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第四章 无穷集合及其基数习题1.设为由序列的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若是由有限个数组成的集合，则是有限的集合；若是由无限个数组成的集合，则是可数的。故本题是至多可数的。2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q的子集，因此是至多可数的。3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。证：设是所有不连续点的集合，是一个单调函数，则对应着一个区间，于是由上题便得到证明。4.任一可数集的所有有限子集构成的集族是可数集合。证：设则且。令，设，则是的子集的特征函数。0，1的有穷序列，即，若，则对应1；若则对应0。于是就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，0，1。此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。于是，可数集的所有有限子集对应着有理数的一个子集。又对应的小数也不同，故是单射。而可数集的所有有限子集是无穷的，故是可数的。5判断下列命题之真伪：(1)若且是满射，则只要是可数的，那么是至多可数的；(2)若且是单射，那么只要是可数的，则也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的；答案：对，错，错。7设是有限集，是可数集，证明：是可数的。证：由第四题可得。8. 设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。证明是可数集证：设有限字母上所有字（包括空字）所形成的集，则是可数的。1长度为1的字符串2长度为2的字符串 n长度为n的字符串 因为i 中每个长度都是有限的，而，故是至多可数的。又显然是无穷的，故是可数的。证2：不妨假设（令也是可以），则可按字典序排序为：。由于的全部元素可以排成无重复项的无穷序列，故是可数的。2.4习题 2.找一个初等可数，使得它是到实数的一一对应。解：,或，或3.试给出一个具体的函数，使得它是从到的一一对应。证：中包含一个可数子集可数。可数的，故。令即为所求。
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