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第八章多目标决策技术 预测与决策技术 主讲教师 李时 前面几章 我们讨论的是单目标决策问题 然而现实世界中的决策问题 决策者考虑的目标往往不只一个 如企业的投资项目决策 既要考虑生产生命周期 市场需求 创汇能力 净收益 产品成本等经济指标 又要考虑保护生态环境 促进就业等社会指标 象这种在决策时要考虑多项目标的决策问题就是多目标决策问题 多目标决策问题有两个明显的基本特点 1 目标之间的不可公度性 即各个目标之间没有一个统一的度量标准 因而难以直接进行比较 例如投资项目决策问题中 项目净收益用万元计 而投资回收期却以年 或月 计 2 目标之间的矛盾性 即某一目标的改善往往会使其他目标变坏 例如项目投资增加 会使利润增加 但可能会使投资回收期变长 以及环境污染加重 由于上述特点就使得多目标决策比单目标决策要困难和复杂得多 要寻找使各个目标都达到最优的所谓绝对最优方案 或称绝对最优解 往往是不现实的 通常的作用法就是在各个目标之间 在各种限制条件下寻找一种合理的妥协 即在非绝对最优方案 通常称为非劣方案 非劣解 或称有效方案 有效解 中选择一个比较满意的方案 按照不同的评价准则 从不同的角度去选择非劣方案便构成了不同的多目标决策方法 多目标决策方法很多 我们只介绍其中比较成熟的两种方法 1层次分析法 层次分析法简称AHP法 AnalyticHierarchyProcess 它是美国著名运筹学家萨蒂 Saatty 教授在20世纪70年代提出的一种定性与定量相结合的多目标决策方法 现已被广泛应用 一 层次分析法的基本原理在多目标决策问题中 针对某些目标 方案的评价结果往往难以定量化 精确化 这就需要把目标进一步分解 利用可精确化 定量化的子目标系统来反映对方案的评价 层次分析法的基本思想是 把决策问题按总目标 子目标 评价准则直至具体方案的顺序分解为若干层次 相邻层次元素之间存在着特定的逻辑关系 分成有序的层次结构以后 对每一个上层元素 把与之有逻辑关系的下层元素两两对比 给出以定量数字表示的 判断矩阵 通过判断矩阵的最大特征根及其特征向量 求出每一层次的各元素对上一层次各元素的权重系数 最后利用加权和的方法 由低到高 一层层递阶归并 求出各方案对总目标的权数 其中权数最大者对应的方案即为优先方案 二 层次分析法的基本步骤 第一步 建立层次结构模型 最高层 表示决策问题所要达到的总目标 常称为目标层或总目标层 中间层 可以包括不止一个层次 是为实现总目标而细分的子目标 也可以是为实现总目标或子目标而需要考虑的约束或准则 相应的层次常称为子目标层 准则层等 最低层 一般是解决问题的方案 政策或措施等 因此 常称为方案层或措施层 第二步 构造判断矩阵 判断矩阵是定性判断过度到定量计算的基础 它是针对上一层次某元素而言 本层次有关元素两两重要性的比较结果 为了说明判断矩阵的构造原理 我们先从物体的重量对比谈起 设有n件物体A1 A2 An 其重量分别为 1 2 n 若将它们两两比较重量 其比值可构成n n矩阵A 矩阵A具有如下性质 若用重量向量W 1 2 n T右乘A 可得AW nW这说明n为矩阵A的特征根 向量W是对应于特征根n的特征向量 如果记aij i j 显然矩阵A的元素aij具有如下三条性质 aii 1 aij 1 aji aij aik akj i j 1 2 n 由矩阵理论易知 满足上述三条性质的矩阵A的最大特征根 max n 其余特征根为0 我们在层次分析法中所用的比较元素之间重要性的判断矩阵 就是用类似于上述比较物体间重量的方法构造的 设B层元素Bk与下一层元素A1 A2 An有关系 对于Bk而言 Ai与Aj比较后 其相对重要性记为aij 则有判断矩阵 A aij n n 也可表示为如下表格形式 一般来讲 元素的重要性很难象物体重量那样准确衡量 因此 aij很难精确给出 一般按下表所给出的标准来确定 如 第三步 求判断矩阵的最大特征根和相应的特征向量 如果判断矩阵满足前述三条性质 则称该判断矩阵具有完全一致性 此时 便可知其最大特征根 max n所对应的特征向量为各元素重要性的权数 但是由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性以及主观上的片面性和不稳定性 用两两对比的方法构造出的判断矩阵 既使有前表为参照标准也常常不满足第三条性质 aij aik akj 因而不是完全一致性判断矩阵 若离完全一致性不远 则判断矩阵基本可用 这时最大特征根 max n 就要设法求出判断矩阵的最大特征根及其相应的特征向量 当矩阵A的阶数较大时 用一般的代数方法计算相当麻烦 下面我们介绍一种简单的近似算法 方根法 其步骤为 计算判断矩阵A中每行所有元素的几何平均值 对向量M m1 m2 mn T作归一化处理 即令 所得向量W 1 2 n T即为判断矩阵A的最大特征根对应的 归一化 特征向量的近似值 计算判断矩阵A的最大特征根 其中 AW i为向量AW的第i个元素 事实上 由AW maxW 有 AW i max i i 1 2 n 12 5 6 式实际是这n个等式求得的 max的平均值 如果记W 1 1 1 1 2 1 n T 12 5 6 式也可表为矩阵乘积形式 第四步 判断矩阵的一致性检验 前面已述及 当判断矩阵具有完全一致性时 其最大特征根 max n 但人们对复杂事物两两重要性的比较 很难做到判断的一致性 因此 所给出的判断矩阵往往不具有完全的一致性 此时 max n 这就有必要检验判断矩阵与完全一致性相差多远 所用的检验指标是 CI称为一致性指标 当 max n时 CI 0 为完全一致 CI值越大 判断矩阵的完全一致性越差 由于一致偏离可由随机因素引起 所以在检验判断矩阵的一致性时 要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较 得出检验数CR 即CR CI RI 只要CR 0 1 就可以认为判断矩阵具有满意的一致性 否则 需要重新分析赋值 调整判断矩阵 直到检验通过为止 平均随机一致性指标同判断矩阵的阶数有关 一般情况下 矩阵阶数越大 出现一致性随机偏离的可能性也愈大 下表给出了阶数为3 10时的RI值 RI值是计算500个3至9阶随机样本矩阵的一致性指标 然后求其平均得出的 随机一致性指标RI值表 因为二阶矩阵的完全一致性可以保证 所以 只有三阶以上的判断矩阵才需检验 例求下面给出的判断矩阵A的最大特征根及特征向量 并做一致性检验 解 计算A中各行所有元素的几何平均值 归一化 计算最大特征根 一致性检验 CR CI CR 0 0024 0 58 0 004 0 1 故判断矩阵A具有满意的一致性 第五步 层次加权 如果某层的判断矩阵经检验具有满意的一致性 则按前述方法求得的特征向量即可做为该层各元素相应的权数 设第t层有m个元素 第t 1层有n个元素 那么对于第t层的第i个元素 可以求得第t 1层各元素对它的权重行向量 Wi i1 i2 in i 1 2 m 注意 若第t 1层的第j个元素与第t层的第i个元素无联系时 ij 0 于是可以用Wi为行 得到表示第t层和第t 1层各元素之间重要程度的权重矩阵 记为W t 设决策问题可分为 1层 总目标记为第0层 依次记为第1层 第2层 第 层 第t层相对于上一层的权重矩阵为W t 则由W总 W 1 W 2 W 算得的行向量各元素 即最底层各方案对总目标的权数 其中权数最大的方案就是优先方案 三 层次分析法的应用 例6某地兴建一大型工业项目 需考虑的主要目标有 投资回收期 年产值 可提供的就业机会 对当地工业的影响 经过可行性研究后有三个方案可供选择 其基本情况如下表所列 试用层次分析法确定优先方案 解 建立层次结构模型 依题意可建立如下图所示的层次结构图 满意的项目A 投资回收期B1 年产值B2 提供的就业机会B3 对其它工业的影响B4 方案一C1 方案二C2 方案三C3 目标层 准则层 方案层 构造第一层 准则层 的判断矩阵 求其最大特征根 特征向量 并进行一致性检验 对于目标层 把准则层的四项指标两两比较 B1不如B2重要 比B3略重要 比B4稍微重要 B2比B3稍微重要 比B4明显重要 B3比B4稍微重要 从而得该层判断矩阵如下表 计算各行几何均值 归一化 故权数向量W 0 270 0 479 0 172 0 079 T 再求最大特征根 由AW 得 一致性检验 所以第一层的判断矩阵具有满意的一致性 从而第一层四个元素对总目标的权数可记为行向量W 1 0 270 0 479 0 172 0 079 构造第二层 方案层 对第一层各元素的判断矩阵 用同样方法和步骤求最大特征根 特征向量并进行一致性检验 结果如下 w1 0 655 0 250 0 095 max 3 075CI 0 0375CR 0 065 0 1 满意 w2 0 077 0 231 0 692 max 3 001CI 0 0005CR 0 0009 0 1 满意 w3 0 078 0 659 0 263 max 3 033CI 0 0165CR 0 0284 0 1 满意 w4 0 090 0 205 0 705 max 3 019CI 0 0095CR 0 0164 0 1 满意 于是第二层的权重矩阵 从而各方案关于总目标的权重 W总 W 1 W 2 0 234 0 308 0 458 由于方案三的权数最大 所以优先投资方案应为方案三 2模糊决策法 模糊数学自1965年美国加利福尼亚贝克利大学教授扎德 Zadeh 创立以来 发展迅速 应用越来越广泛 目前已应用到自然科学和社会科学的许多领域 利用模糊数学方法进行决策的成功案例不断见诸各种文献 模糊决策方法正成为决策领域中一种很有实用价值的工具 一 模糊基础知识在经典数学里 对概念给出的定义须有明确的内涵和外延 内涵就是概念的内容 外延就是概念所指对象的范围 界限 比如平行四边形的定义是 对边平行且相等 内涵 的四边形 外延 然而 在现实世界中 并不是所有的概念都有明确的内涵和外延 比如年青与年老 胖与瘦 高与矮 冷与热 温柔与粗暴 强与弱 美与丑 好与坏等常用概念 其内容我们人人都清楚 但其外延则是模糊的 很难找到它们的明确分界限 对于这类具有明显中间过渡性质的概念 用经典数学的普通集合是难以刻划的 扎德创立的模糊数学用 隶属度 和 模糊集合 成功地处理了这类问题的描述 使得人们对现实世界的认识又跃上了一个新的台阶 模糊集合与隶属函数 在经典数学里 集合是指具有某种特定属性的事物的全体 它有明确的内涵和外延 对于某一集合A 元素x要么属于A 要么不属于A 二者必居其一 这是普通集合的共同特征 这一特征可用下述函数来描述 CA x 称为集合A的特征函数 对于界限不清晰的模糊现象是很难用上述非此即彼的方法来确定元素对于一个集合的归属的 比如 美人 这一集合 一个人长得很美 自然应该属于 美人 集合 一个人长得很丑 自然不应该属于 美人 集合 但是一个人长得不美也不丑 或者是七分美三分丑 或者是三分美七分丑 又该如何确定他的归属呢 模糊数学的处理办法是将普通集合的特征函数的取值范围由0和1两个点扩展到 0 1 整个区间 并改称为隶属函数 记为 A x 0 A x 1 这样 对于一个七分美三分丑的人 我们就可以记他属于 美人 集合的隶属度 A x 0 7 表示他有七成属于 美人 集合 象这样将元素与其隶属度相对应的集合 就称为模糊集合 因为该集合没有明确的边界 该集合含有无明确归属的元素 即其隶属度不是 非0即1 下面给出模糊集合和隶属函数的定义 定义用X表示所讨论的某类对象的集合 称之为论域 由映射 A X 0 1 x A x 所刻划的集合称为论域X上的一个模糊子集A A x 称为定义在X上的隶属函数 对于给定的x X A x 的取值称为x对于模糊集合A的隶属度 由上述定义可以看出 模糊集合实际是通过隶属函数来定义的 所以常用下述方法表示有限论域X x1 x2 xn 上的模糊集合A 这里的 号称为扎德符号 表示模糊集合的元素相并列 没有相加的含义 分数线 也并非相除 而是表示元素xi与其隶属度 A xi 的对应关系 12 7 1 式也称为扎德记法 有时为了简单起见 也记成A A x1 A x2 A xn 称之为向量记法 A x1 A x2 A xn 也称为模糊向量 隶属函数的确定 利用模糊集合来处理解决实际问题 首先要找出论域上的隶属函数 实践中隶属函数的确定方法很多 没有统一模式 允许有一定程度的主观判断 下面简单介绍四种方法 实际调查法 先请若干名专家或相关实际工作者对所讨论的论域中的元素分别给出隶属函数值 然后取其平均值或中位数做为该元素的隶属度 模糊统计法 对论域X上的任何元素xi 考虑它属于模糊集合A的可能性 例如 讨论人的高矮 先确定模糊集合A是 高个子 然后考虑某人a属于高个子模糊集合A的可能性 为得到量化的数据 可以邀请一些人评判a是否为高个子 由于人们对高个子的边界不一样 有人会认为是 有人会认为不是 只要参加评判的总人数n 或试验次数 充分大 则可得 A a 隶属函数法 即给隶属函数构造适当的数学表达式 其定义域为论域X 值域为 0 1 比如对 年轻 这一模糊集合 可构造隶属函数1 当x 25岁 A x 60 x 35 当25岁 x 60岁0 当x 60岁 对比平均法 对论域X中的元素 先按某种模糊特性两两比较 排定比较程度的分值 然后按一定规则转换为总体排序的分值 该分值即可做为相应元素的隶属度 详见下例 例设论域X 牡丹 x1 菊花 x2 兰花 x3 要确定这些花对 美 这一模糊集合的隶属度 解 用g xi xj 表示xi与xj相比其美的程度 0 g xi xj 1 若经认真品评 给定g x1 x2 0 8 g x2 x1 0 7 g x1 x3 0 9 g x3 x1 0 5 g x2 x3 0 8 g x3 x2 0 4 则两两对比后可得美丽程度矩阵 x1x2x3 在没有偏好的情况下 可赋予相同权数 x1 x2 x3 1 3 于是 牡丹对 美 的隶属度 A x1 x1 g x1 x1 x2 g x1 x2 x3 g x1 x3 1 3 1 1 3 0 8 1 3 0 9 0 90 菊花对 美 的隶属度 A x2 x1 g x2 x1 x2 g x2 x2 x3 g x2 x3 1 3 0 7 1 3 1 1 3 0 8 0 83 兰花对 美 的隶属度 A x3 x1 g x3 x1 x2 g x3 x2 x3 g x3 x3 1 3 0 5 1 3 0 4 1 3 1 0 63 由此可得论域X上的 美 的模糊集合 若评价者对牡丹 菊花 兰花偏好不一 对菊花情有独钟 给出的权数是 x1 0 1 x2 0 8 x3 0 1 那么 牡丹对 美 的隶属度 A x1 0 1 1 0 8 0 8 0 1 0 9 0 83菊花对 美 的隶属度 A x2 0 1 0 7 0 8 1 0 1 0 8 0 95兰花对 美 的隶属度 A x3 0 1 0 5 0 8 0 4 0 1 1 0 47于是论域X上的 美 的模糊集合 模糊矩阵的合成运算 以同维的模糊向量为行组成的矩阵 称为模糊矩阵 在模糊决策中会用到模糊矩阵的合成运算 因此 我们先介绍一下模糊矩阵的合成运算法则 设模糊矩阵A aij m t B bij t n 模糊矩阵A与B的合成运算记为C A B运算结果C仍为模糊矩阵 且C cij m n其中cij ai1 b1j ai2 b2j ait btj i 1 2 m j 1 2 n 式中 为取小运算 如 ai1 b1j min ai1 b1j 为取大运算 即max 将cij的运算式与普通矩阵的乘法比较 可以看出 它的运算法则实际只是把普通矩阵相乘时所做的 和 运算分别改成了 和 运算 例设模糊矩阵 求Q R 解 二 模糊决策法的步骤及应用 模糊决策法分为两大步 第一大步是对每个方案单独做模糊综合评判 第二大步是利用第一大步模糊综合评判的结果 用适当的方法经过比选 确定优先方案 我们先介绍第一大步 单方案模糊综合评判的基本方法和步骤 确定模糊综合评判的因素集U因素集是以影响评判对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合 通常表示为U u1 u2 um 其中对各元素ui i 1 2 m 的评价通常都具有不同程度的模糊性 在多目标模糊决策问题中 U即为目标集合 建立综合评判的评语集V评价集是评判者对评判对象可能作出的各种评价语言所组成的集合 通常表示为V v1 v2 vn 其中元素vi i 1 2 n 代表可能的第i种评语 进行单因素模糊评判 求得单因素模糊评判矩阵R 单独从因素集中的一个因素出发进行评判 以确定评判对象对评语集各元素的隶属程度 称为单因素模糊评判 设评判对象按因素集U中第i个因素ui进行评判 对评语集V中第j个评语vj的隶属度为rij 则按ui评判的结果 可用下面的模糊集合表示 Ri称为单因素评判集 显然它应是评语集V上的一个模糊子集 也可简单表示为模糊评判向量Ri ri1 ri2 rin i 1 2 m 令 称R为单因素模糊评判矩阵 建立综合评判模型 进行综合评判 从前述单因素模糊评判矩阵R可以看出 R的第i行所反映的是第i个因素 评价指标 ui对评判对象的影响取各个评语元素的程度 而R的第j列所反映的是所有各因素 评价指标 影响评判对象取第j个评语元素的程度 因此 可用每列元素之和 Rj j 1 2 n 来反映所有因素的综合影响 但考虑各因素 评价指标 对综合评判的重要程度不同 我们给各因素以不同的权数 i i 1 2 m 其中 i表示第i个因素ui在综合评判中的重要程度 于是建立综合评判模型 B W R其中W 1 2 m 为一模糊向量 设按模糊矩阵的合成运算法则算得B b1 b2 bn B称为模糊综合评判结果集 bj j 1 2 n 表示综合考虑所有因素的影响时 评判对象对评语集中第j个评语元素的隶属度 显然 模糊综合评判结果集B也是评语集V上的一个模糊子集 第二大步 用适当方法确定优先方案 对每一方案均按前述 步骤 求得各自的模糊综合评判结果集B 然后按下述方法之一 挑选优先方案 模糊向量单值化法给各评语元素vi赋值 比如 很好 取为5 好 取为4 一般 取为3 不好 取为1 然后把bj当作权数 计算各评语元素的加权平均值 即 比较各方案的 隶属度对比系数法 假设对某一方案得到如下的B 用结构相对数计算隶属度对比系数 这里是优良度 结构优良度 也可用比例相对数计算隶属度对比系数 比例优良度 这两个优良度在实际应用时可任选其一 比较每个方案的优良度 以其大