有限差分方法基础.ppt

1 材料计算机数值模拟讲义有限差分法 2 主要内容 1 差分原理及逼近误差2 差分方程 截断误差和相容性3 收敛性与稳定性4 Lax等价定理 3 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 1 8 1 差分原理设有x的解析函数y f x 从微分学知道函数y对x的导数为 1 1 是函数对自变量的导数 又称微商 分别称为函数及自变量的差分 为函数对自变量的差商 4 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 2 8 向前差分 1 2 向后差分 1 3 中心差分 1 4 0 5 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 3 8 上面谈的是一阶导数 对应的称为一阶差分 对一阶差分再作一阶差分 所得到的称为二阶差分 记为 以向前差分为例 有 1 5 6 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 4 8 依此类推 任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到 例如n阶前差分为 1 6 7 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 5 8 函数的差分与自变量的差分之比 即为函数对自变量的差商 一阶向前差商为 一阶向后差商为 1 7 1 8 8 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 6 8 一阶中心差商为 或 1 9 1 10 9 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 7 8 二阶差商多取中心式 即 当然 在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商 1 11 10 第一节差分原理及逼近误差 差分原理 8 8 以上是一元函数的差分与差商 多元函数f x y 的差分与差商也可以类推 如一阶向前差商为 1 12 1 13 11 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 1 9 差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度 称为逼近误差 由函数的Taylor展开 可以得到逼近误差相对于自变量差分 增量 的量级 称为用差商代替导数的精度 简称为差商的精度 1 14 1 15 2 逼近误差 12 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 2 9 一阶向后差商也具有一阶精度 1 16 13 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 3 9 将 与 的Taylor展开式相减可得 可见一阶中心差商具有二阶精度 1 17 14 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 4 9 将 与 的Taylor展开式相加可得 这说明二阶中心差商的精度也为二阶 1 18 15 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 5 9 设有函数f x 自变量x的增量为 若取 对应的函数值为 则f x 在xi处的n阶差分可表达为 式中cj为给定系数 J1和J2是两个正整数 1 19 1 20 当J1 0时 称为向前差分 当J2 0时 称为向后差分 当J1 J2且时 称为中心差分 16 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 6 9 函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商 可用Taylor展开分析其逼近误差 显然 的差商及其对应的差分是不恰当的 当且aj为表2 1至表2 6中所 列的数值时 可得m 0 1 21 17 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 7 9 表2 表1 其中表1和表2的m 1 即此二表对应差商的精度是一阶的 18 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 8 9 表3 表4 表5 表3至表5的m 2 即这些表对应差商的精度是二阶的 19 第一节差分原理及逼近误差 逼近误差 9 9 表6的m 4 即此表对应差商的精度是四阶的 表6 20 第一节差分原理及逼近误差 非均匀步长 1 3 在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的 如图2 1中的 是不相等的 相应的差分和差商就是不等距的 图1 1非均匀步长差分 3 非均匀步长 一阶向后差商 一阶中心差商 1 22 1 23 21 第一节差分原理及逼近误差 非均匀步长 2 3 图1 2均匀和非均匀网格实例1 22 第一节差分原理及逼近误差 非均匀步长 3 3 图1 3均匀和非均匀网格实例2 23 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 1 3 差分相应于微分 差商相应于导数 差分和差商是用有限形式表示的 而微分和导数则是以极限形式表示的 如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替 就可得到有限形式的差分方程 现以对流方程为例 列出对应的差分方程 2 1 24 图2 1差分网格 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 2 3 25 若时间导数用一阶向前差商近似代替 即 空间导数用一阶中心差商近似代替 即 则在 点的对流方程就可近似地写作 2 2 2 3 2 4 第二节差分方程 截断误差和相容性 差分方程 3 3 26 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 1 6 按照前面关于逼近误差的分析知道 用时间向前差商代替时间导数时的误差为 用空间中心差商代替空间导数时的误差为 因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差 它是 这也可由Taylor展开得到 因为 2 5 2 6 27 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 2 6 一个与时间相关的物理问题 应用微分方程表示时 还必须给定初始条件 从而形成一个完整的初值问题 对流方程的初值问题为 这里 为某已知函数 同样 差分方程也必须有初始条件 初始条件是一种定解条件 如果是初边值问题 定解条件中还应有适当的边界条件 差分方程和其定解条件一起 称为相应微分方程定解问题的差分格式 2 7 2 8 28 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 3 6 FTCS格式 2 9 FTFS格式 2 10 2 11 FTBS格式 29 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 5 6 a FTCS b FTFS c FTBS图2 2差分格式 30 第二节差分方程 截断误差和相容性 截断误差 6 6 FTCS格式的截断误差为 FTFS和FTBS格式的截断误差为 2 12 2 13 3种格式对 都有一阶精度 31 第二节差分方程 截断误差和相容性 相容性 1 3 一般说来 若微分方程为 其中D是微分算子 f是已知函数 而对应的差分方程为 其中 是差分算子 则截断误差为 这里 为定义域上某一足够光滑的函数 当然也可以取微分方程的解 2 14 2 15 2 16 如果当 时 差分方程的截断误差的某种范数 也趋近于零 即 则表明从截断误差的角度来看 此差分方程是能用来逼近微分方程的 通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容 一致 如果当 时 截断误差的范数不趋于零 则称为不相容 不一致 这样的差分方程不能用来逼近微分方程 2 17 32 第二节差分方程 截断误差和相容性 相容性 2 3 若微分问题的定解条件为 其中B是微分算子 g是已知函数 而对应的差分问题的定解条件为 其中 是差分算子 则截断误差为 2 18 2 19 2 20 33 第二节差分方程 截断误差和相容性 相容性 3 3 只有方程相容 定解条件也相容 即 和 整个问题才相容 2 21 无条件相容条件相容 以上3种格式都属于一阶精度 二层 相容 显式格式 34 第三节收敛性与稳定性 收敛性 1 6 也是微分问题定解区域上的一固定点 设差分格式在此点 的解为 相应的微分问题的解为 二者之差为 称为离散化误差 如果当 时 离散化误差的某种范数 趋近于零 即 则说明此差分格式是收敛的 即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解 否则不收敛 与相容性类似 收敛又分为有条件收敛和无条件收敛 3 1 3 2 35 第三节收敛性与稳定性 收敛性 3 6 相容性不一定能保证收敛性 那么对于一定的差分格式 其解能否收敛到相应微分问题的解 答案是差分格式的解收敛于微分问题的解是可能的 至于某给定格式是否收敛 则要按具体问题予以证明 下面以一个差分格式为例 讨论其收敛性 微分问题 的FTBS格式为 在某结点 xi tn 微分问题的解为 差分格式的解为 则离散化误差为 3 6 3 5 3 4 36 第三节收敛性与稳定性 收敛性 4 6 按照截断误差的分析知道 以FTBS格式中的第一个方程减去上式得 或写成 则 式中 表示在第n层所有结点上 的最大值 3 7 3 8 3 9 3 10 37 第三节收敛性与稳定性 收敛性 5 6 由上式知 对一切i有 故有 于是 综合得 3 11 3 13 3 12 3 14 38 第三节收敛性与稳定性 收敛性 6 6 由于初始条件给定函数 的初值 初始离散化误差 并且 是一有限量 因而 可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级 最后得到 这样就证明了 当 时 本问题的RTBS格式收敛 这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛情况称为一致收敛 3 15 3 16 此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法 同时表明了相容性与收敛性的关系 相容性是收敛性的必要条件 但不一定是充分条件 还可能要求其他条件 如本例就是要求 39 第三节收敛性与稳定性 稳定性 1 8 首先介绍一下差分格式的依赖区间 决定区域和影响区域 还是以初值问题 3 17 a FTCS b FTFS c FTBS图3 1差分格式的依赖区间 40 第三节收敛性与稳定性 稳定性 2 8 FTCS格式 b FTFS格式 c FTBS格式图3 2差分格式的影响区域 41 第三节收敛性与稳定性 稳定性 3 8 其解为零 即 若用FTBS格式计算 且计算中不产生任何误差 则结果也是零 即 当采用不同差分格式时 其依赖区间 决定区域和影响区域可以是不一样的 依赖区间 决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的 并与步长比 有关 3 18 3 19 42 3 20 假设在第k层上的第j点 由于计算误差得到 不妨设k 0 j 0 即相当于FTBS格式写成 43 第三节收敛性与稳定性 稳定性 4 8 1 n 44 第三节收敛性与稳定性 稳定性 5 8 2 n 45 第三节收敛性与稳定性 稳定性 6 8 3 n 46 第三节收敛性与稳定性 稳定性 8 8 表示为连续函数Z x t 则稳定性的一种定义为 3 21 3 22 3 23 3 24 47 第四节Lax等价定理 1 4 相容性是收敛性的必要条件 还发现 稳定性与收敛性有一定的联系 Lax等价定理就是阐述相容性 收敛性和稳定性三者之间关系的 Lax等价定理 对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式 如果该格式稳定则必收敛 不稳定必不收敛 换言之 若线性微分问题适定 差分格式相容 则稳定性是收敛性的必要和充分条件 这也可表示为 48 第四节Lax等价定理 2 4 和Z分别为微分解和差分解 两式相减得 改写成 4 1 4 2 4 3 4 4 49 第四节Lax等价定理 3 4 若定解条件为 及 其中 是截断误差 若差分格式是稳定的 按稳定性的定义 应该有 将 4 4 式 4 6 式代入得 当差分格式