 xx x x fx xx 可导 九 设 xaxxf 其中 x 在ax 处连续 求 a f 解 limlim xaxa f xf a faxa xa 十 设 10 2 1 xxxxfL 求 10 f 解 2 10 1 3 10 1 2 4 10 1 9 fxxxxxx xxxxxx 10 9 f 十一 已知 0 0 sin xx xx xf 求 x f 解 cos 0 1 0 xx fx x 十二 求曲线xyln 在点 1 e处的切线方程 解 1 ln x ex e 切线方程 1 1 0yxexey e 十三 求曲线 x ey 经过原点的切线方程 解 0 1 x x e 切线方程 yx 十四 设 xf为偶函数 0 f 存在 证明 0 0 f 并用函数图形解释其几何意义 解 00 0 0 limlim0 22 xx f xfx f xx 偶函数在 x 0 出导数为 0 学院 姓名 学号 日期 2 2 求导法则 1 导数的四则运算 四川大学数学学院高等数学教研室编 26 一 求下列函数的导数 1 223 43axxxy 解 2 364yxx 2 1sincos4sin3 xxy 解 3cos4sinyxx 3 xxxy 2 log5lg2ln 解 125 ln10ln2 y xxx 4 1 1 1 x xy 解 11111 1 1 22 yxxy xxxxx 5 2 1 ln x xx y 解 222 22222 ln1 1 2ln11 ln 1 1 1 xxxxx yx xxx 6 xxxycosln 2 解 2 2 lncoscoslnsinyxxxxxxxx 2 设xxxfarctan 1 2 求 0 f 解 2 arctan1 0 1fxxxf 学院 姓名 学号 日期 2 2 求导法则 2 复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 27 一 求下列函数的导数 1 5 63 xy 解 4 15 36 yx 2 xy2sin3 解 2 6sin 2yx 3 22 xay 解 22 2x y ax 4 ln 22 xaxy 解 222222 121 1 2 x y xaxaxax 5 arctan 3 xy 解 2 6 3 1 x y x 6 x ey 1 cos2 解 22 11 coscos 22 11112 2cos sin sin xx yee xxxxx 二 设函数可导 证明 偶函数的导数是奇函数 2 奇函数的导数是偶函数 3 周期函数的导数是周期函数 证明 1 设函数 f x 为偶函数 导数 则 00 limlim hh fxhfxf xhf x fxfx hh 2 设函数 f x 为奇函数 导数 则 学院 姓名 学号 日期 2 2 求导法则 2 复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 28 00 limlim hh fxhfxf xhf x fxfx hh 3 设函数 f x 为周期为 T 的周期函数 导数 则 00 limlim hh f xhTf xTf xhf x fxTfx hh 三 设 xf可导 求下列函数的导数 1 2 x efy 解 2222 2 2 xxxx yfeexxefe 2 1 arcsin x fy 解 2 22 2 111 1 arcsin arcsin 1 1 1 x yff xxx xx x 四 求下列函数的导数 1 xxy 解 11 1 2 2 y x xx 2 21arcsin xy 解 22 21 1 12 y xxx 3 x x y 2sin1 2sin1 解 22 1sin2sincos ln2ln sincos 2ln sincos 1 sin2sincos xxx yyxxxx xxx 22 cossin cossin sincossincos y xxxx yxxxx 3 3 2 sincos 2 sincos cossin sincos xxxx y xxxx 学院 姓名 学号 日期 2 2 求导法则 2 复合函数反函数的导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 29 4 tanln secxxy 解 2 1 sectansec sec sectan yxxxx xx 五 设 mxbfmxbfxg 其中f可导 求 0 g 解 0 gm fbmxfbmx 六 求 4 tan 2 x y 在 1 1 处的切线方程 解 切线方程 22 2 11 1 tan 1 sec 1 1 424 1 1 xx xxx yxxx yx 七 求 x y 1 的经过 2 0 的切线方程 解 设切点为 t 1 t 切线为 2 11 yxt tt 带入 2 0 1t 切线为2yx 学院 姓名 学号 日期 2 3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 30 一 求下列函数的二阶导数 1 xxyln 解 1 ln1 yxy x 2 xxyarctan 1 2 解 2 arctan1 2arctan2yxxyx 3 cos ln sin lnxxxy 解 2 sin ln cos ln cos ln sin ln 2cos ln sin ln yxxxxxyx x 4 x xy 解 21 ln1 ln1 xxx yxxyxxx 二 求下列函数的 n 阶导数 1 12 121 nnn nn yxa xa xaxa 解 y n n 2 sin baxy 解 cos sin 2 yaaxbaaxb 22 cos sin 2 22 yaaxbaaxb sin 2 nn yaaxbn 3 bax y 1 学院 姓名 学号 日期 2 3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 31 解 12 11111 1 bb yxyx b axbaaaaa x a 3 1 1 1 1 2 n nn bnb yxyx aaaa 4 x x y 1 1 解 12 12 12 1 12 1 1 11 x yxyx xx 3 1 2 1 2 1 2 1 1 nnn yxynx 三 设 xf二阶可导 求函数的二阶导数y 1 sinxfy 2 xf ey 解 1 2 sin cos sin cos sin sinyfxx yfxxfxx 2 2 f xf xf x yefxyefxefx 四 求函数 3x yx e 的 15 阶导数 解 3 15 3 15 3 32 0 366 xxkx k yx eexexxx 五 设 xf在 内有连续的二阶导数 且0 0 f 设 0 0 xa x x xf xg 1 确定a的值 使 xg在 内连续 2 求 xg 解 1 0 0 lim 0 x f x agf x 2 当0 x 2 xfxf x g x x 当0 x 2 000 0 0 11 0 limlimlim 0 22 hhh g hgf hfh gfhf hh 学院 姓名 学号 日期 2 3 高阶导数 四川大学数学学院高等数学教研室编 32 六 试从公式 ydy dx 1 导出下列反函数的高阶导数公式 32 2 y y dy xd 2 32 35 3 d xyy y dyy 证明 1 2 223 11 d xddxddyyy dydy dydx ydxyyy 2 322 3235 3 d xdd xdydyyy y dydy dydxydxy 学院 姓名 学号 日期 2 4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 33 一 求下列方程所确定的隐函数y y x 的导数 dx dy 1 xyyx6 33 解 2 3322 2 2 63366 2 dydydyyx xyxyxyyx dxdxdxyx 2 xyyxcos sin 2 解 22 sin cossin 1 2 cossin dydy xyyxxyyxyx dxdx 2 sin sin 2 cossin dyxyyx dxyxxy 3 x y yxarctan ln 22 22 2222 22 2 ln arctan 2 dydy xyxy ydyxy dxdx xy xxyxydxxy 二 求曲线 242 5xxy 在点 1 2 处的切线方程 解 3 242 1 2 109 5 2 dyxxdy yxx dxydx 切线方程 9 2 1 9250 2 yxxy 三 证明 曲线ayx 上任意点处的切线在两坐标轴上的截距之和恒为a 证明 曲线ayx 上任意点 x y 处的切线 y YyXx x 两坐标轴上的 截距之和 2 2 xyxxyyxyxyxya 四 设函数 xyy 满足方程yyxexy sin 2 试求 0 y 解 222 sin cos 2 xyxy ex yyeyxyx yxyx yy 学院 姓名 学号 日期 2 4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 34 011xyy 五 列函数的导数 1 x xy 解 ln ln ln 2 xxxxx xx yxeyxxxyx xx 2 x xy ln 解 lnln 1 ln ln lnln ln lnln ln xxxxx yxeyxxxyxx x 3 x x y 1 1 解 2 111 11111 ln ln 1 ln 1 122 11111 xxx yyxxy xxxxxx 4 3 2 2 1 1 x xx y 解 22 2 33 222 1 11 1 122 ln lnln 1 2ln 1 1 33 1 11 x xx xx yyxxxy xxxxx 六 设 xy yx 求 dx dy 解 ln lnlnlnln ln yx y y dyyx dydy x xyyxxyxy x dxxy dxdx x y 七 求隐函数的一阶导数 dx dy 和二阶导数 2 2 dx yd 1 16 44 yx 解 3 4433 3 16440 x xyxy yy y 学院 姓名 学号 日期 2 4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 35 23322462 677 3348 3 x yx y yx yxx y yyy 2 3 xyey 解 3 3 yy y yy exye yyxyyy exxyx 2 23 3 1 2 3 3 3 xyxyy yxyyyxyxxy y xyxxyx 八 已知1 y xey 求 2 0 2 x d y dx 解 1 010 0 1 y yyy y e yxexyyexe yyye xe 2 2 1 0 2 1 yyyyy y e yxeeexe y yye xe 九 求参数方程所确定的函数 xyy 的导数 dx dy 1 15313 353 ttyttx 2 teytex tt cossin 3 2 arcsin 1 t x t 2 1 arccos 1 y t 解 1 42 2 2 1515 5 33 dytt t dxt 2 2 cossin cossin tt t tt dyetet e dxetet 3 22 sin2 sincos1 sin2 dyx xy dxy 2 1 arccos 1 y t 十 求 2 3 1 at x t 2 2 3 1 at y t 在2 t处的切线和法线的方程 学院 姓名 学号 日期 2 4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 36 解 曲线导数为 2322 2222 6 1 63 1 6 2 1 1 dyattatatat t ttdx 在2 t处 612 4 55 aa dy xy dx 切线方程 126 4 55 aa yx 法线方程 1216 545 aa yx 11 设 23 btyatx 求 dy dx 2 2 d y dx 解 2 22 1 33 dybtb dxata t 2 2 2224 212 121 3 339 d ybdbdxb at dta tdta tdxa t 12 设 ln 1 arctan xt yt 求 2 0 2 t d y dx 解 2 2 1 1 1 1 1 1 dyt t dxt t 222 0 22222 112 1 1 1 1 1 1 t d yd ydtdxttt dttdtttdxdx 13 设 23 3 ln 1 arctan xtd y dxytt 求 解 2 2 2 1 1 1 1 1 dy t t dx t 2 23 22 1 222 1 d yddx tttt dtdttdx 3 3222 23 1 22 26 2 1 1 3 1 d yddx ttttt dtdttdx 14 设 xyy 是由方程 01sin 323 2 yte ttx y 所确定的隐函数 求 0 t dy dx 和 2 0 2 t d y dx 解 2 32362 dx xttt dt 学院 姓名 学号 日期 2 4 隐函数参数方程求导相 关变化 四川大学数学学院高等数学教研室编 37 cos sin10sincos0 1sin y yyy y dydydyet etyetet dtdtdtet 2 3233 0 1 sin10 y xttx t y ety 000 cos cos 1sin 622 31 2 2 y y y ttt et dyete et dxtty 2 2 22 2 0 2 cos 62 2 31 2 cos 31 2 3cos 2 cos 31 2 31 2 62 3 4 y yyy t d yet t tydx dydy ettyetyett dtdt tyt d ye dx 15 一个球形雪球的体积以 1cm3 min 的速度减少 求直径为 10cm 时 雪球直径的减少速 度 解 32 41 14 3400 dVdrdr Vrr dtdtdt 16 将水注入深 8m 上顶直径为 8m 的正圆锥形容器中 注水速度为 4m3 min 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少 表面上升的加速度又为多少 解 2 32222 2 1116 42 0 124 dVdhdhdhd h Vhhhhh dtdtdtdtdt 5 2 2 2 5 22525 1616 0 2037 25 2512512 0 0166 5 h h dh dth d hdh dth dth 学院 姓名 学号 日期 2 5 函数的微分 四川大学数学学院高等数学教研室编 38 一 填空题 1 22 111 1421 2 dxd xx 2x 1 2 d arctan2x d 1 arctan2 2 x 2 111 21212 dxd xx 2x d 12x 3 2 arctan arctan 1 fx dxfx d x arctan x d 1 arctan 2 fx 4 33 arctanarctan 22ln2 xx dd 3 arctanx 二 计算微分 1 2arcsinln 2 xxd x 2 arctan x ed 3 1 2 2 x d x 解 1 2 2 2 lnarcsin2 2 ln 14 d xxxxxxdx x 2 2 11 arctan 12 xx xx deedx e 3 2 222 22 1 ln22 2 1 1 xxx xx ddx xx 4 xvvxuu 为可导函数 求 v u yarctan 的微分 解 22222 1 arctan 1 uvduudvvduudv dyd vuvvuv 三 求隐函数或参数方程决定函数的导数 1 yy x 由方程 xy eyxln 2 决定 求 dx dy 解 2 22 3 112 ln2 yy y dydydyx y x yexxyxe dxdxxdxxxe 2 yy x 由参数方程 743 32 34 2 tt tt eey eex 确定 求 2 2 dx yd dx dy 解 43 2 2 1212 6 22 tt t tt dyee e dxee 222 22 6 126 221 ttt ttt d ydedxee dxdtdteee 学院 姓名 学号 日期 2 5 函数的微分 四川大学数学学院高等数学教研室编 39 四 求05 1arctan的近似值 解 arctan 1 arctan1 2 h h arctan 1 05 0 0250 8104 4 五 利用微分的近似公式证明 xx 1 1 证明 1 1f axf afa xxx 学院 姓名 学号 日期 3 1 微分中值定理 四川大学数学学院高等数学教研室编 40 一 证明 1111 11 22 1 ln nnnn aaaa nan 证明 令 1 1 x F xaxn n 则 111 1 2 1 1 ln nnn F nF nF naaaa n 111111 1 111 222 1 ln 1 ln nnnnnn n aaaaaa a annan 二 对 3 xxf 在 2 3 上求出满足拉格朗日中值定理的 解 32 21 2 8 3 2735 3 2 15 3 f xxffff 三 xf在 2 0 上 可 导 则 2 0 内 至 少 存 在 一 点 使 02cos 22sin ff 证明 令 sin2 0 0 0 2 F xf xxFFF 即 02cos 22sin ff 四 xf可导 xxfxf2 4 1 解 1122 12 0 012 lnlnln ln ln1 lim lim 12 0 lim xxx xxx nn n xxx x xn aaaaaa aaanxxx aaa n xx x aaa ee n L L L L L L LL 学院 姓名 学号 日期 3 2 洛必达法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 43 1 2 0 ln lim 12 n x a aa n n n ea aa LL LL 二 01 0 1 x x x e xf x 求 0 0 ff 解 2 00 0 11 0 limlim 2 x xx f xfex f xx 当0 x 时 2 1 xx xee fx x 2 2 3 000 11 0 222 2 0 limlimlim 2 xx xx xxx xee fxfxeex x f xxx 2 000 222211 limlimlim 6333 xxxxx xxx exeexee xx 三 已知b x axx x cos 1 2ln2 lim 1 求ba 解 1 2ln2 202 x xaxaa 22 111 2ln22112 lim2lim2lim 1cos sin sin cos xxx xxx b xxxxxx 四 求ba 使0 x时 3 2f xsin xaxbx 为尽可能高阶无穷小 并求它的阶 解 32 1 00 22cos23 limlim kk xx sin xaxbxxabx xkx 2 0 2cos23 202 x xabxaa 2 123 000 2cos2234sin268cos26 limlimlim 1 1 2 kkk xxx xbxxbxxb kxk kxk kkx 0 8cos26 8604 3 x xbbb 34 00 8cos2816sin2 limlim 1 2 1 2 3 kk xx xx k kkxk kkkx 学院 姓名 学号 日期 3 2 洛必达法则 四川大学数学学院高等数学教研室编 44 5 0 32cos2324 lim 5 1 2 3 4 1 2 3 4 15 k x x k k kkkkxk kkkk 附加题 xf在0 0 x处二阶可导 3 2 lim 2 0 x xf x 求 0 0 0 fff 解 2 0 2 lim3 0 2 x f x f x 2 00 0 2 0 limlim0 xx f xff x fx xx 2 000 2 0 0 lim3lim0 0 lim0 xxx f xfxffxf f xxx 学院 姓名 学号 日期 3 3泰勒公式 四川大学数学学院高等数学教研室编 45 一 arctanf xxx 在1 0 x处展开为二阶Taylor公式 2 2222 22 arctan arctan 11 1 xx f xxx fxxfx xxx 11 1 4422 ffxfx 2 11 arctan 1 1 4422 xxxx 二 432 552f xxxxx 展开为1 x的多项式 解 43232 552 415101 f xxxxxfxxxx 2 4 123010 2430 24fxxxfxxfx 4 1 4 1 0 1 8 1 6 1 24fffff 4322324 55244 1 1 1 xxxxxxx 三 求0 x时 无穷小量xxxexsin1 的阶 解法一 222222 000 13 1sin3 22 limlimlim 2 2 x kkk xxx xo xxo xxo x exxx k xxx 解法二 12 000 1sin1 sincos2cossin3 limlimlim 2 1 2 xxx kkk xxx ex xxex xxex xx k xkxk kx 四 求 4 2 0 2cos2sin lim x xx x 解 24244 2 44 00 11 2 1 2 sin2cos2 224 limlim xx xo xxxo x xx xx 44 4 0 1 lim 12 x xo x x 五 2 1 0 x 证明 62 1 32 xx xex 的绝对误差不超过 0 01 并求e的误差不超 过 0 01 的近似值 学院 姓名 学号 日期 3 3泰勒公式 四川大学数学学院高等数学教研室编 46 证明 23456456 1 264 5 6 4 4 4 x xxxxxxxx exR xR x 4564 11 0 005 4 4 4 24 1 212 16 xxxx R xR xR x 111 110 50 1250 0208 1 6458 2848 e 附加题 xf在区间 ba有二阶导数 且0 bfaf试证明 ba内至少有一点 使得 4 2 afbf ab f 证明 21 1 2222 fxabbaab ff axa 22 2 2222 fxabbaab ff bxb 令 121 221 xfxfx a b xfxfx 12 max ffxfx 2 2 12 22 1 224 abab f bf af bfff a baba fxfxf 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 1 函数的单调性 极值和最值 四川大学数学学院高等数学教研室编 47 一 求函数的极值点和单调区间 1 23 1 3 f xxx 解 2 23 3 2 3 11 79 3 1 3 2 3 109 7 3 33 1 xx f xxxxxx x 列表 f x 0 0 x 9 7 3 f x 增 极大 减 极小 增 2 4 1 23 xxxf 解 2232 3 1 2 1 52 1 00 2 5 1f xxxx xxxxx 列表 f x 0 0 0 x 0 2 5 1 f x 增 极大 减 极小 增无极值 增 二 证明不等式 1 x e x x 2 1 1 10 x 证明 222 1 1 1 1 10 1 xxx x exexexx x 令 2 1 1 0 1 x F xexxx 0 0 F 2 22 11 12 x xx FxexG x ee 22 12 0 0 220 0 xx G xex GGxeG x 22 1 0 1 10 1 xx x Fxexxe x 0 x 证明 2 sincos1 0 0F xxxxxF cossin12cos1Fxxxxxx 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 1 函数的单调性 极值和最值 四川大学数学学院高等数学教研室编 48 cos1 0 0 1sin0 0G xxx GG xxG x 22 0sincos10sincos1Fxxxxxxxxx 3 xf在 0 c有严格单调递减的导函数 0 0fxf 则cbaba 0 有 bfafbaf 证明 1 21 2 0 f afc a f abf bf aa fcfc f abf bfc a aaxx有几个实根 解 11 ln 0F xxax Fxax xa 2 11 0 ln 0 FxFea FF xa 时 有两个实根 当 11 ln 0Feaa ae 时 有一个实根 当 11 ln 0Feaa ae 时 无实根 四 0 x时方程 1 1 2 x ax有且仅有一个根 求a的取值范围 解 12 33 00234 1226 1 0 6 1 0 2 a F xaxF xaxF xFx xxax 当 0 6 0 0 00 18 aF xaFF 时 无实根 当 0 6 0 0 00 18 aF xaFF 时 有一个实根 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 1 函数的单调性 极值和最值 四川大学数学学院高等数学教研室编 49 当 0 6 0 0 00 18 aF xaFF 函数在 4 0 上单调增加 所以最小值 大最值分别为 13 0 4 48 ff 六 1 10 px 证明 1 1 21 ppp xx 证明 111 00 1 1 1 0 2 2 ppppp F xxxFxpxpxxF x 0 1 1FF 所以根据最小值 大最值有1 1 21 ppp xx 七 求3 22 yxyx上点的纵坐标y的最大值 最小值 解 2222222 33 04 3 3 4 0 2 2 xxyyyxyxxxxx 22 22 2 31 2 31 xxxyyy xxxyyy 22 2 32200 2 yx xxyyxy xyyyy y x 222 1131 22202 xxxxyyx yyyxyx 纵坐标y的最大值 最小值 2 2 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 2 函数的单调性 极值 四川大学数学学院高等数学教研室编 50 一 确定下列函数曲线的凹凸区间和拐点 1 2 1 1 x y 解 2 22 22 3 1231 2 1 1 1 xx yyy xxx 3 0 3 yx 列表 f x 0 0 x 3 3 3 3 f x 凹 拐点 凸 拐点 凹 2 x xey 解 2 02 xxxx yxeyexeyxex 列表 f x 0 x 2 f x 凸拐点 凹 3 2 2 3tty tx t为参数 决定函数 xyy 解 2 2 23 2 313 1 1 24 3 xtdyd y dxtdxt ytt 没有拐点 列表 当 t 0 时 f x x f x 凸 当 t 0 时 f x x f x 凹 二 求下列函数曲线的渐近线 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 2 函数的单调性 极值 四川大学数学学院高等数学教研室编 51 1 1 1 x e y x 解 1 1 lim1 1 x x e x x 为垂直渐近线 1 0 lim0 1 x x e x x 为垂直渐近线 1 lim00 1 x x e y x 为水平渐近线 2 2 1 3 xx x y 解 33 12 limlim1 2 1 2 1 2 xx xx xx xxxx 为垂直渐近线 332 32 lim1 lim lim3 1 2 1 2 1 2 xxx xxxx abx x xxxxxx 3yx 为斜渐近线 三 作出函数 2 3 1 2 2 x x y的曲线 解 322 334 34 1 2 3 2 01 2 02 2 1 2 1 1 xxxxx f xxfxx xxx 列表 f x 0 f x 0 0 x 1 1 2 f x 凸增 极大 3 8 凸减 凸增拐点 7 2 凹增 垂直渐近线 x 1 斜渐近线 1 1 2 yx 描点作图 四 求 3 2 3 2 3 2 ayx 上任意点处的曲率 学院 姓名 学号 日期 3 4 3 7 2 函数的单调性 极值 四川大学数学学院高等数学教研室编 52 解 22211 33333 3 22 0 33 y xyaxyyy x 22 33 3 3 x yyy y xyx 3 33 2 22 2222 3333 2 3 3322223 33 1 3 3 yx yyyx yyyx K yxyx xyyxxy 附加题 设 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 0 0 1 1ff 证明 对任意 给定的正数 a b在 0 1 内存在不同的 使 ab ab ff 证明 则 1fx 在 0 1 内任取正数 a b结论成立 如果 f x是不线性函数 即存在 000 xf xx 不妨设 00 f xx 01011 0 1 0 1 f xffx xfxx 于是 存在 12 0 1 x x 使 12 21 11 0 1 101 f xf x f xf x 已知 存在两个不同的正数 21 11 01 A BstAB f xf x 使得AaBb