（45专题）2014年中考数学试题解析分类汇编汇总23 直角三角形与勾股定理.doc

直角三角形与勾股定理一、 选择题1. （2014海南,第6题3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是（）A120B90C60D30考点：直角三角形的性质分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解解答：xkb 1解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30故选D点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键2（2014随州，第7题3分）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A100米B50米C米D50米考点：解直角三角形的应用分析：过B作BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案解答：解：过B作BMAD，BAD=30，BCD=60，ABC=30，AC=CB=100米，BMAD，BMC=90，CBM=30，CM=BC=50米，BD=50米，故选：B点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30角所对直角边等于斜边的一半3（2014黔南州，第11题4分）如图，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，EDAB于D如果A=30，AE=6cm，那么CE等于（）AcmB2C3cmD4cm考点：含30度角的直角三角形分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出CE的值解答：解：EDAB，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90，BE平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故选C点评：此题考查了含30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE4(2014年广西钦州，第12题3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A1种B2种C3种D4种考点：勾股定理的应用专题：计算题来源:学&科&网Z&X&X&K分析：如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可解答：解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选C点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键5(2014年贵州安顺，第9题3分)如图，在RtABC中，C=90，A=30，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EFAC于F，连接FB，则tanCFB的值等于（）AABCD考点：锐角三角函数的定义.分析：tanCFB的值就是直角BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来就可以求解解答：解：根据题意：在RtABC中，C=90，A=30，EFAC，EFBC，AE：EB=4：1，=5，=，设AB=2x，则BC=x，AC=x在RtCFB中有CF=x，BC=x则tanCFB=故选C点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边6（2014山西，第4题3分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割B垂径定理C勾股定理D正弦定理考点：勾股定理的证明分析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明解答：解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理故选C点评：本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明7. （2014乐山，第7题3分）如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D则CD的长为（）ABCD考点：勾股定理；三角形的面积.分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度；最后在直角BCD中，利用勾股定理来求CD的长度解答：解：如图，由勾股定理得 AC=BC2=ACBD，即22=BDBD=在直角BCD中，由勾股定理知，CD=故选：C点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键8. （2014丽水，第4题3分）如图，直线ab，ACAB，AC交直线b于点C，1=60，则2的度数是（）A50B45C35D30考点：平行线的性质；直角三角形的性质分析：根据平行线的性质，可得3与1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90，根据角的和差，可得答案解答：解：如图，直线ab，3=1=60ACAB，3+2=90，2=903=9060=30，故选：D点评：本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差9(2014年湖北黄石) （2014湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是（）第1题图A 30B60C90D120考点：直角三角形的性质分析：根据直角三角形两锐角互余解答解答：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，1+2=90故选C点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键10（2014湖北荆门,第12题3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）第2题图A4dmB2dmC2dmD4dm考点：平面展开-最短路径问题分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm，AC2=22+22=4+4=8，AC=2，这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm故选A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决11（2014四川绵阳,第11题3分）在边长为正整数的ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将ABC的周长分为1：2的两部分，则ABC面积的最小值为（）ABCD考点：新*课*标*第*一*网勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质分析：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出ABC面积的最小值即可解答：解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得或，解得或，2（此时不能构成三角形，舍去）取，其中n是3的倍数三角形的面积S=n2，对于S=n2=n2，当n0时，S随着n的增大而增大，故当n=3时，S=取最小故选：C点评：本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键二、填空题1. （2014无锡，第15题2分）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于8考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可解答：解：如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD=8故答案是：8点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点2(2014年广西南宁，第17题3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出CAD=30，CBD=60，再由三角形外角的性质得到CAD=30=ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解RtBCD，求出CD即可解答：解：根据题意可知CAD=30，CBD=60，CBD=CAD+ACB，CAD=30=ACB，AB=BC=20海里，在RtCBD中，BDC=90，DBC=60，sinDBC=，sin60=，CD=12sin60=20=10海里，故答案为：10点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线3(2014黑龙江牡丹江, 第16题3分)如图，在等腰ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则ABC的周长等于12 cm第1题图考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质版权所有分析：根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长解答：解：AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，ABCE=BCAD，AD=6，CE=8，=，=，AB=AC，ADBC，BD=DC=BC，AB2BD2=AD2，AB2=BC2+36，=，整理得；BC2=，解得：BC=，AB=BC=，ABC的周长=2AB+BC=2+=12故答案为12点评：本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键三、解答题1. （2014河北，第22题10分）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米四人分别测得C的度数如下表：甲乙丙丁C（单位：度）34363840他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：（1）求表中C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用（注：sin37=0.6，cos37=0.8，tan37=0.75）考点：解直角三角形的应用；扇形统计图；条形统计图；算术平均数x_k_b_1分析：（1）利用平均数求法进而得出答案；（2）利用扇形统计图以及条形统计图可得出C处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出A处垃圾量；（3）利用锐角三角函数得出AB的长，进而得出运垃圾所需的费用解答：解：（1）=37；（2）C处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%，垃圾总量为：32050%=640（kg），A处垃圾存放量为：（150%37.5%）640=80（kg），占12.5%补全条形图如下：（3）AC=100米，C=37，tan37=，AB=ACtan37=1000.75=75（m），运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，运垃圾所需的费用为：75800.005=30（元），答：运垃圾所需的费用为30元点评：此题主要考查了平均数求法以及锐角三角三角函数关系以及条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用扇形统计图与条形统计图获取正确信息是解题关键2、（2014河北，第23题11分）如图，ABC中，AB=AC，BAC=40，将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：ABDACE；（2）求ACE的度数；（3）求证：四边形ABEF是菱形考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质专题：计算题分析：（1）根据旋转角求出BAD=CAE，然后利用“边角边”证明ABD和ACE全等（2）根据全等三角形对应角相等，得出ACE=ABD，即可求得（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得解答：（1）证明：ABC绕点A按逆时针方向旋转100，BAC=DAE=40，BAD=CAE=100，又AB=AC，AB=AC=AD=AE，在ABD与ACE中ABDACE（SAS）（2）解：CAE=100，AC=AE，ACE=（180CAE）=（180100）=40；（3）证明：BAD=CAE=140AB=AC=AD=AE，ABD=ADB=ACE=AEC=20BAE=BAD+DAE=160，BFE=360DAEABDAEC=160，BAE=BFE，四边形ABEF是平行四边形，AB=AE，平行四边形ABEF是菱形点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键2、（2014宁夏，第20题6分）在ABC中，AD是BC边上的高，C=45，sinB=，AD=1求BC的长考点：解直角三角形；勾股定理分析：先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90，再解RtADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解RtADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在RtABD中，又AD=1，AB=3，BD2=AB2AD2，在RtADC中，C=45，CD=AD=1BC=BD+DC=+1点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtADB与RtADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键2(2014年广西钦州，第24题9分)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角CED=60，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：1.41，1.73）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：由题意可先过点A作AHCD于H在RtACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在RtCED中，求出CE的长解答：解：过点A作AHCD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，CAH=30，AB=DH=1.5，BD=AH=6，在RtACH中，tanCAH=，CH=AH