大班三次函数切线.doc

知识点1:三次函数的性质以及在高考中的应用 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为，则可得到以下性质： 性质1：函数， 若，当时，yf(x)是增函数；当时，其单调递增区间是，单调递减区间是； 若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。 （证明略） 推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。 根据a和的不同情况，其图象特征分别为：图1 性质2：函数若，且，则： ； 。 （证明略） 性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。 证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故 ，得 ， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。 例1. （浙江）设是函数f(x)的导函数，的图象如图2所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）图2图3 解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息： ； 导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）； 在（0，2）上；在（，0）或（2，）上。 由和性质1可排除B、D；由和性质1确定选C。例2. （江苏）函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，1B. 1，17 C. 3，17D. 9，19 解：函数的导方程是，两根为1和1，由性质2得： ， 。故选C。例3（2012四川文）设函数，是公差不为0的等差数列，则（A）0（B）7（C）14（D）21解析：函数关于点（3,2）对称，即当时，是公差不为0的等差数列，猜想：当时，满足，故此时 例4. （湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。 （I）求b与c的关系式（用c表示b）； （II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。 解：（I）依题意，得 ， 所以 因为 所以 （II）因为 所以F（x）的导方程为： 依性质1的推论得： 所以 ， 所以 或 解之得 故所求c的范围是（0，）（）。例4. （天津）已知函数在x1处取得极值。 （I）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （II）过点A（0，16）作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。 解：（I）因为，所以导方程。 因为在x1处取得极值，所以，是导方程的两根， 所以 解得 a1，b0 所以 由推论得是f(x)的极大值；f(1)2是f(x)的极小值。 （II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。 设切点为M 因为，故切线方程为 点A（0，16）在切线上，所以 解得，切点为M（2，2） 故所求切线方程为 纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。 知识点2：三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明 设 过点P的切线可以分为两类。1、 P为切点 ， 切线方程为：P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（） 又 （1） 即 代入（1）式得 讨论：当时，得，当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。 当时，所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为： 由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点列-，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称中心。证明：设过与图象切于点的切线为， 又 = 即 设 则 数列是公比为的等比数列， 即 。 （2）过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。（1）若则过点恰有一条切线；（2） 若且，则过点恰有一条切线；（3） 若且=0，则过点有两条不同的切线；（4）若且，则过点有三条不同的切线。其中证明 设过点作直线与图象相切于点则切线方程为 把点代入得：，设 令则因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号，所以或且时，过点恰有一条切线。有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以且=0时，过点有两条不同的切线。有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以且时，过点有三条不同的切线。例题讲解：例1、已知函数，求过点的切线方程。例2、（2010湖北文数）设函数，其中a0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1（）确定b、c的值。（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。例3、已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） 三次函数切线作业1、曲线在点处的切线方程是 。2、已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程是 。3、已知曲线C：的一条切线方程为，则实数的值等于 。4、已知函数在处取得极值。 （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值，都有； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.5、已知函数与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间三次函数问题一基本理论 三次函数的导数为二次函数，能根据导函数的图像画出三次函数的图像，并研究其单调性、极值、最值、根的个数及含参问题。二典型问题 1.（切线问题）曲线在点处的切线方程为_.变式1.已知曲线点。 （1）求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点的切线方程。变式2. 若曲线上任意一点处切线的倾斜角都是锐角，则实数的取值范围是_. 变式3. 已知函数，若过点可以作函数图像三条切线，求实数的取值范围。2（单调性问题）已知函数的图像过点，且在点处的切线方程为。（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。变式练习：已知函数（1）若在实数集上单调递增，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使在内单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。3.（极值最值问题）已知函数在与时取得极值。（1）求的值及的单调区间；（2）若对任意的，不