大学物理第5章机械波ppt课件.ppt

1 第5章 Mechanicalwave 6 重点 行波方程 核心 位相 2 一 机械波的产生和传播 5 1波动的基本概念 1 产生机械波的条件 波源 持续振动的质点 弹性介质 传递振动状态的介质 波动 振动状态的传播过程 p24 3 横波transversewave 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直 纵波longitudinalwave 质点的振动方向和波的传播方向相互平行 在波的传播过程中 不管是横波 纵波 介质中的质点并不 随波逐流 它们在各自的平衡位置附近振动 传播的是波源的振动状态 传播横波介质 介质的切向应变 固体 理想气体 液体不能传播 传播纵波的介质 介质的弹性应变 气体 液体 固体 4 二 描述波动的物理量 P26 1 波的周期 period T 传递一个完整波所需的时间 也是介质质元完成一次全振动的时间 波的周期完全由波源 周期 确定 2 波长 wavelength 一个周期内波动传播的距离 它由波源和介质共同决定 波长是波的 空间周期 1 描述简谐波的解析参量 波数 频率 角频率 波矢 5 3 波速u 单位时间内波传播的距离 对与简谐波而言 波速等于振动的初相的传播速度 又称相速 波速完全由介质的性质来确定 沿着波的传播方向 质点振动的相位是依次落后的 6 2 波面和波线 波线 波射线waveline 波的传播方向 波面 波阵面wavesurface 波动过程中 振动相位相同的点连成的面 最前面的那个波面称为波前wavefront 平面波 planewave 波面为平面的波动 本章只讨论这种波 球面波 sphericalwave 波面为球面的波动 在各向同性介质中 波线总是与波面垂直 7 三 惠更斯原理 作用 如果已知了t时刻的波阵面 以u t为半径 就能确定 t时刻的波阵面 从而确定波的传播方向 利用惠更斯原理可以解释波的干涉 衍射等现象 介质中波动传播到的各点 都可以看作是发射子波的波源 其后任一时刻 这些子波的包迹就是新的波阵面 8 惠更斯原理的不足 不能求出波的强度分布 9 5 2平面简谐行波的波动方程 注意这里 x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离 y表示各质点对平衡位置的位移 一平面余弦行波在均匀无耗介质中沿x轴正方向传播 波速u 坐标原点的振动方程为y Acos t o 求 坐标为x的P点的振动方程 波动方程 10 因 均匀无耗介质 平面波 所以P点的振幅仍是A 原点o的振动方程为y Acos t o P点比o点时间落后 t x u 角频率仍为 则P点的振动方程 即波动方程 为 11 则P点比o点时间超前 t x u 波动方程应为 P点的振动方程 即波动方程 为 若波沿x轴负方向传播 12 波动方程的标准形式 考虑到 2 T uT 波动方程还可写为 13 1 当x xo 确定值 时 位移y只是时间t的余弦函数 这是xo处质点的振动方程 2 当t to 确定值 时 位移y只是时间x的余弦函数 此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况 相应的y x的曲线就叫做波形曲线 如下图所示 14 上式表明 t时刻x点的振动状态 经时间 t后传播到了x轴正方向的x u t处 3 当x t都变化时 代表一列沿x轴正方向传播的波 15 16 解 1 比较法 波沿x轴正方向传播 A 0 5m k 2 于是T 2s 1 2Hz u k 2m s 原点的初相 o 2 17 3 x1 1m和x2 2m两点的相差 2 x 2m处质点的振动方程 x 波程差 18 解 1 o比C点位相超前 l u 2 标准函数法 o l u 例题2 2波以u沿x轴正方向传播 yC Acos t 求 1 原点o的振动方程 2 波动方程 则o点的振动方程为 y Acos t l u 19 P x 点比已知点C时间落后 yC Acos t 令x 0得坐标原点o的振动方程为 P x 点比已知点C超前用 落后用 20 解 1 以A为坐标原点 0 4cos4 t cm 1 标准函数法 例题2 3波速u 20cm s 沿x轴负方向传播 yA 0 4cos4 t cm 求波动方程 1 以A为坐标原点 2 以B为坐标原点 21 已知A点的振动方程 yA 0 4cos4 t cm P x 点比A点时间超前 波动方程 t 超前 落后法 u 20 22 2 以B为坐标原点 y 0 4cos 4 t o cm 1 标准函数法 yA 0 4cos4 tu 20 抓住已知点A 的位相 由此得 o 4 t 23 已知A点的振动方程为yA 0 4cos4 t cm P x 点比已知点A时间超前 u 20cm s 波动方程 t 24 当t 1时 对a点有 对b点有 解得 k 12 o 17 3 3 波动方程为 解 例题2 4波沿x轴正向传播 A 10cm 7 rad s 当t 1s时 ya 0 a0 设 10cm 求该波的波动方程 25 例题2 5波沿x轴正方向传播 t 0 t 0 5s时的波形如图 周期T 1s 求 1 波动方程 2 P点 x 2m 的振动方程 A 0 2 4m T u 2 o 2 波动方程 2 P点 y 0 2cos t m 26 例题2 6t 2s时的波形如图 u 0 5m s 求 1 图中p点的振动方程 2 该波的波动方程 解 1 A 0 5 2 2 该波的波动方程 T u 4 2 2 27 5 3平面行波的动力学方程 p165 例 推导轻质 柔弦的微振动方程 如图 由牛顿定律有 微振动时 联立求解得 28 由此得 对比 有 即 波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度 29 某些介质中波的传播速度 30 讨论 影响波的传播速度的因素 对其它波动形式的方程作类似推导 可得各种波动的波动方程及传播速度 由传播速度的表达式 容易知道影响波传播速度的因素 31 介质的几种典型模量 若在截面为S 长为l的细棒两端加上大小相等 方向相反的轴向拉力F 使棒伸长 l 实验证明 在弹性限度内 正应力F S与线性应变 l l成正比 即 比例系数Y由材料的弹性决定 称为杨氏模量 2 切变模量 1 杨氏模量 切变模量 在柱体上下表面S上作用一大小相等 方向相反的切向力F 使柱体 32 发生切变 实验证明 在弹性限度内 切应力F S与切应变 x h 成正比 即 比例系数G由材料的切变弹性决定 称为切变模量 3 体变模量 设流体体积在压强为P时等于V 如果是压强增加到P P 体积变化为V V 则在通常压强范围内有 体变模量 比例系数B称为体变模量 式中负号表示当 P 0时 V 0 33 5 4行波中的能量和能流 一 波的能量密度 波动过程也是能量的传播过程 质元dm dV 为介质的密度 长dx 伸长量dy 质元的振动动能和势能分别为 p172 34 由胡克定律 杨氏弹性模量 Y u2 35 质元dm的总能 3 能量密度 单位体积中波的能量 为 1 任意时刻 质元的动能和势能都相等 即 2 质元的总能量随时间作周期性的变化 在波动中 随着振动在介质中的传播 能量也从介质的一部分传到另一部分 所以 波动是能量传播的一种方式 36 平均能量密度 二 波的能流密度 波强 单位时间内 通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量 称为能流密度 显然 能流密度也就是通过垂直于波动传播方向的单位面积的功率 容易证明 能流密度 或波强 为 37 三 声波声强级 引起人听觉的机械波的频率范围 20 20000Hz人耳的听觉并不与声强成正比 而是与声强的对数成正比 取声强Io 10 12 w m2 为标准 则声强级 dB 树叶沙沙 20dB 正常谈话 60dB 闹市 70dB 飞机起飞 150dB 38 A 质元a的动能为零 势能最大 B 质元a的动能最大 势能为零 C 质元b的动能最大 势能最大 D 质元b的动能最大 势能为零 答 C 例题4 1图为某一时刻的波形曲线 由图可知 39 例题4 2一电台 视为点波源 平均发射功率10kw 求离电台1km处的波强 解能流密度 波强 为 能流密度也就是通过垂直于波传播方向的单位面积的功率 于是所求能流密度 波强 为 7 96 10 4 w m2 40 5 5 1波的叠加原理 5 5波的干涉驻波 每列波的传播特性不因其它波的存在而改变 任一点的振动为各个波单独在该点产生的振动的合成 这一规律称为波的独立传播原理或波的叠加原理 适用条件 波强较小 p39 5 5 2波的干涉 两列波 1 频率相同 2 振动方向相同 3 相差恒定 则在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强 而另一些的振动始终减弱的稳定分布 这种现象称为波的干涉 41 S1 y10 A1cos t 1 S1 p S2 p P点的合振动为y y1 y2 Acos t 同方向同频率谐振动的合成 它们单独在P点引起的振动分别为 S2 y20 A2cos t 2 42 合振幅 式中 合振动的初相为 P点的合振动为y y1 y2 Acos t 波强 43 干涉的强弱取决于两列波的相位差 2n A A1 A2 加强 相干相长 特别是A1 A2时 A 2A1 Imax 4I1 2n 1 A A1 A2 减弱 相干相消 特别是A1 A2时 A 0 Imin 0 n 0 1 2 44 例题5 1两个振幅都为A的相干波源S1和S2相距3 4 S1比S2超前 2 设两波在连线上的波强不随传播距离而改变 试分析S1和S2连线上的干涉情况 解干涉的强弱取决于相位差 S1左側a点 S2右側b点 S1左側各点都加强 Imax 4I1 S2右側各点都减弱 Imin 0 45 S1和S2之间c点 46 例题5 2原点o是波源 波长为 AB为波的反射平面 反射时无半波损失 A点位于o点的正下方 Ao h ox轴平行于AB 求ox轴上干涉加强点的坐标 解 2n 加强 n 1 2 3 解得 最大n 令x 0 得n 2h n 1 2 3 2h 47 例题5 3已知 yb 3cos2 t yc 4cos 2 t 2 SI 从b c两点发出的波在p点相遇 bp 0 45m cp 0 3m u 0 2m s 求p点的合振动方程 解 y1 3cos 2 t 3cos 2 t 2 c p y2 4cos 2 t 2 4cos 2 t 2 p点的合振动方程 y y1 y2 7cos 2 t 2 m b p 48 例题5 4相干波源S1超前S2相位 2 A1 A2 0 2m 频率 100Hz r1 4m r2 3 75m 两种介质中的波速分别为u1 400m s u2 500m s 求两介质界面上p点的合振幅 0 A1 A2 0 4m 解先求两波到达p点的位相差 49 5 5 3驻波 两列振幅相等 传播方向相反的相干波进行叠加 就会形成驻波 p41 50 将两列波合成 可得 这就是驻波方程 1 驻波方程实际上是一个振动方程 只不过各点的振幅随坐标x的不同而变化 整体上看 驻波的波形驻定在原地起伏变化而不传播 这是驻波中 驻 字的意思 51 波节 波腹 4 4 52 2 波腹和波节位置 波腹 即 波腹的位置为 波节 即 波节的位置为 容易算出 相邻的两个波节 或波腹 之间的距离是 2 可见 测出两波节之间的距离 就能算出波长 这是实验中测量波长的一种常用的方法 53 3 驻波中的位相 由驻波方程可知 kx n 2为波节 而kx在1 4象限的点 各点位相都是 t kx在2 3象限的点 各点位相都是 t 可见 在相邻的两波节间 各点的振动位相相同 而在波节两旁 各点的振动位相相反 因此 驻波实际上就是分段振动着的 没有振动状态或相位的传播 这是驻波中 驻 字的又一层意思 54 4 驻波中的能量 从整个过程来看 能量在相邻的波腹 波节间来回转移 波节或波腹两侧的介质互不交换能量 因此 平均意义上驻波是不传播能量的 这是驻波中 驻 字的再一层意思 5 固定边界的驻波 n 1 2 55 可能的驻波必须是某一基波的整数倍 m 1的频率称基频 其它的波称为谐波 所有这些振动称为简正模式 所有的频率构成弦振动的固有频率 也叫本征频率 例 假定原子中核外电子绕核运动遵守某种简谐波的波动规律求 原子中电子的轨道半径必须满足的条件 解 原子必须是稳定的 由波的干涉情况可知 只有当电子的波形成稳定驻波时 原子才可能稳定 由驻波条件 轨道周长必须为电子波长的整数倍 于是有 2 R n 56 6 波在界面的反射和透射 半波损失 波阻抗 z大 波密媒质 z小 波疏媒质 入射波 反射波 透射波 57 界面两侧应力相等 牛顿第三定律 界面两侧质元位移相同 接触 y1 y1 x 0 y2 x 0 纵波 机械波 入射时 有界面关系 将y表达式代入界面关系 考虑Y u2得 58 其中 波阻抗z u 联立两式可得 59 透射波 2 若z1 z2 则 1 1 1 若z1 z2 则 1 1 反射波 1 相位关系 半波损失 均有 2 1 即透射波总是与入射波同相 60 若忽略透射波 则入射和反射波的波形如下 61 反射比 透射比 2 振幅关系 z1 z2互换 R T不变 62 例题5 5一弦上的驻波方程为 求 1 两行波的振幅和波速 2 相邻波节间的距离 3 t 3 00 10 3s时 位于x 0 625m处质点的振动速度 解 1 比较法 A 1 50 10 2m k 1 6 m 1 550 s 1 u k 343 8m s 63 2 相邻两波节之间的距离 1 25m 0 625m 3 t 3 00 10 3s时 位于x 0 625m处质点的振动速度 x 0 625 46 2 m s 64 例题5 6 1 波y2与y1形成驻波 且在x 0处两波同相 求波y2的方程 2 驻波方程 3 波幅和波节位置 解 1 设波y2的方程为 因y2在x 0处与已知横波位相相同 所以 o 0 65 2 写出绳上的驻波方程 3 波幅和波节位置 波幅 波节 66 解 1 设反射波方程为 由于反射端为自由端 无半波损失 入射波和反射波在p点相差为零 即 反射波方程为 例题5 7波沿棒传播 在x L处 p点 反射 反射端为自由端 求 1 反射波方程 2 驻波方程 67 2 驻波方程 驻波方程为 68 例题5 8设波源位于坐标原点o处 其振动方程为yo Acos t 在x 3 4处的Q点有一波密反射壁 为波长 求 1 o点发出的沿x轴传播的波的波动方程 2 Q点反射的反射波的波动方程 3 oQ区域内合成波的方程 4 x 0区域内合成波的方程 5 x 2处质点p的振动方程 解 1 沿x轴正方向传播的波 沿x轴负方向传播的波 69 2 设Q点反射的反射波的波动方程为 由于反射壁处有半波损失 入射波y2和反射波yr在Q点相差应为 即 解得 o 4 最后得Q点反射波的波动方程为 70 oQ区域内合成波的方程为 这是驻波方程 4 x 0区域内合成波的方程 3 这是行波方程 71 就得x 2处质点p的振动方程 5 将x 2代入oQ区域的驻波方程 72 5 6多普勒效应 目前 多普勒效应已在科学研究 工程技术 交通管理 医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用 用多普勒效应分析分子 原子和离子的谱线增宽 测量和诊断大气 等离子体物理状态 车辆 导弹等运动目标的速度监测 多普勒效应用来跟踪人造卫星 D超 用来检查人体内脏 血管等情况 在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速 p50 73 波源和接收器 观察者 相对于介质都是静止的 接收器接收到的波的频率与波源的频率相同 什么是多普勒效应呢 接收器 或观察者 所接收到的频率等于单位时间内通过接收器 或观察者 所在处的完整波数目 如果波源或接收器或两者同时相对于介质运动时 接收器接收到的频率和波源的频率不同 这一现象称为多普勒 Doppler 效应 假定波源和接收器在同一直线上运动 规定用 s 表示波源相对于介质的运动速度 r 表示接收器相对于介质的运动速度 u 表示波在介质中的传播速度 74 1 波源和接收器相对于介质都静止 当波源和接收器相对于介质都静止时 波源每作一次全振动 波就在空间传播一个波长的距离 结果就有一个完整的波通过接收器 显然接收器 或观察者 接收到的频率vr就等于波源的频率v 即vr u v 75 2 波源静止 接收器相对于介质以 r运动 当接收器在介质中静止不动时 他在单位时间内接收到u 个波 现因接收器以速度 r向波源运动 他在单位时间内多接收到 r 个波 所以他在单位时间内接收到的波数 即他接收到的频率vr应为 76 3 接收器静止 波源相对于介质以 s运动 当波源和接收器 观察者 都静止 则分布在So内的波数在单位时间内都要通过接收器 由于波速不变 这些波数在单位时间内都要通过接收器 但波长变短了 现在的波长是 若波源以速度 s向着接收器运动 单位时间内从S点到达S 原来分布在So内的波数现