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解析几何问题感悟体验快易通1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程.(2)试问:TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得=,b=1,又a2=b2+c2,所以a=2,c=1,椭圆M的标准方程为x22+y2=1.(2)由y=x+m,x22+y2=1,得3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,=16m2-24(m2-1)0,即m2-30,所以-m0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=73.(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-73=53.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=53,因而yM=732-532=,xM=-,代入x24+y2b2=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2m2,=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)4k2-123+4k2-(m+k2)8k23+4k2+m2+k2=(4m2-8m-5)k2+3m2-123+4k2.若为定值,则满足4m2-8m-54=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆
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