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文档简介
全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法ABC中,AD是BC边中线方式1:直接倍长,(图1): 延长AD到E,使DE=AD,连接BE方式2:间接倍长1) (图2)作CFAD于F,作BEAD的延长线于E, 连接BE 2) (图3)延长MD到N,使DN=MD,连接CD【经典例题】例1已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_.(提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边)例2:已知在ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上, DE交BC于F,且DF=EF. 求证:BD=CE.(提示:方法1:过D作DGAE交BC于G,证明DGFCEF方法2:过E作EGAB交BC的延长线于G,证明EFGDFB方法3:过D作DGBC于G,过E作EHBC的延长线于H,证明BDGECH)例3、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.变式:如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F. 求证:(提示:方法1:在DA上截取DG=BD,连结EG、FG, 证明BDEGDE DCFDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CH、FH,证明FH=EF、CH=BE,利用三角形两边之和大于第三边)例4:已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF(提示:方法1:倍长AD至G,连接BG,证明BDGCDA三角形BEG是等腰三角形。方法2:倍长ED.试一试,怎么证明?)例5、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE. (提示:倍长AE至M,连接DM)变式一:已知CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线,求证:C=BAE提示:倍长AE至F,连结DF,证明ABEFDE(SAS),进而证明ADFADC(SAS)变式二:已知CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线,求证:2AEAC。(提示:借鉴变式一的方法) 例6:已知:如图,在中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分 提示:方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH【练习】1、在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE=EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论提示:延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF,所以AB=AF+FC2、已知:如图,DABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证:CT=BE.提示:过T作TNAB于N, 证明BTNECD3、 在ABC中,AD平分BAC,CMAD于M,若ABAD,求证:2AMACAB。 4、ABC中,AD是边BC上的中线,DAAC于点A,BAC=120, 求证
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