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第3讲配对求和 一 知识要点 被人称为 数学王子 的高斯在年仅8岁时 就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1 2 3 4 99 100的结果 小高斯是用什么办法算得这么快呢 原来 他用了一种简便的方法 先配对再求和 数列的第一个数 第一项 叫首项 最后一个数 最后一项 叫末项 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的差是一个不变的数 这样的数列叫做等差数列 这个不变的数则称为这个数列的公差 计算等差数列的和 可以用以下关系式 等差数列的和 首项 末项 项数 2末项 首项 公差 项数 1 项数 末项 首项 公差 1 二 精讲精练 例题1 你有好办法算一算吗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思路导航 很容易看出这是一个等差数列 公差为1 首项是1 末项是10 依据前面的公式 项数 末项 首项 公差 1 10 1 1 1 10等差数列的和 首项 末项 项数 2 1 10 10 2 55答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 练习1 速算 1 1 2 3 4 5 20 2 1 2 3 4 99 100 3 21 22 23 24 100 4 21 23 25 27 29 31 33 5 312 315 318 321 324 例题2 有一堆木材叠堆在一起 一共是10层 第1层有16根 第2层有17根 下面每层比上层多一根 这堆木材共有多少根 思路导航 这也是一个等差数列 公差为1 首项是16 项数是10 依据前面的公式 项数 末项 首项 公差 1末项 项数 1 公差 首项末项 10 1 1 16 25等差数列的和 首项 末项 项数 2 16 25 10 2 205答 这堆木材共有205根 练习2 1 体育馆的东区共有30排座位 呈梯形 第1排有10个座位 第2排有11个座位 这个体育馆东区共有多少个座位 2 有一串数 第1个数是10 以后每个数比前一个数大4 最后一个数是90 这串数连加的和是多少 3 有一个钟 一点钟敲1下 两点钟敲2下 十二点钟敲12下 分钟指向6敲1下 这个钟一昼夜敲多少下 例题3 计算1000 11 89 12 88 13 87 14 86 15 85 16 84 17 83 18 82 19 81 思路导航 这题相对较复杂些 仔细观察 上列可以变成如下 1000 11 12 13 14 15 16 17 18 19 81 82 83 84 85 86 87 88 括号里有两个等差数列 一个数列的首项是11 末项是19 另一数列的首项是81 末项是88 公差均为1 项数分别为9 8 依据前面的公式 等差数列的和 首项 末项 项数 2两列数的和分别为 11 19 9 2 135 81 88 8 2 676则1000 135 676 189 练习3 1 1000 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 2 1000 81 11 82 12 83 13 84 14 85 15 86 1
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