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椭圆及其标准方程 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两个定点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 思考 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两个定点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 1 在椭圆形成的过程中 细绳的两端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 请你归纳出椭圆的定义 1 由于绳长固定 所以点M到两个定点的距离和是个定值 2 点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离 根据上面的内容你更给出椭圆的定义吗 一 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 2a 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2C 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 2a 2c O r 设圆上任意一点P x y 以圆心O为原点 建立直角坐标系 两边平方 得 回忆如何求圆的方程的 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则 对称 简洁 方案一 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 代入坐标 2 椭圆的标准方程的推导 两边除以得 由椭圆定义可知 焦点在y轴 焦点在x轴 椭圆的标准方程 记忆方法 哪个字母下面的数大 焦点就在哪个轴上 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 2a 2c 0 定义 两类标准方程的对照表 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 1 口答 下列方程哪些表示椭圆 练习一 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则 F2CD的周长为 例题 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 CF1 CF2 2a 练习二 判定下列椭圆的焦点在哪个轴 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 0 b 9 练习三 a 3 3 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 变式 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 1 2 4 已知椭圆的方程为 请填空 1 a b c 焦点坐标为 焦距等于 2 若C为椭圆上一点 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 并且CF1 2 则CF2 5 4 3 6 3 0 3 0 8 例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 2 小结 先定位 焦点 再定量 a b c 椭圆的焦点位置不能确定时 椭圆的标准方程一般有两种情形 必须分类求出 例3 平面内两个定点的距离是8 写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程 解 这个轨迹是一个椭圆 两个定点是焦点 用F1 F2表示 取过点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 2a 102c 8 a 5c 4b2 a2 c2 9 b 3 因此这个椭圆的标准方程是 定义法求轨迹方程 习题 已知 ABC的一边BC固定 长为8 周长为18 求顶点A的轨迹方程 解 以BC的中点为原点 BC所在的直线为x轴建立直角坐标系 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆 且焦点在轴上 所以可设椭圆的标准方程为 y o B C A x 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程 2 焦点为F1 0 3 F2 0 3 且a 5 答案 1 a b 1 焦点