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3 3 1协方差和相关系数 问题对于二维随机变量 X Y 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量 除了每个随机变量各自的概率特性以外 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个什么样的数去反映这种联系 数 Y之间的某种关系 反映了随机变量X 定义称 协方差 记为 称 为 X Y 的协方差矩阵 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵 协方差和相关系数的定义 为X Y的 若D X 0 D Y 0 称 为X Y的相关系数 记为 事实上 若 称X Y不相关 利用函数的期望或方差计算协方差 若 X Y 为离散型 若 X Y 为连续型 协方差和相关系数的计算 求cov X Y XY 例1已知X Y的联合分布为 X Y pij 10 10 p0 0q 0 p 1p q 1 解 例2设 X Y N 1 12 2 22 求 XY 解 若 X Y N 1 12 2 22 则X Y相互独立 X Y不相关 例3设X Y相互独立 且都服从N 0 2 U aX bY V aX bY a b为常数 且都不为零 求 UV 解 由 而 故 继续讨论 a b取何值时 U V不相关 此时 U V是否独立 协方差的性质 当D X 0 D Y 0时 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 协方差和相关系数的性质 证明令 对任何实数t 即 等号成立 有两个相等的实零点 即 又显然 即 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 相关系数的性质 Cauchy Schwarz不等式的等号成立 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 X Y不相关 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 在例1中已知X Y的联合分布为 例4设 X Y N 1 4 1 4 0 5 Z X Y 求 XZ 解 定义设X1 Xn为n个r v 记bij cov Xi Xj i j 1 2 n 则称由bij组成的矩阵为随机变量X1 Xn的协方差矩阵B 即 以前讲过的n维正态分布的形式中就有协方差矩阵 3 3 2协方差矩阵 显然 bii DXi i 1 2 nbik bki i k 1 2 n 故协方差矩阵B是对称矩阵 由柯西 许瓦兹不等式有 如果我们记 则有 因此B为 称为列随机向量X的数学 的方差 其中 期望 对任意实数t1 tn 有 如果记t t1 tn 上式即为 证明设 协方差矩阵的性质 的概率密度函数 则 以及 分别为 这表示B是非负定的 由矩阵论的二次型理论知 对任意正整数k 1 k n 有 如果X1 Xn相互独立 则B为对角矩阵 证明因为X1 Xn相互独立 所以当k I时 所以B为对角矩阵 作业P208习题三 35 36 单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级 放映结束感谢各位的批评指导 让我们共同进步 母爱母爱是伞 为你遮风挡雨 母爱是衣 为你送去温暖 母爱是灯 为你送去光明 母爱是
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