《名师伴你行》人教A版学桉八+单调性与最大(小)值.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 1 一般地 设函数f x 的定义域为I 1 如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 反映在图象上 由左至右 图象连续 2 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 反映在图象上 由左至右 图象连续 2 如果函数y f x 在区间D上是 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的区间 任意f x1 f x2 上升 增函数或减函数 下降 f x1 f x2 单调 3 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 称M为函数y f x 的最大值 记为ymax M 2 对于任意的x I 都有f x M 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最小值 记为ymin M 4 函数的最大 小 值反映在图象上 是函数图象的纵坐标 任意的x I f x0 M 最高 低 点 存在x0 I 学点一判定函数的单调性 分析 熟练掌握基本初等函数的图象和单调性 有利于更好地掌握复杂的复合函数的单调性 评析 判定函数的单调性 可以从图象上直观看出 也可以利用函数本身的性质得出 下列函数中 在区间 0 上是增函数的是 A y x2 2x 1B y C yD y 解析 y x2 2x 1在 1 上递增 而在 0 1 上递减 y 在 0 上是减函数 y 在 0 1 上递增 在 1 2 上递减 只有y 在 1 上递增 在 1 上递增 从而在 0 上递增 故应选C C 下列函数 在区间 0 2 上是增函数的是 A y B y 2x 1C y 1 2xD y 2x 1 2 B y 在 0 上是减函数 排除A y 2x 1在R上是增函数 故在 0 2 上也是增函数 y 1 2x在 0 上是减函数 排除C y 2x 1 2在 0 上是减函数 在 2 上是增函数 故应选B B 学点二单调性的判定与证明 分析 用函数单调性定义证明 求证 函数f x 1在区间 0 上是单调增函数 证明 对于区间 0 内的任意两个值x1 x2 且x10 x1x2 0 因为f x2 f x1 1 1 所以f x2 f x1 0 即f x1 f x2 故f x 1在区间 0 上是单调增函数 评析 证明函数在某个区间上是增函数或减函数 用定义证明是最基本的方法 步骤是 设值 作差 变形 判断符号 下结论 设x1 x2是 内的任意两个实数 且x10 0 x2 x1 x2x1 0 即f x1 f x2 函数f x x3 1在 上是减函数 根据函数单调性的定义证明 函数f x x3 1在 上是减函数 学点三利用图象求函数单调区间 分析 先将函数解析式化简 变为熟悉的基本函数 作出函数f x 的图象 并指出函数f x 的单调区间 解析 原函数可化为f x x 3 x 3 2x x 3 6 33 评析 1 利用函数图象确定函数的单调区间 具体做法 先化简函数式 然后再画出它的草图 最后根据函数定义域与草图的位置 状态 确定函数的单调区间 显然函数的增区间为 x2 x3 x4 x5 减区间为 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 利用图象求函数单调区间是最基本 最直观的方法 只要作出图象 求单调区间很容易 如y f x 图象如下图所示 求函数y x2 2 x 3的单调区间 如图所示 在 1 0 1 上 函数是增函数 在 1 0 1 上 函数是减函数 学点四利用单调性求变量范围 一 在具体函数中利用单调性求变量范围 1 已知f x x2 2 1 a x 2在 4 上是减函数 求实数a的取值范围 2 已知f x x3 ax在 0 1 上是增函数 求实数a的取值范围 分析 二次函数是我们最熟悉的函数 只要遇到二次函数就画图象 也可以不将图象画出 而在脑海中出现 就会给我们研究问题带来方便 对于不熟悉的函数 可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题 解析 1 要使f x 在 4 上是减函数 由二次函数的图象可知 只要对称轴x即可 解得a 5 2 设00 f x2 f x1 ax2 ax1 a x2 x1 x1 x2 x1x2 a 0 f x 在 0 1 上是增函数 又 x2 x1 0 x1x2 a x1x2 又 0 x1 x2 1 x1x2 3 a 3 评析 1 二次函数问题要注意三点 一是开口方向 二是对称轴 三是顶点坐标 2 有关单调性的问题 当我们感觉太陌生 不熟悉 走投无路时 回到单调函数的定义去 的方法 往往给我们带来 柳暗花明又一村 的感觉 若函数f x ax2 3a 1 x a2在 1 上是增函数 求实数a的取值范围 1 当a 0时 f x x在 1 上是增函数 2 当a 0时 要使f x 在 1 上是增函数 a 0 1 3 当a 0时 由二次函数图象可知f x 不能在 1 上是增函数 综上所述 a的取值范围为 0 1 二 在抽象函数中利用单调性求变量范围设f x 是定义在 0 内的增函数 且f xy f x f y 若f 3 1 且f a f a 1 2 求a的取值范围 分析 从两点考虑 一是常数2与f 3 是什么关系 可由f xy f x f y 找出 二是在不等式f a f a 1 2中怎样 脱 去 f 解析 f xy f x f y 且f 3 1 f 9 f 3 3 f 3 f 3 2f 3 2 又 f a f a 1 2 f a f a 1 f 9 即f a f 9 a 1 评析 1 抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性 脱号 2 脱号 时莫忘定义域对自变量的限制 由单调函数的概念得解得1 a a的取值范围是1 a 已知函数y f x 是定义在 2 2 上的减函数 且具有如下性质 当x 2 2 时 f x f x 若f m f 2m 1 0 求实数m的取值范围 由f m f 2m 1 0得f m f 2m 1 f x f x f m f 1 2m 由f x 是 2 2 上的减函数可得解得 m 所求实数m的取值范围是 m 解析 1 当a 时 f x x 2 任取x2 x1 1 则f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 x1 1 x2 x1 0 x1x2 1 1 学点五利用单调性研究函数最值 分析 利用函数单调性求函数最值 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 评析 函数f x 在区间 a b a b 上是增函数 则函数有最大值f b 和最小值f a 1 0 f x2 f x1 0 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 则y x2 2x a x 1 2 a 1递增 当x 1时 ymin 3 a 于是 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 求函数f x x2 2ax 1在区间 0 2 上的最值 由f x x a 2 a2 1 因为x 0 2 1 当0 a 2时 f x min f a a2 1 当0 a 1时 f x max f 2 22 4a 1 3 4a 当12时 f x min f 2 3 4a f x max f 0 1 1 函数的单调性是对定义域内的某个区间而言 有的函数在整个定义域内具有单调性 如一次函数y 2x 6等 有的函数分别在定义域内的某些区间上单调 但在整个定义域上却不单调 如反比例函数y 等 所以函数f x 在给定区间上的单调性 反映了函数f x 在区间上函数值的变化趋势 是函数的局部性质 2 函数在某一点处的单调性无意义 书写函数的单调区间时 区间端点的开或闭没有严格规定 习惯上若函数在区间端点处有定义 则写成闭区间 当然写成开区间也可 若函数在区间端点处无定义 则必须写成开区间 3 函数定义中的x1 x2应深刻理解 一是任意性 即 任意取x1 x2 任意 两个字绝不能丢掉 不能为某两个特殊值 二是x1 x2有大小 通常规定x2 x1 0 三是同属于一个单调区间 1 在函数单调性中应注意什么问题 2 证明函数单调性的方法和步骤是什么 证明函数单调性只能用定义来证明 不能用复合函数单调性证明 证明函数单调性的步骤 第一步 任意取值x1 x2 在某单调区间I上 且x1 x2 第二步 变形 通过通分 因式分解 配方 有理化等手段 将等式f x2 f x1 的右边变形 第三步 定号 判断f x2 f x1 的符号 第四步 下结论 4 若函数f x 在其定义域内的两个区间A B上都是增 减 函数 一般不能简单认为f x 在A B上是增 减 函数 如f x 在 0 上是减函数 在 0 上也是减函数 但不能说它在定义域 0 0 上是减函数 5 函数单调性的几何意义 反映在图象上 若f x 在区间I上为增 减 函数 则图象在I上的对应部分从左向右是上升 下降 的 3 函数单调性的判断方法有哪些 1 定义法 前面已作过叙述 2 直接法 运用已知的结论 直接得到函数的单调性 如一次函数 二次函数 反比例函数的单调性可直接说出 了解以下一些结论 对于判断函数单调性有一定好处 函数y f x 与y f x 的单调性相反 当f x 0时 函数y 1f x 与y f x 的单调性相反 对于f x 0也成立 在公共区域内 两增函数的和仍为增函数 增函数减去一个减函数所得函数为增函数 3 图象法 通过函数图象直接判断 4 求函数最值的常用方法有哪些 1 配方法 即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量的取值范围确定函数的最值 2 换元法 通过变量代换转化为求二次函数在某区间上的最值 3 数形结合法 利用函数图象或几何方法求最值 4 函数单调性法 1 函数的单调区间可以是整个定义域 也可以是定义域的一部分 对于具体函数而言 可能有单调区间 也可能无单调区间 不是所有的函数都具有单调性 2 利用函数的图象判断函数的单调区间是一种比较直观的方法 就是由函数y f x 的图象 从左向右看 在定义域 某个区间 上是上升的 还是下降的 若图象是上升的 就可以说它在这个区间上是增函数 若图象是下降的 则可以判断它在这个区间上是减函数 也就是说 要判断函数在定义域 某个区间 上的单调性 只要能作出函数的图象 就会一目了然 3 对于最大值定义的理解 1 M首先是一个函数值 它是值域的一个元素 如f x x2 x R 的最大值为0 有f 0 0 注意对定义第二条中 存在 一词的理解 2 对于定义域内全部元素 都有f x M成立 任意 是说对每一个值都必须满足不等式 3 这两条缺一不可 若只有定义中的第一条 M不是最大值 如f x x2 x R 对任意x R 都有f x 1成立 但1不是最大值 否则大于零的任意实数都是最大值了 最大值的核心就是不等式f x M 故不能只有定义中的第二条 4 若将定义中 1 中的 f x M 改为 f x M 则需将最大值定义中的 最大值 改为 最小值 这就是函数f