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第二节 对坐标的曲线积分一、 概念与性质基本问题：怎样计算变力对沿某曲线运动的质点所作的功？定义：设为一条从点到点的平面有向光滑曲线，函数在上有界。1）分割：在上沿的方向任意插入个点把分成个有向小弧段（）。2）作乘积：设，点为上任意一点。作乘积3）求和：，4）取极限：设各小弧段的最大长度为，如果当时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线上的第二型曲线积分，记为，即变力所作的功为。注1：对坐标的曲线积分可推广到空间中去。注2：设A ,dr ，则注3：第二类曲线积分，与积分路径的方向选取有关，若用表示与积分曲线选取的方向相反的曲线，则有二、第二型曲线积分的计算方法若有向曲线的参数方程为，且起点对应的参数为，终点对应的参数为，则利用拉格朗日中值定理在之间存在一点使得，因此因为对任意的此极限都是唯一的，所以无妨把都换成，即类似讨论得注4：起点对应的参数值为下限，终点对应的参数值为上限。例1：求，其中是从点到再到的折线。解：线段的参数方程为：，从0变到1；线段的参数方程为：，从0变到1。例2：为椭圆且从轴正方向看去，顺时针。解：曲线的参数方程为：，从变到0。点评：在计算第二类曲线积分题时，积分路径不能用同一个参数方程表示时，则可把积分路径分解成若干段来处理，如例1。第二型曲线积分转化成定积分时，下限为起点对应的参数值，上限为终点对应的参数值，所以上限有时可能比下限小，如例2。例3：计算1） 为从经点到的有向折线；2） 沿园从顺时针转到点。解：1）线段的参数方程为：，从0变到1。线段的参数方程为：，从0变到1。2）曲线的参数方程为：，从变到，例4：计算1)为从点到点的线段；2）为从点经点到点的折线；3）沿抛物线从到点。解：1）线段的参数方程为：，从0变到1，2）线段的参数方程为：，从0变到2，线段的参数方程为：，从0变到2，3）曲线的参数方程为：，从到，点评：第二类曲线积分，不但与起点和终点有关，而且还与积分路径有关；如例4。但我们从例3中也看到起点和终点一致，积分路径不同但计算结果相同。这样就很自然地引出一个问题：在什么条件下第二类曲线积分与路径无关，此问题由英国数学家格林于1825年解决，即所谓的格林公式。例5：已知变力，问将质点从原点沿直线移动到曲面的第一卦限部分上哪一点做功最大？并求出最大功。(2001年期末考题)解：设是椭球面上在第一卦限内的点，则质点从原点移到点力所作的功为线段的参数方程为：，从0变到1，因为点在椭球面上，所以，解条件极值，即解方程组得，所以取点时做功最大，最大功为。三、两类曲线积分的联系若有向曲线的参数
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