高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例高效演练分层突破文新人教A版.docx

第7讲解三角形应用举例基础题组练1在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. kmB. kmC. km D2 km解析：选A.如图，在ABC中，由已知可得ACB45，所以，所以AC2(km)2如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 B15C5 D15解析：选D.在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.3如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：选A.在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.4一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：选A.如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m解析：选C.因为tan 15tan(6045)2，所以BC60tan 6060tan 15120(1)(m)6海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是 n mile.解析：如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：57.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在塔底D的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，A，B间的距离是84 m，则塔高CD m.解析：设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.又由题意得ADB9060150，在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2 cos 150，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.答案：128一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为 海里/小时解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，所以MN6834(海里)又由M到N所用的时间为14104(小时)，所以此船的航行速度v(海里/小时)答案：9渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CDAD于点D，由题意得：AB155(海里)，因为A30，CBD60，所以BCA30，所以ABC为等腰三角形，所以BC5.在BCD中，因为CBD60，CDAD，BC5，所以CD，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里10如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，求山高MN.解：根据题意，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)综合题组练1如图所示，一座建筑物AB的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为()A30 m B60 mC30 m D40 m解析：选B.在RtABM中，AM20(m)过点A作ANCD于点N，如图所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40sin 6060(m)，故通信塔CD的高为60 m.2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米解析：连接OC，由题意知CD150米，OD100米，CDO60.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CDODcos 60，即OC50.答案：503.如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长解：(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k(k0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.4(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由