《线性代数》电子教程之十.ppt

1 线性代数 电子教案之十 2 主要内容 第十讲线性方程组 续 齐次线性方程组的基础解系的概念 基础解系的求法 齐次线性方程组的解的结构 即齐次线性方程组的通解表达式 齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系 非齐次线性方程组的通解表达式 基本要求 理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系 熟悉基础解系的求法 理解非齐次线性方程组的通解的构造 3 一 复习 第四节线性方程组的解的结构 1 系数矩阵是方阵的线性方程组 设为方阵 若 则线性方程组有惟一解 2 系数矩阵是一般矩阵的线性方程组 克莱默法则 个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 个未知数的非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 且当时方程组有惟一解 当时方程组有无限多个解 4 二 齐次线性方程组的解的构造 1 齐次线性方程组的解的性质 性质1若为的解 则也是的解 证 因为为的解 所以 因而 即满足方程 5 性质2若为的解 为实数 则也是的解 证 因而 因为为的解 所以 即满足方程 6 2 齐次线性方程组的解空间 设齐次线性方程组的所有解组成的集合为 显然非空 根据性质1知 对于加法封闭 根据性质2知 对于数乘封闭 所以是一个向量空间 称为的解空间 7 3 基础解系 定义 齐次线性方程组的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系 换句话说 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系 8 4 齐次线性方程组的解的构造 根据最大无关组的定义或基的定义知 由齐次线性方程组的基础解系 就可以构造齐次线性方程组的通解表示式 设齐次线性方程组的基础解系为 则方程组的通解为 9 三 基础解系的求法 设个未知数的方程组的系数矩阵的秩 并不妨设的前个列向量线性无关 则的行最简形矩阵为 如果非零首元不在前 有类似结论 只是非自由未知数不同 10 方法一 先求同解再求基础解系 选取作为自由未知数 并令它们依次等于 得 11 即 12 写成向量形式为 记作 13 可知解集中的任一向量能由线 又显然可见线性无关 所以 性表示 是解集的最大无关组 即 是方程组的基础解系 方法二 先求基础解系再求通解 选取作为自由未知数 令它们分别取下列组数 14 依次代入方程组 可以取其它情形的数组 只要所取的个数组线性无关即可 15 于是所求基础解系为 16 四 解空间的维数与系数矩阵的秩的关系 根据上述求基础解系的过程可得 齐次线性方程组的解集的秩与系数矩阵的关系是 定理7 设矩阵的秩 则元齐次 线性方程组的解集的秩 注意 当时 则的解集的秩 即方程组只有零解 此时方程组没有基础解系 当时 则的基础解系含有 个向量 17 解 析 此例是最基本的求基础解系与求解齐次方程的训练题 与前面解决同一问题的方法相比较 现在求解此问题时 大致有三个方面的提高 解题思想更具有理论意义 解题手法更加灵活 并赋予它的解集以鲜明的集合意义 18 对系数矩阵作初等行变换 变为行最简形 于是可得 19 选取为自由未知数 令 及 代入所得同解方程组 对应有 及 所以 所求基础解系为 方程组的通解为 20 说明 上述的解题过程是一个 标准程序 其中把系数矩阵化为行最简形也是采用 标准程序 第一行第一列的元素是非零首元 自由未知数取不同的数组 可以得到不同的基础解系 若 对应的基础解系为 21 用初等行变换化简系数矩阵 若不采用 标准程序 化为行最简形 而是将系数矩阵的某些列化为单位坐标向量 这样可以灵活地选取自由未知数 从而得到不同于按 标准程序 得到的基础解系 22 所以基础解系为 由以上说明更加清晰看出 基础解系不是惟一的 所以通解表达式也不是惟一的 但是基础解系中所含向量个数是惟一的 23 例2设 证明 证 记 则 都是方程的解 设的解集为 由知 即 而由定理7知 故 24 说明 由于当时 有 所以 的解 的行向量都是齐次方程的解 此例的结论 当时 有着十分广泛的应用 当时 的列向量都是齐次方程 这里 矩阵的列数 矩阵的行数 25 证 析 讨论两个向量组等价 首先想到定理2的推论 但是推论讲的是两个列向量组等价的充要条件 即 矩阵与的向量组等价 现在讨论的是行向量组 而与的行向量组就是与的列向量组 因此 矩阵与的行向量组等价 26 必要性 矩阵与的行向量组等价 就是方程组与可以互推 也就是方程组与同解 充分性 方程组与同解 方程组 与同解 它们的解集的秩相等 它们系数矩阵的秩相等 即 矩阵与的行向量组等价 27 说明 矩阵与的行向量组等价 就是方程组与可以互推 因此 此例可以该叙为 齐次方程组与可互推的充要条件是它们同解 28 例4证明 证 析 此题仍然是运用解空间的维数与系数矩阵的秩的关系证明结论的一道题目 下面证方程组与同解 若满足 则有 即 设为矩阵 为维列向量 若满足 则有 即 从而推知 由以上可知与同解 因此 29 说明 此题的结论对任意实矩阵都是成立的 但对复矩阵结论不成立 因为 对于复列向量 不能由推出 复矩阵 结论应该为 此题的结论是矩阵的一个重要性质 30 五 非齐次线性方程组的解的构造 1 非齐次线性方程组的解的性质 性质3设都是的解 则是其对应的齐次方程组的解 证 性质4设是方程组的解 是其对应的齐次方程组的解 则仍是 的解 证 31 2 非齐次线性方程组的解的构造 设是的任一解 若已经求得的一个解 则总可以表示为 其中为方程的解 若的基础解系为则 反之 对任何实数上式总是的解 32 非齐次线性方程组的解 设 若的基础解系为 是一个解 特解 则的通解为 33 注意 34 例5求解方程组 解 对增广矩阵施行初等行变换 35 可见 故方程组有解 且有 所以特解为 又对应的齐次方程组可化为 36 所以对应的齐次方程组的基础解系为 于是所求通解为 37 例6已知方程组 的一个基础解系为 38 试写出方程组 的通解 并说明理由 解 析 此题的目的是运用解空间的维数与系数矩阵的关系求解方程 把方程组 与 的系数矩阵分别记为与 则此题可叙述为 39 于是可得 因而 由定理7 40 六 小结 设元齐次线性方程组的解集为 则 解集的一个最大无关组称为齐次方程组的基础解系 设 则 知基础解系含个解向量 设为齐次线性方程组的基础解系 则其通解为 设非齐次方程组的一个解为 对应的齐次线性方程组的基础解系为 则的通解为 41 求解方程组的 标准程序 用初等行变换化简增广矩阵 判断