随机微分方程在物理学中的应用.doc

内蒙古科技大学本 科 毕 业 论 文论文题目： 随机微分方程在物理学中的应用 院 系： 物理科学与技术学院 专 业： 应用物理 姓 名： vvv 学 号： 0700000069 指导教师： xxx 二零 一二 年 三 月摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。 关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor contributing to the construction and development of stochastic integral, and on this based on the theory of stochastic differential equations and methods.With the development of technology, more and more widely used in stochastic differential equation model and analysis. In this paper, the cha- racteristics of randomness exist in physics, mathematics extracted the es- sence, the use of mathematical methods and strategies, the establishment of the corresponding stochastic differential equations, mathematical char- acteristics and mathematical analysis in which the mechanism and nature of the formula is derived through the analysis to better Understanding of stochastic problems in physics. Key words: stochastic differential equations; Brownian motion; matlab simulation;目录引言61随机过程及随机微分方程概述711随机过程71.2随机微分方程（SDE）71.3随机微分方程分类81.3.1系数81.3.2初始值81.3.3移项101.4伊藤微分方程及伊藤微分法则111.4.1伊藤微分方程概述11142伊藤积分11143 伊藤过程111.4.4 引理及其应用121.5随机微分方程的研究意义132随机微分方程的数值解132.1随机微分方程的数值解132.1.1 SDE的解132.1.2 SDE的数值解143用随机微分方程描述物理过程并提炼数学模型143.1布朗运动143.1.1布朗运动概述14312布朗运动的数学模型1532布朗运动的随机微分方程16321布朗运动的微分形式164利用matlab数值模拟布朗运动174.1matlab简介174.1.1matlab特点174.2布朗运动的模拟1843几何布朗运动的模拟18结论20参考文献21致谢22引言本论文的主要内容是随机微分方程及其在物理学中的应用，首先介绍了随机过程和随机微分方程，以及必要的数学准备知识，再通过对物理学中布朗运动的背景分析，提炼数学模型，推导出其微分方程，利用matlab模拟该过程，最后分析随机微分方程的解及其研究意义。随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。在本文中，对于理性概念的定义与命题的推导，并不探求数学的严密性，而是通过剖析原始想法叙述其含义及可能的发展，让读者尽快的了解并掌握随机微分方程的思想要领。同时也为想要进一步学习提高的读者提供了一个直观的平台。1随机过程及随机微分方程概述11随机过程 随机过程的理论研究起源于生产、科研中的实际需要，随着人们对现象的认识越来越深人，它已被广泛地应用于自然、社会科学的许多领域中，并在课题的研究和解决中起着重大的作用。大量的含有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。二元函数是随机过程，其中。如果,则称该过程为离散时间过程；如果R,则称连续时间过程。我们通常把连续时间随机过程记作，0。有时我们用来表示。 对于固定的，比如，（，），0（或离散情形下的，）被称作路径或轨迹。 对于固定的，比如，集合（或者离散情况下的）是时刻该随机过程的状态集。就成了随机变量。1.2随机微分方程（SDE） 通常写成微分形式： 有时也简写为： 被称作漂移项，被称作扩散项。1.3随机微分方程分类1.3.1系数方程 （公式3.1）等价于形式上该随机微分方程组的解可写为对一个模型而言，在工程上感兴趣的是它的解的数值。对于公式3.1其中分别为： 1.3.2初始值定理：若连续，则方程（3.1）对于任何初始条件有唯一均方解。证明：方程（3.1）等价于积分方程。下用逐步逼近法来解这个积分方程。由关系式定义了一个随机过程序列。考虑五维闭区域。在D上连续因而有界，即存在常数M，在D上满足，随机积分有如下形式，因此，其中。又由在D上的连续性可知它们皆有界，所以存在常数在D上满足所以有又有计算得知其中。从而推出同理最后有所以有 于是有，其中，即有序列为一致收敛的。所以唯一存在。1.3.3移项考虑X(t)和t的一个任意函数h(X,t),在X和t的任何有限区间上它的偏导数是联合连续和有界的。如果用表示时间增量下的一个有限向前增量算子有：这时的泰勒级数展开为： (3.2)已证明,因此给定X下方程（3.2）的条件的期望为：再对上述方程求期望得：上式同时除以再令，交换微分与期望，便得常微分方程： （3.3）令，方程（3.3）就是对于的矩方程。当，状态变量，则，将附录中的各参数代入方程（3.3）即可求出的矩方程。1.4伊藤微分方程及伊藤微分法则1.4.1伊藤微分方程概述伊藤微分方程是一类在控制论、滤波和通讯理论中有着重要作用的随机微分方程，它的表述如下X(t)=fX(t)，t+GX(t)，tW(t)，t属于t。，T，X(t。)=X。其中W(t)是m维矢量随机过程，其分量是高斯白噪声过程，Gx(t)，t是nxm矩阵函数，X。与W(t)独立。f，G均为t。，T上布朗可测函数。若fX(t)，t为关于X的非线性函数，则称其非线性伊藤随机微分方程。首先研究这类随机微分方程的是郎之万，他在1908年研究粒子作布朗运动时提出这类方程。从那时起这类微分方程的研究得到了迅速发展。这种方程描述了一切具有随机扰动或输入的系统。142伊藤积分 假设是关于布朗运动生成的事件流适应的随机过程，满足+.则X的积分定义为： 例如： = 143 伊藤过程 随机过程可以写成如下形式： 其中和是两个适应过程，且满足 and 则被称为过程1.4.4 引理及其应用引理： 假设满足SDE： 是X的函数，则 展开时，有下面的法则： 引理的应用： 假设满足SDE： 设 = = = 则是布朗运动，有 =1.5随机微分方程的研究意义随机过程的理论研究起源于生产、科研中的实际需要，其理论产生于二十世纪的初期。特别是三十年代柯尔莫哥洛夫奠定了概率论的数学基础之后，随机过程理论得到了更快、更深刻的发展。随着人们对现象的认识越来越深人，它已被广泛地应用于自然、社会科学的许多领域中，并在课题的研究和解决中。在模拟、分析和预测物理和自然现象的性质时，越来越强调使用概率方法。这是因为很多这类问题的表述中存在着复杂性、不确定性和未知因素，概率理论已被越来越多地用来研究科学和工程中的种种课题。许多物理上重要的问题是用确定性微分方程描述的，牛顿第二定律的数学描述就是一个典型的例子。当考虑到各种随机效应时，包含随机元素的微分方程，即随机微分方程就起着重要的作用，它能解释或者分析确定性微分方程无法解决的问题。2随机微分方程的数值解2.1随机微分方程的数值解2.1.1 SDE的解 全局Lipschitz条件：对于所有的和，存在常数K+使得 线性增长条件：对于所有的和，存在常数使得 则SDE存在唯一的、连续的强解使得： 2.1.2 SDE的数值解 并不是所有的SDE都能解出显式解，更多的SDE只能通过迭代式求出数值解。求SDE数值解也就是模拟出解的路径。 Euler格式： Milstein格式： 其中 ， 而是互相独立的标准正态随机变量。3用随机微分方程描述物理过程并提炼数学模型3.1布朗运动3.1.1布朗运动概述英国物理学家Brown与1827年在显微镜下观察液体中的花粉微粒，发现他们在极端不规则的运动，以后的研究者发现了更多的类似现象，如空气中的烟雾的扩散等。直到19世纪末才知道其机理是，由于花粉、烟尘等微粒，受到大量液体分子或气体分子的作用，所做的无规则碰撞而形成的。Einstein在1905年做了量化的讨论，建立了物理模型。以后又经过Ornstein和Uhlenbeck，以及Langevin等人的完善。Wiener在1918年对Brown运动建立了用随机过程的语言描述的严格数学模型。经过数学家一个世纪的努力，到20世纪中叶，Brown运动的数学理论已经十分成熟而且具有极为广泛的应用。Brown运动和Poisson过程自然地成为随机过程的两大支柱。作为随机过程，Brown运动的性质最为特殊，作用也更为广泛。312布朗运动的数学模型 Einstein将Brown发现的现象描述为一个随机运动的粒子在时间区间0,t上的随机位移，因此，它是一组依赖与时间参数t的三维随机向量，即它是一个三维的随机过程。如果我们将粒子的出发位置取为坐标原点，那么。Einstein从物理的角度假定了这种粒子的运动具有以下性质： 粒子在空间的位移的3个一维分量是相互独立的，且它是独立增量过程，即在任意互不相交的区间上，其差都相互独立。 运动的统计规律对空间是对称的。因而有。 在时间区间上的差的分布，与时间区间的起点s无关，并且其方差 =是t的连续函数。 由此我们求的分布密度表达式如下。 首先，由独立增量性质得到 =由于关于t连续，由微积分知道必有表达式 其中D是一个常数，是单位时间内粒子平方位移的均值，称之为扩散常数。由分子运动学Einstein得到了 其中R是由分子的特性所决定的一个普适常数，T是绝对温度，N是Avogadro常数，f是摩擦系数，不妨设D=1. 对任意划分 可以表示为n个独立的随机变量之和： +（）+(). 具有正态密度即其分布密度为 从Einstein的物理模型可以抽象出以下的数学模型。 满足以下条件的一个随机过程称为布朗运动。 是独立增量的过程，即对任意互不相交的区间上，相应的增量都相互独立。 对于任意，增量（分布不依赖s，称为具有平稳增量）； 对每一个固定的基本事件（样本点）作为t的函数（称为样本轨道），是连续函数（微粒运动的连续性）。 特别地，当D=1时，我们称之为标准Brown运动，一般就简称标准Brown运动为Brown运动。32布朗运动的随机微分方程321布朗运动的微分形式布朗运动： 在给定初值的条件下，可以求出方程的解为: 几何布朗运动： 在给定初值的条件下，可以求出方程的解为: Vasicek过程: 时该过程有均值反转的性质。该过程也可以写成： Cox-lngersoll-Ross过程: 当时，该过程严格取正值。方程也可以写成： 4利用matlab数值模拟布朗运动4.1matlab简介MALAB 译于矩阵实验室MATrix LABoratory 是用来提供通往LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。后来， 它渐渐发展成了通用科技计算图视交互系统和程序语言。MATLAB 的基本数据单位是矩阵它的指令表达与数学工程中常用的习惯形式十分相似。比如，矩阵方程Ax=b， 在MATLAB 中被写成A*x=b 而若要通过A,b求x ，那么只要写x=Ab 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此，用MATLAB 解算问题要比用C Fortran 等语言简捷得多。MATLAB语言是当前国际上自动控制领域的首选计算机语言，也是很多理工科专业最适合的计算机数学语言。MATLAB作为线性系统的一种分析和仿真工具，是理工科大学生应该掌握的技术工具，它作为一种编程语言和可视化工具，可解决工程、科学计算和数学学科中许多问题。MATLAB是一种交互式的以矩阵为基础的系统计算平台,它用于科学和工程的计算与可视化。它的优点在于快速开发计算方法，而不在于计算速度。4.1.1matlab特点1.高度适应性、开放性：MATLAB的工具箱可以任意增减，任何人可以自己生成MATLAB工具箱。2可扩充性： MATLAB的函数大多为ASCII文件，可以直接编辑、修改3.基于矩阵运算的工作平台。多版本：windows/unix/dos/Macintosh4.极多的工具箱。4.2布朗运动的模拟 设定.对，做以下几步： 产生 43几何布朗运动的模拟设定初始值为，对，做以下几步： 产生 结论通过完成这篇论文，我们对随机过程及随机微分方程的形式有了初步的了解，通过随机微分方程在布朗运动上的应用，可以清楚地了解布朗运动的数学机理及运动轨迹，使得对于物理过程的理解更加深刻。当今，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中，本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中