高考数学知识点汇编知识精讲(全套).pdf

1 函数的定义 1 映射的定义 2 一一映射的定义 上面中是映射的是 是一一映射的是 3 函数的定义 课本第一册上 P51 2 函数的性质 1 定义域 南师大 P32 复习目标 2 值域 3 奇偶性 在整个定义域内考虑 定义 判断方法 定义法 步骤 a 求出定义域 b 判断定义域是否关于原点对称 c 求 xf d 比较 xfxf与 或 xfxf 与的关系 图象法 已知 xgxfxH 若非零函数 xgxf的奇偶性相同 则在公共定义域内 xH为偶函数 若非零函数 xgxf的奇偶性相反 则在公共定义域内 xH为奇函数 常用的结论 若 xf是奇函数 且定义域 0 则 1 1 0 0 fff 或 若 xf是偶函数 则 1 1 ff 反之不然 4 单调性 在定义域的某一个子集内考虑 定义 证明函数单调性的方法 定义法 步骤 a 设 2121 xxAxx 且 b 作差 21 xfxf 一般结果要分解为若干个因式的乘积 且每一个因式的正或负号能清楚地判断出 c 判断正负号 用导数证明 若 xf在某个区间 A 内有导数 则 0 Axxf xf在 A 内为增函数 0 Axxf xf在 A 内为减函数 求单调区间的方法 a 定义法 b 导数法 c 图象法 d 复合函数 xgfy 在公共定义域上的单调性 若 f 与 g 的单调性相同 则 xgf为增函数 若 f 与 g 的单调性相反 则 xgf为减函数 注意 先求定义域 单调区间是定义域的子集 一些有用的结论 a 奇函数在其对称区间上的单调性相同 b 偶函数在其对称区间上的单调性相反 c 在公共定义域内 增函数 xf增函数 xg是增函数 减函数 xf减函数 xg是减函数 增函数 xf减函数 xg是增函数 减函数 xf增函数 xg是减函数 d 函 数 0 0 ba x b axy在 abab 或上 单 调 递 增 在 abab 或 0 0 上是单调递减 5 函数的周期性 定义 若 T 为非零常数 对于定义域内的任一 x 使 xfTxf 恒成立 则 f x 叫做周期函数 T 叫做这个函数的一个周期 例 1 若函数 xf在 R 上是奇函数 且在 01 上是增函数 且 2 xfxf 则 xf关于 对称 xf的周期为 xf在 1 2 是 函数 增 减 时 若10 x xf x 2 则 log18 2 1 f 2 设 xf是定义在 上 以 2 为周期的周期函数 且 xf为偶函数 在区间 2 3 上 xf 4 3 2 2 x 则时 2 0 x xf 3 函数的图象 1 基本函数的图象 1 一次函数 2 二次函数 3 反比例函数 4 指数函 数 5 对数函数 6 三角函数 2 图象的变换 1 平移变换 函数 0 aaxfy的图象是把函数轴的图象沿xxfy 向左平 个单位得到的移a 函数 0 aaxfy的图象是把函数轴的图象沿xxfy 向右平 个单位得到的移a 函数 0 aaxfy的图象是把函数轴的图象沿yxfy 向上平 个单位得到的移a 函数 0 aaxfy的图象是把函数轴的图象沿yxfy 向下平 个单位得到的移a 2 对称变换 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于直线 x 0 对称 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于直线 y 0 对称 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于坐标原点对称 如果函数 xfy 对于一切 Rx 都有 axf axf 那么 xfy 的图象关于直线ax 对称 函数 xafy 与函数 xafy 的图象关于直线ax 对称 xfy xfy xfy xfy 1 xfy 与 xfy 关于直线xy 对称 3 伸缩变换 0 axafy的图象 可将 xfy 的图象上的每一点的纵坐标伸长 1 a或缩短 10 a到原来的a倍 0 aaxfy的图象 可将 xfy 的图象上的每一点的横坐标伸长 10 a或缩短 1 a到原来的 a 1 倍 例 1 已知函数 xfy 的图象过点 1 1 则 4 xf 的反函数的图象 过点 2 由函数 x y 2 1 的图象 通过怎样的变换得到 x y 2 log 的图象 4 函数的反函数 1 求反函数的步骤 求原函数 xfy Ax 的值域 B 把 xfy 看作方程 解出 yx x y 互换的 xfy 的反函数为 1 xfy Bx 2 函数与反函数之间的一个有用的结论 abfbaf 1 3 原函数 xfy 在区间 aa 上单调递增 则一定存在反函数 且反函数 1 xfy 也单调递增 但一个函数存在反函数 此函数不一定单调 例 1 1 2 log3 x y 0 x的反函数为 2 已知 0 32 2 xxxxf 求 12 xfy的反函数 3 设 0 329 1 fxf xx 则 4 四十五分钟能力训练题十 13 题 5 函数 方程与不等式 1 实系数一元二次方程0 2 cbxax有实数解 转化为 04 2 acb 你是否注意到必须0 a 当a 0 时 方程有解 不能转化为04 2 acb 若原题中没有指出是 二次 方程 函数或不等式 你是否考虑到二次项系数可能 为零的情形 2 利用二次函数的图象和性质 讨论一元二次方程实根的分布 设 21 x x为方程 0 0 axf的两个实根 若 21 mxmx 则0 mf 当在区间 nm内有且只有一个实根 时 当在区间 nm内有且只有两个实根时 若qxpnxm 21 时 注意 根据要求先画出抛物线 然后写出图象成立的充要条件 注意端点 验证端点 例 1 对于定义在 R 上的函数 1 4 2 x mx xf若其所以的函数值都不超过 1 则 m 的取值范围 2 已知函数 4 1 2 2 log xaax y的定义域是一切实数 则 a 3 若关于 x 的方程01222 aa xx 有实根 则 a 4 设 集 合A 034 2 xxx B是 关 于x的 不 等 式 组 05 7 2 02 2 2 xax axx 的解集 试确定a的取值范围 使BA 5 已知方程01 2 mmxx的两个根为一个三角形两内角的正切值 试求m的取值范围 考虑端点 验证端点 2 0 1 nfmf 0 0 2 0 nf mf n a b m 0 0 qfpf nfmf 一 知识结构 另注 三余弦公式 其中 为线面角 为斜线与平面内直线所成的角 为 二 主要类型及证明方法 主要复习向量法 1 定性 1 直线与平面平行 向量法有几种证法 非向量法有种证法 2 直线与平面垂直 向量法有几种证法 非向量法有种证法 3 平面与平面垂直 向量法有几种证法 非向量法有种证法 2 定量 1 点 P 到面的距离 d cos n nPA nPAPA 2 异面直线之间的距离 同上 3 异面直线所成的角 nPA coscos 4 直线与平面所成的角 nPA cossin 5 锐二面角 nm coscos 三 例题 1 设集合 A 正四面体 B 正多面体 C 简单多面体 则 A B C 之间的关系 为 A A A B C B A C B C C B A D C A B 2 集合 A 正方体 B 长方体 C 正四棱柱 则 A B C 之间的关系为 B A A B C B A C B C C A B D B A C 3 长方体 ABCD A B C D 中 E F G 分别是 AB BC BB 上的点 则 EFG 的形状是 C A 等边三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 4 长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为 则有 A A cos2 cos2 cos2 1 B sin2 sin2 sin2 1 C cos2 cos2 cos2 2 D sin2 sin2 sin2 3 5 长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为 则有 B A cos2 cos2 cos2 1 B sin2 sin2 sin2 1 C cos2 cos2 cos2 3 D sin2 sin2 sin2 2 6 长方体 ABCD A B C D 中 D BA 45 D BB 60 则 D BC C A 30 B 45 C 60 D 75 7 长方体的全面积为 11 所有棱长之和为 24 则这个长方体的一条体对角线长为 C A 2 3 B 14 C 5 D 6 8 棱锥的底面积为 S 高位 h 平行于底面的截面面积为 S 则截面与底面的距离为 A S S h S B S S h S C S S h S D S S h S A 9 三棱锥 P ABC 的三条侧棱长相等 则顶点在底面上的射影是底面三角形的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 B 10 三棱锥 P ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等 则顶点在底面上的射影是底面三角形 的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 B 11 三棱锥 P ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等 则顶点在底面上的射影是底面三 角形的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 A 12 三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两垂直 则顶点在底面上的射影是底面三角形的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 C 13 三棱锥 V ABC 中 VA BC VB Ac VC Ab 侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为 都是锐角 则 cos cos cos A 1 B 2 C 1 2 D 1 3 A 14 四面体的四个面中 下列说法错误的是 A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形 C 15 正 n 棱锥侧棱与底面所成角为 侧面与底面所成角为 则 tan tan A sin n B cos n C sin2 n D cos2 n B 16 一个简单多面体的各个面都是三角形 且有 6 个顶点 则这个多面体的面数为 A 4 B 6 C 8 D 10 C 17 正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为 A arccos1 3 B arccos1 3 C 2 arccos 1 3 D arccos1 3 B 18 正方体的全面积为 a2 它的顶点都在一个球面上 这个球的表面积为 A a 2 3 B a 2 2 C 2 a2 D 3 a2 B 19 一个长方体的长 宽 高分别为 3 4 5 且它的顶点都在一个球面上 这个球的表面 积为 A 20 2 B 25 2 C 50 D 200 C 20 在球面上有四个点 P A B C 如果 PA PB PC 两两互相垂直 且 PA PB PC a 那么这个球面的面积是 A 2 a2 B 3 a2 C 4 a2 D 6 a2 B 21 北纬 30 的圆把北半球面积分为两部分 这两部分面积的比为 A 1 1 B 2 1 C 3 1 D 2 1 A 22 地球半径为 R 在北纬 30 的圆上有两点 A B A 点的经度为东经 120 B 点的经度 为西经 60 则 A B 两点的球面距离为 A 1 3 R B 3 2 R C 1 2 R D 2 3 R D 23 球面上有三个点 其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的1 6 经过这三个点的小 圆周长为 4 那么这个球的半径为 A 4 3 B 2 3 C 2 D 3 B 24 球面上有三个点 A B C 其中 AB 18 BC 24 AC 30 且球心到平面 ABC 的距离 为球半径的一半 那么这个球的半径为 A 10 3 B 10 C 20 D 30 A 25 在北纬 60 圈上有甲 乙两地 它们在纬度线上的弧长等于 2R R 为地球半径 则这两 地的球面距离为 A 2 R B 1 3 R C 2 2 R D 3 2 R B 填空题 设 m n 是不重合的两条直线 是不重合的平面 给出下列命题 请判断其是否正 确 如错误 请举出反例 若 n 则 n 若 mnnm 则 若 mn 则nm 若 n 则 nn 若 则 若 内有不共线的三点到 的距离相等 则 若 baba 则 若 a b 是异面直线 baba 则 三 解答题 26 如图 已知正三棱柱 ABC A B C 的侧棱长为 2 底面边长为 1 M 是 BC 的中点 1 求异面直线 AB 与 BC 的夹角 2 在直线 CC 上求一点 N 使得 MN AB 3 若 AB 的中点为 P BC 的中点 Q 求证 PQ 面 ABC 1 解法一 因为AB AB BB BC BB B C 又因为 ABC A B C 是正三棱柱 AB BB BB B C 2 3 由题意 AB B C 1 BB 2 从而得 AB BC AB BB BB B C AB BB BB 2 AB B C BB B C BB 2 AB B C 4 AB B C cos 7 2 cos AB BC AB BC 7 2 5 7 10 arccos 7 10 即异面直线 AB 与 BC 的夹角为 arccos 7 10 解法二 以 A 点为坐标原点 AA 为 z 轴 AC 为 y 轴 建立空间直角坐标系 由题意 A 0 0 0 B 3 2 1 2 0 B 3 2 1 2 2 C 0 1 2 AB 3 2 1 2 2 BC 0 1 2 3 2 1 2 0 3 2 1 2 2 cos AB BC AB BC 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 22 3 2 2 1 2 2 22 7 10 arccos 7 10 即异面直线 AB 与 BC 的夹角为 arccos 7 10 2 解法一 设CN xBB 由题意可得 MC 1 2BB AB AB BB MN MC CN 2 3 AB MN AB MN 0 也就是 AB BB MC CN 0 AB MC BB MC AB CN BB CN 0 AB MC cos x BB 2 0 1 4 4x 0 x 1 16 即当 CN 1 8时 AB MN 解法二 同解法一建立空间直角坐标系 有 A 0 0 0 B 3 2 1 2 0 M 3 4 3 4 0 N 0 1 z AB 3 2 1 2 2 MN 3 4 1 4 z AB MN AB MN 0 3 2 1 2 2 3 4 1 4 z 0 3 8 1 8 2z 0 解得 z 1 8 N 0 1 1 8 即 CN 1 8时 AB MN 3 非向量法略 另向量法 方法一 基向量 待定系数法 1 4 1 4 3 P 1 4 3 4 3 Q 则 0 2 1 0 PQ 又因为 0 2 1 2 3 AB 0 1 0 AC 设ACyABxPQ 得 yx yx yx 000 2 1 2 1 0 2 3 0 得 x 0 y 1 2 所以ABACPQ0 2 1 所以 PQ 与面 ABC 共面 又因为ABCPQ 所以 PQ 面 ABC 已知 1 1 x x x xf 来源课本第二册 P17 EX9 P23 EX4 P31 EX3 1 xf求的单调区间 2 求证 0yfxfyxfyx 有 3 若 5 4 1 0 22 cfaf bba cba 1 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 得 1 1 1 x xf 1 1 上分别单调递增和在区间 xf 2 首先证明任意 0yfxfyxfyx 有事实 上 1111 yxxyf yxxy yxxy yxxy yxxyxy y y x x yfxf 而 1 yxfyxxyfyxyxxy 知由 yxfyfxf 0 4 2 1 1 2 2 a bba bba c 4 4 2 22 a aca 5 4 4 22 fcafcfaf 函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 针对本例的求解 你能够想到证明任意 0yfxfyxfyx 有采用逆向分析法 给出你的想法 对于函数 xf 若存在 000 xxfRx 使成立 则称 0 xfx 为的不动点 如果函 数 2 Ncb cbx ax xf 有且只有两个不动点 0 2 且 2 1 2 f 1 求函数 xf的解析式 2 已知各项不为零的数列1 1 4 n nn a fSa满足 求数列通项 n a 3 如果数列 n a满足 4 11nn afaa 求证 当2 n时 恒有3 n a成立 依题意有x cbx ax 2 化简为 0 1 2 acxxb由违达定理 得 1 02 1 02 b a b c 解 得 2 1 0 c b a 代 入 表 达 式 cx c x xf 2 1 2 由 2 1 1 2 2 c f得 xxfbcNbNcc 1 0 3则若又不止有两个不 动点 1 1 2 2 2 2 x x x xfbc故 2 由题设得 2 1 1 1 2 1 4 2 2 nnn n n n aaS a a S 得 且 2 111 2 1 1 nnnn aaSnna得代以 由 与 两式相减得 0 1 2 11 2 1 2 1 nnnnnnnnn aaaaaaaaa即 2 1 1 2 11111 aaanaaaa nnnn 得代入以或 解得0 1 a 舍去 或1 1 a 由1 1 a 若 1 21 aaa nn 得这与1 n a矛盾 1 1 nn aa 即 n a是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 nan 3 采用反证法 假设 2 3 nan则由 1 知 22 2 1 n n nn a a afa 2 1 4 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 Nnnaa aa a a a nn nn n n n 即 有 21 aaa nn 而当 3 3 3 8 28 16 22 2 1 2 1 2 n a a a an时这与假设 矛盾 故假设不成立 3 n a 关于本例的第 3 题 我们还可给出直接证法 事实上 由 2 1 2 1 2 11 2 1 22 2 1 2 11 nnn n nnn aaa a aafa得得 1 n a 0 或 2 1 n a 30 0 11 nn aa则若结论成立 若 1 n a2 此时 2 n从而 0 1 2 2 1 n nn nn a aa aa即数列 n a 在2 n时单调 递减 由 3 2 2 2 a 可知2 3 3 2 2 2 naan在上成立 比较上述两种证法 你能找出其中的异同吗 数学解题后需要进行必要的反思 学会 反思才能长进 1 两点间距离 若 y x B y x A 2211 则 2 12 2 12 yyxxAB 特别地 x AB轴 则 AB y AB轴 则 AB 2 平行线间距离 若0CByAx l 0CByAx l 2211 则 22 21 BA CC d 注意点 x y 对应项系数应相等 3 点到直线的距离 0CByAx l y x P 则 P 到 l 的距离为 22 BA CByAx d 4 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 0 y x F bkxy 消 y 0 2 cbxax 务必注意 0 若 l 与曲线交于 A 2211 yxByx 则 2 12 2 1 xxkAB 5 若 A 2211 yxByx P x y P 在直线 AB 上 且 P 分有 向线段 AB 所成的比为 则 1 1 21 21 yy y xx x 特别地 1 时 P 为 AB 中点且 2 2 21 21 yy y xx x 变形后 yy yy xx xx 2 1 2 1 或 6 若直线 l1的斜率为 k1 直线 l2的斜率为 k2 则 l1到 l2的角为 0 适用范围 k1 k2都存在且 k1k2 1 21 12 1 t a n kk kk 若 l1与 l2的夹角为 则 tan 21 21 1kk kk 2 0 注意 1 l1到 l2的角 指从 l1按逆时针方向旋转到 l2所成的角 范围 0 l1到 l2的夹角 指 l1 l2相交所成的锐角或直角 2 l1 l2时 夹角 到角 2 3 当 l1与 l2中有一条不存在斜率时 画图 求到角或夹角 7 1 倾斜角 0 2 0 夹角ba 3 直线 l 与平面 2 0 的夹角 4 l1与 l2的夹角为 2 0 其中 l1 l2时夹角 0 5 二面角 0 6 l1到 l2的角 0 8 直线的倾斜角 与斜率 k 的关系 a 每一条直线都有倾斜角 但不一定有斜率 b 若直线存在斜率 k 而倾斜角为 则 k tan 9 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 1 若 l1 l2均存在斜率且不重合 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1 2 若0 0 22221111 CyBxAlCyBxAl 若 A1 A2 B1 B2都不为零 l1 l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1 l2 A1A2 B1B2 0 l1与 l2相交 2 1 2 1 B B A A l1与 l2重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 注意 若 A2或 B2中含有字母 应注意讨论字母 0 与 0 的情况 10 直线方程的五种形式 名称 方程 注意点 斜截式 y kx b 应分 斜率不存在 斜率存在 点斜式 xxkyy 1 斜率不存在 xx 2 斜率存在时为 xxkyy 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 截距式 1 b y a x 其中 l 交 x 轴于 0 a 交 y 轴于 0 b 当直线 l 在坐标轴上 截距相等时应 分 1 截距 0 设 y kx 2 截距 0 a 设1 a y a x 即 x y a 一般式 0 CByAx 其中 A B 不同时为零 10 确定圆需三个独立的条件 圆的方程 1 标准方程 222 rbyax 半径圆心 rba 2 一般方程 0 22 FEyDxyx 04 22 FED 2 2 圆心 ED 2 4 22 FED r 11 直线0 CByAx与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 若 22 BA CBbAa d 0 相离rd 0 相切rd 0 相交rd 12 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 条公切线外离4 21 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 无公切线内含 21 0rrd 外离 外切 相交 内切 内含 13 圆锥曲线定义 标准方程及性质 一 椭圆 定义 若 F1 F2是两定点 P 为动点 且 2121 2FFaPFPF a为常数 则 P 点的轨迹是椭圆 定义 若 F1为定点 l 为定直线 动点 P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常 数 e 0 e1 则动点 P 的轨迹是双曲线 二 图形 三 性质 方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 1 2 2 2 2 b x a y 0 0 ba 定义域 axaxx 或 值域为 R 实轴长 a2 虚轴长 2b 焦距 2c 准线方程 c a x 2 焦半径 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF aPFPF2 21 注意 1 图中线段的几何特征 1 AFacBF 2 2 AFcaBF 1 顶点到准线的距离 c a a c a a 22 或 焦点到准线的距离 c a c c a c 22 或 两准线间的距离 c a 2 2 2 若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程 0 2 2 2 2 b y a x x a b y 若渐近线方程为x a b y 0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x 若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线 可设为 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 x 轴上 0 焦点在 y 轴上 3 特别地当 时ba离心率2 e 两渐近线互相垂直 分别为 y x 此时双曲线为等轴双曲线 可设为 22 yx 4 注意 21F PF 中结合定义aPFPF2 21 与余弦定理 21 cosPFF 将有关 线段 1 PF 2 PF 21F F和角结合起来 5 完成当焦点在 y 轴上时 标准方程及相应性质 二 抛物线 一 定义 到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 即 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e e 1 二 图形 三 性质 方程 焦参数 pppxy 0 2 2 焦点 0 2 p 通径pAB2 准线 2 p x 焦半径 2 p xCF 过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 注意 1 几何特征 焦点到顶点的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 通径长 p2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 2 抛 物 线pxy2 2 上 的 动 点 可 设 为P 2 2 y p y 或 或 2 2 2 ptptPP pxyyx2 2 其中 复习要求 以下内容摘自 考纲 4 5yxyyxycossincossin 或 yxyxxxcossin cossin cossin yxyxycossincossin 求 2tan x4coscossin2sin 22 yyxx RR C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径 2 sinsin CBAcbasin sin sin Aabcbacos2 222 ab acb A 2 cos 222 可归纳为表 9 1 表 9 1 三角函数的图象三 主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一 三角函数的知识包括三角函数的定义 图象 性质 三角函数线 同角三角函数的关系式与诱导公式 以及两角和与差的三角函数 二倍角 降次公式等 1 三角函数的图象与性质和性质 2 三角函数作为基本初等函数 它必然具备函数的共性 作为个体 它又具有自身的 个性特点 例如周期性 弦函数的有界性 再如三角函数的单调性 具有分段单调的特征 通 过复习对这些特性必须很好掌握 其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题 根 据 考纲 的要求 只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦 余弦 正切 余切函数及 y Asin x 等形式的三角函数的周期 不必去研究周期函数的和 差 积 商的函数 的周期 看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题 例 1 你应该对复习的要求有个 基本的了解 例 求下列三角函数的周期 根据历年全国高考有关考题 填空 选择题 改编 注意 理解函数周期这个概念 要注意不是所有的周期函数都有最小正周期 如常函数 f x c c为常数 是周期函数 其周期是异于零的实数 但没有最小正周期 3 弦函数的有界性 sinx 1 cosx 1 在解题中有着广泛的应用 忽视这一性质 常会出现 错误 例 3 求下列函数的值域 解法 2 令t sinx 则f t t 2 t 1 sinx 1 t 1 问题转化为求关 于t的二次函数f t 在闭区间 1 1 上的最值 本例题 2 解法 2 通过换元 将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的 最值问题 从而达到解决问题的目的 这就是转换的思想 善于从不同角度去观察问题 沟 通数学各学科之间的内在联系 是实现转换的关键 转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉 由复杂化简单 一句话 由难化易 可见化归是转换的目的 而转换是实现化归段手段 5 去负 脱周 化锐 是对三角函数式进行角变换的基本思路 即利用三角 函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数 去负 利用三角函数的周期性将任 意角的三角函数化为角度在区间 0 o 360o 或 0o 180o 内的三角函数 脱周 利用诱导公式 将上述三角函数化为锐角三角函数 化锐 同角三角函数之间的三种关系 1 倒数关系 2 商数关系 3 平方关系 是进行三角式化简的最基本的公式 必须熟练掌握 其中九组三角诱导公式的规律可简记为 奇变偶不变 符号看象限 此外在应用时 不 论 取 什 么 值 我 们 始 终 视 为 锐 角 否 则 将 导 致 错 误 6 三角函数的图象 单位图以及三角函数线 为我们提供了数形结合的解题方法 在 解题中有着广泛的应用 应引起足够的重视 7 在函数y Asin x k A 0 0 中 A和 确定函数图象的形状 和 k确定图象的位置 作函数y Asin x k的图象 既可用 五点法 也可用图象变换的方法 图 象的基本变换有振幅变换 周期变换 以及相位变换 左 右平移 和上下平移 前两种变 换是伸缩变换 后两种变换是平移变换 对函数y Asin x k A 0 0 0 k 0 其图象的基本变换有 1 振幅变换 纵向伸缩变换 是由A的变化引起的 A 1 伸长 A 1 缩短 2 周期变换 横向伸缩变换 是由 的变化引起的 1 缩短 1 伸长 3 相位变换 横向平移变换 是由 的变化引起的 0 左移 0 右移 于是 本题的答案为 评析 1 1 一般形式 n aaa 21 2 通项公式 nfan 3 前 n 项和 nn aaaS 21 定义 2 等差数列 1 定义 成等差数列 2 1nnn andaa 2 通项公式 BAndnaan 1 1 推广 dmnaa mn 3 前 n 项和公式 BnAnd nn nan aa S n n 2 1 1 2 1 2 4 性质 2 ba AAba 的的等差中项与 qpnm aaaaqpnm 则若 特别地 pnm aaapnm2 2 则若 奇数项daaa2 531 成等差数列 公差为 偶数项daaa2 642 成等差数列 公差为 1 1 2 12 1 121 nan aa Sn n n 奇 项 则若有奇数项 nan aa S n n 1 22 2 偶 所以有 中偶奇 中偶奇 项数 aaSS anaSS n n 1 1 12 n n ann aa Sn 2 2 121 奇 项 则若有偶数项 1 22 2 n n ann aa S偶 所以有 ndaaaaaaSS nn 1223412奇偶 1n aaA 设 nn aaB 21 nn aaC 312 则有CAB 2 3 等比数列 1 定义 成等比数列 0 0 2 1 nn n n aqanq a a 2 通项公式 1 1 n n qaa 3 前 n 项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 4 性质 abGabGGba 2 的等比中项与 qpnm aaaaqpnm 则若 特别地 2 2 pnm aaapnm 则若 n aaaA 21 设 nn aaB 21 nn aaC 312 则CAB 2 4 数列通项 1 等差 等比数列的通项 2 2 1 1 1 nSS na aS nn nn 3 迭加累加 迭乘累乘 2 1 nnfaa nn 若 1 ng a a n n 若 2 12 faa 则 2 1 2 g a a 则 3 23 faa 3 2 3 g a a 1 nfaa nn 1 ng a a n n 3 2 1 nfffaan 2 1 ngg a an 注 呢 若 1 1 ng a a nfaa n n nn 5 数列的求和 1 等差与等比数列 2 裂项相消法 11 1 1 CAnBAnBCCAnBAn an 3 错位相减法 nnn cba 成等比数列成等差数列 nn cb nnnnn cbcbcbcbS 112211 1121 nnnnn cbcbcbqS则 所以有 13211 1 nnnn cbdccccbSq 4 通项分解法 nnn cba 6 1 成等比数列成等差数列 n a n ba BnAnSBAnaa nnn 2 成等差数列 2 成等比数列成等比数列 k nn aa 成等差数列成等比数列 nb a n aa n lo g 0 7 递推数列 1 能根据递推公式写出数列的前 n 项 2 由 nnnn SaaSf 0 求 解题思路 利用 2 1 nSSa nnn 变化 1 已知0 11 nn aSf 2 已知0 1 nnn SSSf 1 实数的大小顺序与运算性质之间的关系 0 baba 0 baba 0 baba 2 不等式的性质 1 abba abba 反对称性 2 cacbba cacbba 传递性 3 cbcaba 故bcacba 移项法则的依据 0 推论 dbcadcba 同向不等式相加 4 bcaccba 0 bcaccba 0 推论 1 bdacdcba 0 0 推论 2 nn baba 0 推论 3 nn baba 0 3 常用的基本不等式和重要的不等式 1 0 0 2 aaRa 当且仅当 取 0a 2 abbaRba2 22 则 3 Rba 则abba2 注 几何平均数算术平均数 ab ba 2 4 2 22 2 2 baba 4 最值定理 设xyyxyx2 0 由 1 如积PyxPxy2 有最小值定值 则积 2 如积 2 2 有最大值 定值 则积 S xySyx 即 积定和最小 和定积最大 注 运用最值定理求最值的三要素 一正二定三相等 5 不等式的证明方法 1 比较法 作商 定号平方和 变形 因式积 商或 作差 步骤 作差321 2 综合法 由因导果 3 分析法 执果索因 一般地常用分析法探索证题途径 然后用综合法 6 解不等式 1 一元一次不等式 0 abax a b xxa 0 a b xxa 0 2 一元二次不等式 0 0 2 acbxax 第一册 P39 判别式 acb4 2 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 的图象 一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根 0 2 cbxax的根 21 xx a b xx 2 21 0 2 cbxax解集 12 xxxxx 或 a b xx 2 R 0 2 cbxax解集 21 xxxx 注 0 2 cbxax 解集为 R 0 2 cbxax 对Rx 恒成立 则 0 0 0a 若二次函数系数含参数且未指明不为零时 需验证0 a 若0 2 cbxax解集为 R 呢 如 关于 x 的不等式04 2 2 2 2 xaxa对Rx 恒成立 则a的取值范围 略解 成立时 042 a 0 02a 又如南通市二模 22 题 3 绝对值不等式 一 零点分段讨论 0 0 aa aa a 二 公式法 xgxfxgxfxgxf 或 xgxfxgxgxf 4 高次不等式 序轴标根法 5 分式不等式 序轴标根法 步骤 形式 分母 移项 通分 不轻易去 0 xQ xP 首项系数符号 0 标准式 若系数含参数时 须判断或讨论系数 0 0 0 化负为正 判断或比较根的大小 7 1 x p xy 基本不等式p x p xx20 的 p x p xx20 的 上为增函数 时 在区间 000p 上减函数 时 在 0 00ppp 上增函数 在 pp 2 含绝对值的不等式性质 bababa 1 平均数 又称期望值 设数据 n xxxx 321 则 1 1 21n xxx n x 2 设axx 1 1 axx 2 2 axx nn 则axx 3 nfffxfxfxf n x iii 212211 1 2 方差 衡量数据波动大小 22 1 2 1 xxxx n S n xxi 较小 12 22 2 2 1 xnxxx n n 数据较小 1 2 2 1 xxxx n n 1 2 2 2 2 2 1 xnxxx n n 数据较大 2 S 标准差 3 抽样方法 1 简单随机抽样 概率 N n P 其中 n 为样本容量 N 为个体总数 2 分层抽样 N n N n 1 1 其中 n 为样本容量 N 为个体总数 n1为分层样本容量 N1为分层个体总数 一 复习内容 1 掌握加法原理及乘法原理 并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题 2 理解排列 组合的意义 掌握排列数 组合数的计算公式和组合数的性质 并能用它们解决 一些简单的问题 3 掌握二项式定理和二项式系数的性质 并能用它们计算和论证一些 简单问题 二 主要内容及典型题例 一 本来的主要内容结构 二 加法原理与乘法原理 这是两个基本原理 它们不仅是推导排列数公式 组合数公式的基础 而且可以直接运 用它们去解决某些问题 两个原理的区别是前者与分类有关 与元素的顺序有关 后者与分 步有关 与元素的顺序无关 例 1 有红 黄 白色旗子各n面 n 3 取其中一面 二面 三面组成纵列信 号 可以有多少不同的信号 2 有 1 元 5 元 10 元的钞票各一张 取其中一张或几张 能组成多少种不同的币值 1 解 因为纵列信号有上 下顺序关系 所以是一个排列问题 信号分一面 二面 三面三种情况 三类 各类之间是互斥的 所以用加法原理 升一面旗 共有 3 种信号 升二面旗 要分两步 连续完成每一步 信号方告完成 而每步又是独立的事件 故用乘 法原理 因同色旗子可重复使用 故共有 3 3 种信号 升三面旗 有 3 3 3 种信号 所 以共有 39 种信号 2 解法 计算币值与顺序无关 所以是一个组合问题 有取一张 二张 三张 四 张四种情况 它们彼此是互斥的 用加法原理 因此 不同币值有 15 种 评析 1 排列 组合的区别在于顺序性 前者 有序 而后者 无序 加法原理 与乘法原理的区别在于联斥性 前者 斥 互斥独立事件 后者 联 相依事件 因 而有 顺序 决 问题 联斥 定 原理 的说法 2 加 乘原理是排列 组合问题的理论依据 在分析问题和指导解题中起着关键作用 运用加法原理的关键在于恰当地分类 分情况 要使所分类别既不遗漏 也不重复 运用 乘法原理的关键在于分步 要正确设计分步的程序 使每步之间既互相联系 又彼此独立 三 排列应用题 例 4 位学生与 2 位教师并坐合影留念 1 教师必须坐在中间 2 教师不能坐在两 端 但要坐在一起 3 教师不能坐在两端 且不能相邻 各有多少种不同的坐法 1 2 2 A 2 2 2 A 4 4 A 3 144 评析 1 在与不在 邻与不邻 是带限制条件的排列应用题的两种重要题型 处理这类问题的基本思路 有 直接 间接 之分 2 对 在与不在 问题 优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法 是解 题的基本策略 而处理 邻与不邻 问题 使用捆绑和插空法是十分有效的 3 关于 元素和问题 的认识 是排列 组合概念中的一个重要问题 解题总是从 元素或位置出发 要注意即使在同一问题中 把什么看作元素 或位置 并不是一成不变的 例 用 0 1 2 3 4 5 六个数字 可以组成多少个没有重复数字的 1 首数是 奇数的五位偶数 2 五位奇数 3 五位偶数 四 排列 组合的混合问题 排列 组合的混合问题 主要指既与组合有关 又与排列有关的应用问题 如分配问题 例 6 六本不同的书 按下列条件 各有多少种不同的分法 1 分为三堆 每堆 2 本 2 分为三堆 一堆 1 本 一堆 2 本 一堆 3 本 3 分给甲 乙 丙三人 每人 2 本 4 分给甲 乙 丙三人 一人得 1 本 一人拿 2 本 一人得 3 本 5 分给甲 乙 丙三人 每人至少得 1 本 评析 本例属分配问题 解这类问题的基本思路是先分组 再分配 即先组合 后排列 同 时注意在分组时 若出现平均分组 即两组元素个数相同 的情况 则要除以组数 即平均 分组的数目 的阶乘 例 1 分别从 4 所学校选拔 6 名报告员 每校至少 1 人 有多少种不同的选法 2 将6名报告员分配到4所学校去做报告 每校至少1人 有多少种不同的分配方法 评析 两小题看以类似 但第 1 小题的选取元素为学校 第 2 小题的选取元素为报告 员 解题时要注意区分分组时 组合的对象 即元素是什么 六 二项式定理 内容 1 n ba 的展开式 项数 ba 的指数 2 展开式中的通项公式 3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法 4 二项式系数最要的项 是第几项 由 n 的奇偶性讨论 5 注意展开式的逆用 6 用二项式定理求近似值 证明整除问题 例 已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列 求展开式里所有的x的有理项 求展开式中二项式系数最大的项 评析 1 把握住二项展开式的通项公式 是掌握二项式定理的关键 除通项公式外 还应熟练掌握二项式的指数 项数 展开式的系数间的关系 性质 2 应用通项公式求二项展开的特定项 如求某一项 含x某次幂的项 常数项 有理 项 系数最大的项等 一般是应用通项公式根据题意列方程 在求得n或r后 再求所需的 项 要注意n和r的数值范围及大小关系 3 注意区分展开式 第r 1 项的二项式系数 与 第r 1 项的系数 例 96 全国 某地现有耕地 1000 公顷 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22 人均粮食占有量比现在提高 10 如果人口年增长率为 1 那么耕地平均每年至多只能减少 多少公顷 精确到 1 公顷 解 设耕地平均每年至少只能减少x公顷 又设该地区现有人口为P人 粮食单产为 M 顷 答 按规划该地区耕地每年至多只能减少 4 公顷 评析 二项式定理的应用十分广泛 主要有以下四个方面 求展开式的特定项 近似计算 证明整除性和不等式 证明组合数等式或求和 本例的最后运用了二项展开式进行近似计算 某校有教职员工 150 人 为了丰富教工的课余生活 每天定时开放健身房和娱乐室 据调查统计 每次去健身房的人有 10 下次去娱乐室 而在娱乐室的人有 20 下次去健身 房 请问 随着时间的推移 去健身房的人数能否趋于稳定 引入字母 转化为递归数列模型 设第 n 次去健身房的人数为 an 去娱乐室的人数为 bn 则150 nn ba 30 10 7 30 10 7 150 10 2 10 9 10 2 10 9 111111 nnnnnnnn aaaaabaa即 100 10 7 100 1 nn aa 于是 1 1 10 7 100 100 n n aa 即 100 10 7 100 1 1 aa n n 100lim n n a 故随着时间的推移 去健身房的人数稳定在 100 人左右 上述解法中提炼的模型 30 10 7 1 nn aa 使我们联想到了课本典型习题 代数下册 P 132 第 34 题 已知数列 n a的项满足 dcaa ba nn 1 1 其中1 0 cc 证明这个数列的通项公式是 1 1 c dcbdbc a nn n 有趣的是 用此模型可以解决许多实际应用题 特别 2002 年全国高考解答题中的应用 题 下文例 9 就属此类模型 2 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米 小时 4 V 20 从 A 港出发前往 50 千米 处的 B 港 然后乘汽车以匀速 W 千米 小时 30 W 100 自 B 港向 300 千米处的 C 市驶 去 在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市 设汽车 摩托艇所需的时间分别是 x 小时 y 小时 若所需经费 8 2 5 3100yxp 元 那么 V W 分别为多少时 所需经费最少 并求出这时所花的经费 题中已知了字母 只需要建立不等式和函数模型进行求解 由于103 5 125 2 1004 50 xyV V y同理及 又149 yx 23 23 131 8 2 5 3100yxzyxyxP 令则 z 最大时 P 最小 作出可行域 可知过点 10 4 时 z 有最大值 38 P 有最小值 93 这时 V 12 5 W 30 视yxz23 这是整体思维的具体体现 当中的是数学解题的常用方法 3 某铁路指挥部接到预报 24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨 为确保万无一 失 指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程 经测 算 其工程量除现有施工人员连续奋战外 还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时