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关于跨期经济决策72法则的拓展研究复利终值系数的近似计算孙得将（仰恩大学 财政金融学院，福建 泉州 362014）摘要： 现实经济生活中充满了跨期经济决策问题，这就要计算货币的时间价值。货币时间价值甚至包含风险溢价的总体价值计算是一个结构完整的体系，其中复利终值系数的计算在此体系中居于核心地位。对于复利终值系数的计算尤其是近似计算，72法则应用广泛，尽管使用时精度较低且难以控制，但是根据其思路和运算习惯可以开发出更为精确的近似计算方法。对于积累期限为10年或10年的整数倍，复合利率在14%-34%情况下货币时间价值的计算，有更为简便特殊的方法。关键词： 72法则；复利终值系数；近似计算；货币时间价值一、引 言当代市场经济条件下有很多经济决策和金融决策都涉及到资源的跨期配置问题，这就必然要考虑到货币的时间价值，因此要用到对复利现值和终值的估算，事实上由于复利现值系数和复利终值系数互为逆运算，所以复利终值系数的估算在此类计算中更居于基础性地位。尽管资源的跨期配置决策也要考虑到未来不确定性环境下的风险补偿问题，但是风险补偿一般都可以采用资本资产定价模型来对必要报酬率进行调整，然后用调整后的必要报酬率作为复合利率来计算现金流的现值或终值。当然，复利终值系数也可直接应用于对复合增长问题的计算。对于公式（1r）t，式中，为终值系数，r为复合利率，t为积累期限。大多数金融学专业教材没有做进一步处理，只有少数国内外著作在附录中给出了复利终值系数表，【1】【2】只有极个别国外教材介绍了怎样使用财务计算器来计算各类现值或终值问题。【3】考虑到在现实经济中有不少经济金融问题的决策是基于“模糊的正确”而做出的，因为未来是难以完全清晰准确地预测的，况且大多数情况下人们思考此类问题时手头没有现成的复利现值和终值系数表，甚至也没有或者是懒得用财务计算器或其它能计算指数函数值的计算工具，当然，人们也没有必要把复利终值系数表完整地背下来，那么能否提供一个简洁的处理系统从而使得人们直接用心算或者简单动一下纸和笔就能够比较正确地估算出的数值从而估算出一笔现金流的终值数呢？事实上，人们可能都接触过72法则。【4】但是72法则在利率大于8%时精度不高，何况翻倍也不符合我们平常计数和运算的习惯，更何况现实生活中恰巧翻倍的场合少而又少，且如果用翻倍法则去估计其它终值问题，毕竟显得太粗糙了，尤其是所要估计的数值较大时。其实，利用72法则的计算思路和习惯，应用泰勒级数展开式就可以推导出对终值系数近似计算的方法。关键问题在于如何推导出此种近似计算方法，如何熟练地把这种方法应用于各种涉及到跨期决策问题的计算。人们习惯上多以10年或10年的整倍数为单位来衡量中长期，对于积累期限为10的金融计算，如果有简洁的估算方法将为决策带来极大便利，其实更为便捷的近似计算方法是有的。二、复利终值系数近似计算的数学推导及习惯处理运用72法则时，第一步是用积累期限乘以去掉百分号后的复合利率， 即利率的100倍，以下把它定义为利率特征值，把利率特征值与积累期限的乘积定义为总积累换算数。第二步是用所得出的乘积与72进行比较，每含有一个72意味着要翻一番，第三部是把在第二步所得的数值相乘即可得出最终结果。复利终值系数的近似计算与72法则类似，也分三个步骤，现在分别介绍如下。 不妨暂时称这种近似计算方法为“拓展的72法则”。（一） 计算净积累换算数此步主要根据复合利率和积累期限，运用简单的四则运算计算出复利终值系数近似计算时所对应的净积累换算数（A）。设终值系数为，复合利率为r，那么，当0r1时，则有： （1）对数函数(1r)的泰勒级数展开式为： （2）把（2）代入（1）得： （3）设为的近似估计， （4）定义利率特征数：k100r；定义总积累换算数：Btkt(100r)，这是适合连续复利计算的积累换算数；定义净积累换算数：A，这是与实际非连续的复利计算所对应的积累换算数，那么则有： （5）定义调整系数：，那么则有：ABc，即：净积累换算数总积累换算数调整系数 （6）0r1，c1，AB。可以证明，近似计算的精度取决于净积累换算数的计算精度，而后者则直接取决于调整系数c的计算精度。一般情况下，如果计算精度要求不是太高时，（5）式完全能够满足实际计算的需要。如果对估算精度要求较高，那么结合（3）、（4）式，可以按要求把调整系数c修改为： (7)在进行实际计算时，根据决策所需的计算精度，可以结合（7）式来计算调整系数，且式中的通项rn /（n1）可以作为精度控制指标，可以证明计算相对误差小于所选取rn /（n1）的值。 证明：如果令，记之后所有余项的和为：，那么则有：所以，调整系数c估算时的相对误差小于rn /（n1）。（二）查找净积累换算数中所包含的对应整数倍数值类似于72法则中2与72之间的对应关系，在终值系数的近似计算中我们将给出10倍以内与整数倍相对应的比较精确的换算数的值。实质上，如果设整倍数为M，则其对应的换算数的值为100M，例如与3对应的积累换算数的值是100M109.86，当然，如果所要求的精度较高，则对应于每一数值的换算数所保留的小数位数也就较多。以下给出了与常用的倍数相对应的换算数一览表。表1 常见的终值系数倍数及与其所对应换算数值终值倍数M 换算数100M换算数整数值换算数级差换算数级差解释数解释误差（-）简记符号10230.26230NANANA10230.269219.7222010.5410.53100/9.5-0.09%9219.728207.8420811.8811.76100/8.5-1.01%8207.847194.5919513.2513.33100/7.50.60%7194.596179.1817915.4115.38100/6.5-0.19%6179.185160.9416118.2418.18100/5.5-0.33%5160.944138.6313922.3122.22100/4.5-0.40%4138.633109.8611028.7728.57100/3.5-0.70%3109.86269.316940.5540.00100/2.5-1.36%269.311.540.554128.7629.4150/1.752.26%1.540.55注：因为1.5在实际计算中运用得很广，所以在此作为整数处理。表1只需记住269.31，3109.86，5160.94和7194.59即可，表中其它数值都可以根据指数函数运算性质由这四个质数分解组合而成。第四、五栏从另外一个角度说明了各相邻终值倍数的换算值之间的关系，第六栏主要证实了进行近似计算时运用线性内插法具有非常高的精度。（三）汇总上述整数倍数并妥善处理余数得出最终数值将上述第二步所找出的净积累换算数中所包含的整数倍数相乘，把净积累换算系数扣除各个对应的整数倍数的换算数之后的余数进行如下处理。设净积累换算数的余数为R，由于表1对1.540.55作为特殊的整数看待，所以R40.55。进一步，如果有R10，那么则只需把它看作是一个单期利率特征数，其所对应的终值系数为R添上百分号后再加上1，即(1R%)。如果有10R40.55，那么，用首先要R除100并对商数做取整运算，并定义D100/R，U100/R1D1，由定义可知D100/RU，并设整数D与U所对应的换算数分别为X、Y，记U/DYX，这样就从余数R中分离出了分数形式的复利终值系数U/D，此时有产生了新的余数R(YX)，且一般有-10R(YX)10，此时只需按照余数小于或等于10时的处理方法，把新的余数看作单期利率的特征值进行处理即可。以下用一个例子来说明上述三个计算步骤并对其估算的精度进行验证。例1：求r12%，t46时的终值系数。解：要计算（1+12%）46第一步：计算净积累换算数。k100r12，Btk4612552，c11/2r1/3r211/20.121/30.1220.9448。ABc5520.9448521.5296521.53第二步：查找净积累换算数所包含的对应整数倍数值。521.532230.2661.01 1022230.2661.0140.5520.46 1.540.55净积累换算数的余数为：R20.46第三步：汇总所得的整数倍数并妥善处理余数得出最终数值。首先处理R20.46。100/R100/20.464.89，D4.894，UD15，且4138.63，5160.94，5/4(150.94138.63)22.31，新的余数为：（20.4622.31）-1.85；-10-1.8510，把新的余数-1.85看作利率特征数并进行单期化处理得：1（-1.85%）10.01850.9815。把以上所分离出的所有终值系数相乘得：1021.55/40.9815184.03。事实上，如果利用指数计算器计算（1+12%）46可得183.67，计算误差为：（184.03183.67）/183.67100%0.20%，46年计算误差为0.20%，精度相当高。注意，如果计算精度要求不是很高时，可以利用表1中第三栏的整数积累换算数值进行计算，并且把任何余数R41作为利率特征数做单期化终值运算，这样将会更为简单快捷。另外，很容易把上述近似计算原理推广到只要知道式子（1r）t中的任意两个变量而求另外一个变量的计算中去， 其中，已知、r求t比较简单。已知和t求r时，可用两步法：仍设k100r，W，则有tkcW，kW/tc,设，。 也很容易推广到其它有关货币时间价值计算的场合中去。三、适用于积累期间为10年的近似估算因为现实经济生活中人们习惯用10来计算中长期时间，所以提供一套专门适用于积累期限为10年或10年的整倍数的终值、现值和复合利率的近似计算方法就具有特别意义，尽管目前还不能给出数学证明， 笔者试图进行过证明，但是都不够严密，恳请对此有兴趣的同仁能够协助给出证明。但是表2给出了实证结论。尤其是计算中要用到的数字5.2，暂时只能称之为“神奇数字5.2”，暂时称以下的运算系统为“5.2法则”，但是在积累期间为10年的实际金融计算中此种方法显得格外快捷、便利和准确，如下表2所示，该运算系统特别适合复合收益率在14%至34%之间的计算，计算误差能够控制在1%以内，加之14%-34%的年复合收益率恰巧很符合实际投资决策中人们所追求且可能达到的长期复合收益率的范围，所以这一运算系统将为长期价值投资问题的计算和决策提供极大的便利。仍然设利率特征值k为100r，为终值系数，p为现值系数，速算系数为q，那么有：1.已知利率特征值k，求10年后的终值系数。规则：q0.1k5.2，q5.20.1k，k/q例如：k17时，q5.20.1173.5，k/q17/3.54.86；k25时，q5.20.1252.7，k/q25/2.79.3。对于10k45时的所有终值系数的估算值、实际值和误差参见下表2。表2 积累期限为10年的复利终值系数的实际值与估计值k101112131415161718192021实际值【2】2.592.843.113.403.714.054.414.815.235.706.196.73估计值 数字根据公式kqk（5.20.1k）计算得出，结果四舍五入保留两位小数。2.382.683.003.333.684.054.444.865.295.766.256.77误差% 数字根据公式：（估计值实际值）实际值100%计算得出，结果四舍五入只保留1%。参考文献：1李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p694-7072Arthur J. Keown, John D. Martin, J. William Petty, David F. Scott, Jr. Foundations of Finance: The Logic and Practice of Financial Management. Prentice Hall 2004.p535-5363兹维博迪，罗伯特C莫顿.金融学M.北京：中国人民大学出版社，2000.p1064李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p25Elaboration on the Rule of 72 for the Inter-temporal Economic Decision-makingthe Approximate Estimation of the Coefficient of Future Value Based on Compound Interest RateSUN De-jiangAbstract: In the real world there are a lot of inter-temporal decision-makings which are based on the calculation of the time value of money (TVM). The calculation of TVM even the total value including risk premium is an integrated system under which the computation of the coefficient of the future value is the focus. The rule of 72 is widely used to estimate the coefficient of the future value though it is not very precise. More perfect techniques for approximate estimation can be developed according to the convention and thought of the rule of 72. There is one more convenient and simpler approximate estimation approach for TVM given the accumulation period is decade or multiple decades and the compound interest rate is among 14% and 34%. Keywords: Rule of 72, Coefficient of the Future Value, Approximate Estimation, the Time Value of Money 孙得将2009年元月14日-8-6-4-2-10111111k222324252627282930313233实际值7.317.938.599.3110.0910.9211.8112.7613.7914.8816.0617.32估计值7.337.938.579.2610.0010.8011.6712.6113.6414.7616.0017.37误差%000-1-1-1-1-1-1-100k343536373839404142434445实际值18.6720.1121.6523.2925.0526.9228.9331.0633.3335.7638.3341.08估计值18.8920.5922.5024.6727.1430.0033.3337.2742.0047.7855.0064.29误差%12468111520263443562.已知10年后的终值系数，求利率特征值k规则：k/qk/(5.20.1k)，k5.2/(10.1)5.2/(1/0.1)5.2/(p0.1)例：8时，k5.2/(1/0.1)5.2/(1/