杨浦补习班 新王牌初中数学靳T老师.doc

杨浦新王牌新王牌初三数学靳T老师 知识整理一 实数（有理数和无理数的统称） 正整数 自然数 整数 零 有理数 负整数 实数 分数 无理数-无限不循环小数叫做无理数 (如，0.1010010001)有理数都可以写成（a、b是整数，且b0）的形式无理数不能写成分数 （a、b是整数，且b0）的形式同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把较大的绝对值减去较小的绝对值有理数的加减法 一个数与零相加，仍得这个数 加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）减去一个数，等于加上这个数的相反数两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）除以一个数等于乘以这个数的倒数 任何数与零相乘，都得零有理数的乘除法 零除以任何一个不等于零的数，都得零乘法交换律：ab=ba乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。有括号时，要先算括号里面的。有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字科学计数法：N（1，n为整数）例：35400003.54;-0.000128=-1.28实数和数轴上的点是一一对应的。即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 一个实数的绝对值就是表示这个实数的点离开原点的距离a a0实数 a= 0 a=0 -a a0（-a表示实数a的相反数）正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小进行实数运算时，有理数的运算法则、运算律、运算性质以及运算顺序等同样适用二 整式整式 单项式：数与字母的积或单独一个数或字母 如：2，3a多项式：几个单项式的和 如：a+b，3x-4y同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项合并同类项：合并同类项时，同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变去括号 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里面不变号 括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里面都变号添括号 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号同底数幂相乘，底数不变，指数相加 同底数幂相除，底数不变，指数相减 幂的运算 任何不等于零的数的零次幂都等于1 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 负指数幂： (0) 例：3 单项式相乘时，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式的运算 单项式相除时，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得单项式与多项式的运算 的积相加 m（a+b+c）=ma+mb+mc多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 ，然后把所得的积相加 (a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn (x+a)(x+b)=乘法公式 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2 其中：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2 -（a-b2）=4ab三 因式分解（把多项式化成几个整式的积的形式）提公因式法：提取的的公因式是各项系数的最大公约数（系数都是整数数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积运用公式法：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）分组分解法：利用分组来分解因式（一般对于四项而言，一项三项分或二项二项分，分组须合理）公式法：把二次三项式ax2+bx+c因式分解时，可以先用求根公式求出二次方程ax2+bx+c=0的两个根，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）四 分式意义：一般地，两个整式A、B相除时，可以表示为的形式。如果分母B中含有字母，那么（B0）叫做分式分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公约数，相同因式的约分 最低次幂如果分式的分子和分母是多项式，先分解因式，再约分约分时，一般要约到最简分式或整式通分：通分先要确定几个分式的最简公分母。如果各分母的系数都是整数，通常可取所有分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母 同分母分式相加减，把分子相加减，分母不变异分母分式相加减，先通分，然后按照同分母分式加减的法则进行计算分式的运算 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘分式的乘方，把分子、分母分别乘方五 数的开方 正数的两个平方根互为相反数（正数a的两个平方根记为）平方根 零的平方根是零 负数没有平方根平方根的大小：如果a、b是正数，且ab，则 平方根的规律：被开方数扩大100倍，它的平方根扩大10倍 被开方数缩小为原来的，它的平方根缩小为原来的 被开方数的小数点向右（向左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位立方根：任何一个数都有立方根，而且只有一个立方根 求一个负数的立方根，只要先求出这个负数绝对值的立方根，然后取它的相反数 奇次方根： 一个数a的奇次方根只有一个。正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零n次方根 当n是奇数，a的n次方根可以用符号“”表示 偶次方根： 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数 当n是偶数时，正数a的n次方根表示为（当n=2时，根指数2 略去不写） 分数指数幂： （其中m、n为正整数，n 1）六 二次根式分母有理化：把分母中的根号化去（乘以分母的有理化因式或因式分解约分化简）最简二次根式 被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数中，不含能开得尽方的因数或因式注意 ：（1）二次根式的化简，就是把二次根式化为最简二次根式。在化简时，往往要把被开方数分解因数或分解因式(2)当一个式子的分母中含有二次根式时，应把它分母有理化二次根式的计算 二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（不是同类的二次根式不能合并）实数的运算法则都适用于二次根式的计算几个二次根式的和相乘时，可用乘法公式计算七 一次方程关于x的方程：(1)当时，有唯一解：(2)当时，无解(3)当时，有无数解例：当，方程有无数解。一元一次方程的解法和依据：去分母等式性质二去括号分配律移项等式性质一合并同类项，化成ax=b（a0）的形式分配律系数化成1，得x=等式性质二一元一次方程的应用 解题步骤：审题设元列方程解方程写答案 顺水速度=静水速度+水速 某些等量关系 逆水速度=静水速度-水速 工作总量=工作时间工作效率二元一次方程的解：任何一个二元一次方程都有无数个解 二元一次方程组的解法：代入法 加减法八 二次方程（一）一元二次方程：ax2+bx+c=0（a0） 解法 因式分解法：（x+a）（x+b）=0，x1= -a，x2= -b开平方法： 解形如ax2+c=0（a0）一元二次方程，则x2=当a、c异号时，方程有两个实数根x=当a、c同号时，方程无实数根当c=0，方程有两个相等的实数根，x1=x2=0（重根）配方法 ：先把方程的一边配成一个含有一个未知数的完全平方的形式，右边是一个常数，然后用开平方法来解公式法：x= （a0，b2-4ac0） 根的判别式：= b2-4ac如果方程有两个不相等的实数根b2-4ac0 如果方程有两个相等的实数根b2-4ac=0如果方程没有实数根b2-4ac0注意：方程有两个实数根b2-4ac0， 根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0（a0）两根为x1、x2则x1+x2= x1x2=（二）分式方程（要检验） 解法 在分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把原方程中分母约去， 转化成整式方程 解这个整式方程把整式方程的根代入方程两边同乘的整式（最简公分母）中，看所得的值是不是零，使所乘整式的值为零的根是增根，必须舍去 解分式方程组的方法：换元法（三）无理方程（要检验） 解法：把无理方程两边同时平方，转化为有理方程 注意：检验时，若左右两边不相等，是增根，必须舍去；若被开放数是负数，也是增根，必须舍去（四）二元二次方程（组）形式：ax2+bxy+dx+ey+f=0（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c不同时为零） 二元二次方程组的解法： 代入法 因式分解法（五）黄金分割 定义：把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项 黄金分割数：较短的线段的长较长的线段的长=较长的线段的长全线段的长= 这个比值是一个无理数，近似值是0.618九 一元一次不等式（组） 不等式的性质 不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 不变 不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变 不等式的解集在数轴上的表示：小圆圈“”表示不包括小黑点“”表示包括 一元一次不等式组的解法： 先求出不等式组里每一个不等式的解集 再求出各个不等式的解集的公共部分（画数轴），就可得到不等组的解集十 比例 定义：表示两个比相等的式子 性质：两个外项的积等于两个内项的积a：b=c：dac=bd 比例中项：如果ab=bc，则b叫做a、c的比例中线，这时b2=ac十一 函数（一）函数 意义：一般地，设在某个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定值，按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 函数关系式：y=f（x）f是对应法则 函数定义域：当函数的解析式是整式时，函数的定义域为一切实数当函数的解析式是分式时，函数的定义域为使分母不为零的实数当函数的解析式是偶次根式时，函数的定义域为使被开方数0的实数当函数的解析式是奇次根式时，函数的定义域为一切实数点关于x轴的对称点是，关于y轴的对称点是；关于原点的对称点是两点的距离：在x轴上两点： 在y轴上两点：（二）正比例函数（一次函数的特殊情况） 解析式：y=kx（k0） 图象：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线 性质：当k0，图象（除原点外）在第一、三象限内，y随x的增大而增大 当k0，图象（除原点外）在第二、四象限内，y随x的增大而减小（三）反比例函数解析式：y=（k0）图象：双曲线，有两个分支性质：当k0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象内，在每个象限内，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小 当k0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象内，在每个象限内，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐增大 图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交函数正比例函数反比例函数解析式图象 过原点的直线 双曲线性质k位置 第一、三象限k位置 第一、三象限增减性y随x增大而增大。增减性y随x增大而减小。k位置第二、四象限k位置第二、四象限增减性y随x增大而减小。增减性y随x增大而增大。（四）一次函数 解析式y=kx+b（k0，k、b是常数）。当b=0时，一次函数y=kx+b成为正比例函数y=kx 定义域：一切实数 图象：经过（0，b）且平行于直线y=kx的一条直线 两直线的位置关系：l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，若k1=k2，b1b2，则l1l2；