量子力学习题解答-第2章.doc

第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程） 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数具有正交归一性（分立谱） 或函数正交归一性（连续谱） 由能量本征函数可以得到定态波函数 定态波函数满足含时薛定谔方程。对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 系数由初始波函数确定 ， 由波函数的归一性，可以得到系数的归一性 对态测量能量只能得到能量本征值，得到的几率是，能量的期待值可由 求出。这种方法与用 方法等价。 2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态） 能量本征函数和能量本征值为 若 则能量本征函数和能量本征值为 是基态（能量最低），是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的：是偶函数，是奇函数，是偶函数，依次类推。（b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）： 能量本征函数和能量本征值为 其中厄米多项式，可由母函数生成 厄米多项式多项式满足递推关系 定义产生算符与湮灭算符 则有 当处于能量本征态时 （c）一维自由粒子（连续谱，散射态）： 定态薛定谔方程为 能量本征函数和本征值为 能量本征函数满足函数正交归一性 定态波函数为 定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（）或向左传播的正弦波（），波的传播速度(相速度)为 尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包 可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数由初始波包决定 由能量本征函数满足函数正交归一性 波包在空间的传播速度称为群速度 （d）一维函数势阱： 函数的性质为 在处由于函数势的存在，波函数的导数出现跃变 （如果是函数势，上式中做代换） 束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为 散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为 尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。由波函数及其导数在连续和跃变条件，可以得出反射波振幅，透射波振幅与入射波振幅的关系（设，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度，投射波几率流密度，入射波几率流密度，可以得到反射系数和透射系数。由几率流密度定义 （三维情况为） 计算出 反射系数和透射系数之和为1. *习题2.1 证明下列三个定理解：（a） 证：假设在定态解把实数改为复数，则若在时刻，波函数是归一化的，即 在以后时刻 所以要求在任何时候都有必须有，即必须为实数。（b）设满足定态薛定谔方程 把这个式子取复共轭，注意到是实的，得到 显然和是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加 或也是同一薛定谔方程的解。显然是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。（c）对进行空间反演，得到如果势能是偶函数，则有 因此和是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加 也是同一薛定谔方程的解。，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。*习题2.2 解：如果，那么和它的二次导数有同样的符号。如果是正值，它将一直增加，这与我们，的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们，的要求不符，导致函数是不可归一化的。我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有 在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能，所以总能势能势能最小值。如果总能势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果，则意味着动能的期待值为负值，或的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。 *习题2.5解：(a) 利用哈密顿本征函数的正交归一性 所以 (b) 代入 并令 (c) 时 完成积分得到 (以为中心的振荡)（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系（e）对测量能量，得到的几率为1/2,得到的几率为1/2.，这个几率同时刻是一样的，也就是说不随时间变化，这是能量守恒的体现。为什么会随时间变化,而不随时间变化?因为是哈密顿算苻的本征函数, , 干涉项由于本征函数的正交性,结果为零。但是对算苻,干涉项一般不为零 (与, 与一般不会正交)*习题2.7 解：（a）的图形为归一化波函数 所以 （b）一维无限深势阱的定态波函数为 把初始波函数用定态展开 其中展开系数为 利用积分公式 可以求出 所以 （）测量能量得到结果为的几率是（d）其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到） 习题.解：（a）初始波函数为 归一化 所以 （b）一维无限深势阱的定态波函数为 把初始波函数用定态展开 其中展开系数为 所以测量能量得到基态的几率为*习题 2.12 解：由 ， 习题 2.13 解：（a）归一化 所以 （b） 其中 是谐振子基态和第一激发态的能量。 （c） 利用 ， 或者 由Ehrenfests定理 代入谐振子势能，及，有 显然满足Ehrenfests定理如果用替代，则有 其中，重复上面的计算，有显然此时，仍然满足（也必须满足）。讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有态时，必须还有态，才会以的形式震荡。（d）测量能量得到的几率是，得到的几率是。习题 2.14 解：本题其实就是以经典频率为的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为 能量本征函数为 能量本征值为 含时薛定谔方程的一般解为 当时， 显然对测量能量，不可能得到，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到的几率为零。现在体系基态的能量为，所以测量能量得到的几率是，由 代入 （注意在时刻，体系的能量期待值不是，因为体系的哈密顿是频率为的谐振子哈密顿。） 习题2.19 解：把 代入 得到 显然，几率流是朝正方向，即波的传播方向流动。*习题2.27 解：（a）（a） 对束缚态必须有，解薛定谔方程： 其解为 其中 并且已经利用了波函数在时应为有限的条件。 波函数在处必须连续，我们有 但是由于此处势能为无限大，所以波函数的导数是不连续的，波函数导数的跃变可以由薛定谔方程求出。在处，由积分 得到 其中 为波函数导数在处的跃变。同样可以求得波函数导数在处的跃变为 所以 与 一起整理得到 其中 这个以为未知数的方程组有非零解的条件是系数行列式为零，即 得到 这个方程可以表示为 所以我们有两个解（单d势阱时有一个解，双d势阱时有两个解，你可以推论当有N个d势阱时，应该有N个解） 对 得到满足的方程为 数值解这两个方程（注意）得到 所以能量为 注意当取时，单d势阱的能量为，所以双阱时的两个能量本征值，一个比单阱时大，一个比单阱时低。 对情况，满足的方程为 数值解为 所以能量为 但是的解，不符合波函数必须归一化的要求（在这种情况下，波函数在三个区间都是常数，积分为无限大，或者说不符合我们开始要求的束缚态的要求。）所以现在我们只有一个解。下面求出两种情况下的波函数。首先把所有的系数都用表示，可以解出 对，满足的解，有 所以波函数为 可以看出这是一个偶函数。归一化 积分得到解出 这个波函数的图形为对，满足的解，有所以波函数为 可以看出这是一个奇函数。归一化 积分得到解出 这个波函数的图形为 对情况， （我们也只需考虑这种情况），我们得到 所以波函数为是偶函数。除了能量与时不同外，形式上这个波函数与时，能量为的波函数一样。（b） *习题2.34： 解: (a) 对情况，定态薛定谔方程的解为 其中 并且我们已经假设在仅有透射波。由波函数及其导数在处的连续条件 消去F得到 反射系数为 （b）对于情况，定态薛定谔方程的解为 其中 由波函数及其导数在处的连续条件 消去F得到 反射系数为 （a） 由于右边透射波区域势能与左边入射波区域不一样，所以透射系数不能简单地用，而应该用透射波几率流密度比上入射波几率流密度。其中几率流密度的定义为（一维情况） 对于情况，代入入射波，透射波，我们得到 所以 即除了振幅之比外，还有波矢之比出现。对于，代入透射波，可以求出（透射波是指数衰减波，它不能传到无限远处，透射波是实函数，几率流密度公式中的两项相互抵消），所以。（d）对于情况，我们可以求出， 所以 对于，所以反射系数在这种情况下等于1。 习题2.37： 解：利用三角公式 其中 是一维无限方势阱能量本征函数。归一化 所以在时刻，波函数为 其中 是一维无限方势阱能量本征值。 其中 坐标的期待值为 代入 最后得到 *习题2.38： 解：（a） 体系的初始波函数为 当右阱壁从移到后，体系的能量本征函数和本征值为 所以我们需要把用现在的本征函数展开 展开系数可以由傅里叶技巧求出 对能量进行测量得到的几率为 显然是最可几几率，所以测量得到的几率最大，注意这个能量与势阱壁没有移动时的基态能量一样。（b）所以次最可几几率是（c），这正是势阱移动前的基态能量，所以势阱移动前后体系的能量是一样的，这是能量守恒的体现。习题2.42： 解：定态薛定谔方程在区域与谐振子的方程完全一样，但是在处波函数必须为零，所以我们可以从谐振子的本征函数中选出满足在处的能量本征函数函数，显然为奇函数的满足我们的要求，而为偶函数的不满足要求。所以半谐振子势的解是谐振子解中的那些解。能量本征值为 基态为的态，这比谐振子基态能量高。习题2.44： 解： 对偶函数解，在和两个区域定态薛定谔方程的解为 其中 在处波函数连续已经满足，（函数势引起）波函数导数跃变给出 在的边界条件给出 由此我们得到能级满足的方程 数值解这个超越方程（如下图）可以得到解从图中可以看出，解得的值略大于 而且随着的增加越来越靠近，所以能量本征值为 此式右边为阱宽为的无限深势阱的能量本征值，所以在势在势阱中心存在的情况下，能量本征值比没有时略有增加。当势的强度减弱（减小），图中直线变得更加倾斜，将更加接近于阱宽为的无限深势阱的能量本征值。当势的强度增加（增大），图中直线将变