线性代数详解.ppt

1 1行列式的定义 我们用表示代数和a11a22 a12a21 并称它 为二阶行列式 对角线法则 我们用符号表示代数和 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 并称它为三阶行列式 对角线法则 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 定义1 1 3由n2个数aij i j 1 2 n 排成n行n列 称 为n阶行列式 其中 表示对所有排列j1j2 jn取和 D DT 若行列式中某一行 列 元素全为零 则行列式的的值为零 若行列式中两行 列 的对应元素成比例 则行列列式的值为零 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 若行列式有两行 列 相同 则此行列式的值为零 1 2行列式的性质 互换行列式的两行 列 行列式变号 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 行列式等于它的任一行 列 各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 定理1 3 1 行列式按行 列 展开法则 例计算行列式 解 法一 例计算行列式 解 法二 1 1 2 3 24 例计算行列式 例计算行列式 克拉默法则 如果线性方程组 1 19 的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解 其中 1 19 j 设A aij 是一个m s矩阵 B bij 是一个s n矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB 规定为m n矩阵 C cij 其中 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj i 1 2 m j 1 2 n 矩阵的乘法 方阵的行列式的运算规律 1 AT A 2 AB A B B A BA 3 A n A A为n阶方阵 例 已知三阶方阵A 有 A 2 则 1 AT 2 4A 3 2ATA 2 128 32 定义1矩阵的初等行 列 变换指的是下面三种变换 矩阵的初等变换 的初等变换 1 交换矩阵的某两行 列 第一种初等变换 2 用非零数k乘某一行 列 中的所有元素 第二种初等变换 3 把某一行 列 加上另一行 列 的k倍 第三种初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型 定义对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵 练习 乘以初等矩阵相当于进行初等变换 左行右列 例 设 则 对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 使得 AB BA E 则称矩阵A是可逆矩阵 并称B为A的逆矩阵 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆矩阵是唯一的 A的逆矩阵记为A 1 即若AB BA E 则B A 1 例如 设 有AB BA E 故B是A的逆矩阵 可逆矩阵 2 性质 1 若A可逆 则A 1也可逆 且 A 1 1 A 2 若A可逆 数 0 则 A可逆 且 A 1 1A 1 3 若A B为同阶可逆矩阵 则AB可逆 且 AB 1 B 1A 1 4 若A可逆 则AT也可逆 且 AT 1 A 1 T 5 若A可逆 则 A 1 A 1 方法一 公式法 方阵A可逆的充要条件是 A 0 并且 矩阵可逆的条件和求法 方法二 初等变换法 例设 求A 1 解 例求解矩阵方程AX A X 其中 解 X 的数k1 k2 ks 使 则称向量组A线性相关 给定向量组A 如果存在不全为零 3 3 如果 3 3 当且仅当k1 k2 ks 0时成立 则称向量组A线性无关 向量组的线性相关与线性无关 总结判断向量组的线性相关性的方法 1 利用定义判断 这是判定向量组的线性相关性的基本方法 2 利用定理2判断 3 利用行列式 推论1 判断 此法仅适用于向量的个数与向量的维数相等的情形 这是常用方法 例已知向量组 线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证 设有k1 k2 k3使得k1b1 k2b2 k3b3 0 则 k1 k2 a1 k2 k3 a2 k1 k3 a3 0 即 k1 a1 a2 k2 a2 a3 k3 a3 a1 0 因为a1 a2 a3线性无关 故有 此方程组只有零解k1 k2 k3 0 所以向量组b1 b2 b3线性无关 例讨论向量组 的线性相关性 向量组的秩 定义向量组的极大无关组所含向 量的个数称为该向量组的秩 记为 定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它 的行向量组的秩 例设向量组A 求列向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关 组的列向量用极大无关组线性表示 解对向量组为列的矩阵A作初等变换化为行最简 形 知 a1 a2为列向量组的一个极大无关组 且 增广矩阵经过初等行变换化为 那么以 定理若线性方程组 为增广矩阵的线性方程组与 4 1 同解 4 1 解线性方程组 定理设线性方程组 4 1 相容 则 1 当且仅当 时 方程组有唯一解 2 当且仅当 时 方程组有无穷多解 例设 问取何值时 方程组无解 有解 在有解的情况下求出通解 解 令为增广矩阵 则 当 时 方程组无解 时 方程组有解 当 当a 5时 解为 特征值 特征向量 定义5 1 1 设A是n阶方阵 如果存在数l和n维非零 向量a 使关系式 成立 那么 这样的数l称为方阵A的特征值 非零向 量a称为A的属于特征值l的特征向量 5 1 求A的特征值和特征向量的步骤 1 计算A的特征多项式 A lE 或 lE A 2 求出方程 A lE 0的全部根 即为A的特征值 3 对于A的每一个特征根li 求出方程组 的基础解系 量 而其线性组合 就是A对应于li的全部特征向量 不全为零 就是A对应于li的特征向 例 求 的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 得A的特征值为 解方程 当l 1时 解方程组 A E X 0 由 得 为基础解系 则A的属于l 1的所有特征 向量 当l 2时 解方程组 A 2E X 0 由 得 为基础解系 则A的属于l 2的 所有特征向量 相似矩阵 定义设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使P 1AP B 则称A与B相似 记作 对A进行运算P 1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 矩阵的对角化 对n阶方阵A 寻求一个相似变换矩阵P 使得PAP 1为对角矩阵 该过程称为把方阵A对角化 定理一个n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要 条件是它有n个线性无关的特征向量 推论若n阶方阵A的n个特征值互不相等 则A可 对角化 定理2n阶矩阵A可对角化的充要条件是对于A的每一个ki重特征值li有r A liE n ki