2018-2019学年山东省潍坊市高二上学期期末考试数学试题 解析版.doc

.绝密启用前山东省潍坊市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题评卷人得分一、单选题1已知a，b，则下列说法正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质可推得D正确，利用特殊值举例可说明A,B,C错误.【详解】解：得不出，比如，时；B.时，得不出；C.得不出，比如，；D.是增函数，得出故选D【点睛】判断关于不等式的命题真假的常用方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断2双曲线方程为，则渐近线方程为ABCD【答案】A【解析】【分析】首先由双曲线的的方程可得，再移项开方可得渐近线的方程为.【详解】解：双曲线方程为，则渐近线方程为，即，故选A【点睛】一般地，求双曲线的渐近线的方程，可以把等号右边的常数变为,方程变形为，即可求得渐近线的方程为.3已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】运用，即可求得答案.【详解】解：如图所示，四棱锥的底面ABCD是平行四边形， 则故选B【点睛】本题考查向量的加法，考查向量在立体几何中的应用, 结合图形利用空间向量的基本定理,属于基础题.4在等比数列中，则AB1CD2【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质结合，可得，又,即可求的公比.【详解】解：等比数列中，则，则，解得，故选C【点睛】本题考查等比数列的定义和性质考查了计算能力，等比数列的性质：若，则,再结合等比数列的定义结合已知求出公比, 属于基础题5命题“，使得”的否定是A，均有B，均有C，使得D，使得【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，的否定是，写出结果即可【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，使得”的否定是：，均有故选B【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，对含有量词的命题的否定要注意两点:1.首先要对量词进行否定，2.对结论进行否定. 本题是基础题6已知0，0，2，则点A到直线BC的距离为AB1CD【答案】A【解析】【分析】首先写出和的坐标，再求出，最后利用公式，即可求值.【详解】解：0，0，2，0，2，点A到直线BC的距离为：故选A【点睛】运用空间向量求点到直线的距离，首先写出直线的方向向量，在直线上选取一点和已知点构造一个新的向量，运用两个向量的数量积公式求出夹角的余弦，再数形结合，结合直角三角形运用勾股定理求出距离.7设F为抛物线C：的焦点，过F作倾斜角为的直线交曲线C于A，B，则A8BC16D【答案】D【解析】【分析】首先写出抛物线的焦点，再写出直线的方程，代入抛物线运用韦达定理，代入即可求得答案.【详解】解：抛物线C：的焦点，设，且倾斜角为的直线，整理得，由韦达定理可知，由抛物线的定义可知：，故选D【点睛】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得，由抛物线的性质可知，解得可得所求值8我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为A分B分C分D分【答案】B【解析】【分析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分，解得，“立春”时日影长度为：分故选B【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解9已知正四棱柱的体积为，底面ABCD的边长为1，则二面角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】【分析】过D作于,就是二面角的平面角, ,结合，即可求得余弦值.【详解】解：过D作于，连接AO，则就是二面角的平面角正四棱柱的体积为，底面ABCD的边长为1，在中，可得，在中，故选C【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10某大学毕业生为自主创业于2014年8月初向银行贷款240000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2014年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2019年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少元注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；年按12个月计算A18000B18300C28300D36300【答案】B【解析】【分析】本题在认真阅读理解题意的基础认识到两种还款方式的本金没有差额，而前60个月的还款利息也是一样的，唯一不同的是后60个月的还款利息，该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240000元，从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的，每月应还本金：，2019年10月应还利息为：，依次可算出最后一次应还利息为：，再求和可得利息和为.【详解】解：由题意，可知：该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240000元，两种还款方式的本金没有差额该大学毕业生决定2019年8月初将剩余贷款全部一次还清从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的按原约定所有还款数额按现计划的所有还款数额原约定还款方式从2019年9月起到最后还完这整60个月所还的利息每月应还本金：元 2019年8月还完后本金还剩元年9月应还利息为：，2019年10月应还利息为：，2019年11月应还利息为：， 最后一次应还利息为：后60个月所还的利息为： 元故选：B【点睛】本题主要考查了数列的实际应用问题，同时考查了函数与方程思想，其中解答中认真审题，合理转化与化归，列出关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力11已知点P是椭圆E：上的任意一点，AB是圆C：的一条直径，则的最大值是A32B36C40D48【答案】A【解析】【分析】首先设，即可得到，运用向量的数量积，结合点的坐标，可得 ，由，结合二次函数的单调性求出最大值.【详解】解：如图所示，设，满足，当且仅当时，的最大值是32故选A如图所示，设，满足，利用数量积运算性质、椭圆的标准方程及其二次函数的单调性即可得出【点睛】本题考查了数量积运算性质、椭圆的标准方程及其二次函数的单调性，关键是将写成，写成，再进行转化，最后结合二次函数的单调性求出最大值，考查了推理能力与计算能力第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题12设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，可以得到，但是当,，但此时，即可判定选项【详解】解：由，解得或，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.13已知正数a，b满足，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由，可得，再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】解：正数a，b满足，当且仅当时取等号的最小值为4故答案为4【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，求最值时，可通过基本不等式或函数两个方面考虑，在用基本不等式时要注意不等式的使用条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可14已知平行六面体，则_【答案】【解析】【分析】由已知可求得，再由向量的加法运算可得，等式两边平方可求出的长.【详解】解：，故答案为【点睛】本题考查了平行六面体中的长度问题，常用方法是运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后运用向量的数量积求出结果.15已知是椭圆上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线的距离为d，则_，_【答案】8 【解析】【分析】把点代入椭圆，解方程即可求出的值，由椭圆的定义知，求出离心率即可.【详解】解：是椭圆上一点，代入可得：，解得点F到直线的距离为，故答案为8，【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了椭圆的第二定义，同时考查了推理能力与计算能力16给出下列四个命题已知P为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，则的范围是；已知M是双曲线上任意一点，是双曲线的右焦点，则；已知直线l过抛物线C：的焦点F，且l与C交于，两点，则；椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点的小球小球的半径忽略不计从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程恰好是4a其中正确命题的序号为_请将所有正确命题的序号都填上【答案】【解析】【分析】求得椭圆的，运用焦半径公式和椭圆的范围，可得结论；求得双曲线的,讨论在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；可假设长轴在轴，短轴在轴，设为左焦点，是它的右焦点，对球的运动方向讨论,沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，及球从A不沿x轴，斜向上或向下运动，讨论即可【详解】解：椭圆的，设P的横坐标为m，由焦半径公式可得则，由，可得可得所求范围是，故错误；已知M是双曲线的，若M在双曲线左支上，可得；若M在双曲线右支上，可得，故正确；已知直线l过抛物线C：的焦点F，设直线l的方程为，代入抛物线的方程可得，且l与C交于，两点，可得，则，故正确；对于，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是；球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是；球从A不沿x轴斜向上或向下运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点此时小球经过的路程是4a综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或或故错误故答案为：【点睛】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于中档题评卷人得分三、解答题17已知正方体中，M，N分别是棱和对角线的中点证明：平面ABCD；求直线MN与直线所成角的大小【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】连结，推导出，由此能证明平面设正方体的棱长为1，以为原点，的方向分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的大小【详解】证明：连结BD，N分别是棱和的中点，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD解：设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，0，1，1，1，1，0，直线MN与直线所成角的大小为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18已知二次函数的两个零点为和，且求函数的解析式；解关于x的不等式【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据二次函数的性质得到关于关于m的方程，解出即可；问题转化为，解出即可【详解】解：由题意得：的两个根为和，由韦达定理得，故，故，故；由得，即，即，解得：，故不等式的解集是【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及解一元二次不等式问题，是一道常规题19已知数列是等差数列，数列的前n项和为，且满足求数列和的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求数列的通项公式；运用数列的递推式可得所求数列的通项公式；求得，运用裂项相消求和，化简可得所求和【详解】解：数列是公差为d的等差数列，可得，解得，则；，当时，可得，时，即有，即有，则，；，前n项和【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题20已知，直线AD与直线BD相交于点D，直线BD的斜率减去直线AD的斜率的差是2，设D点的轨迹为曲线C求曲线C的方程；已知直线l过点，且与曲线C交于P，Q两点Q异于A，问在y轴上是否存在定点G，使得？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】设，利用斜率计算公式，化简整理即可得出假设在y轴上存在定点，使得，可知：直线PQ的斜率存在设PQ的方程为：，代入抛物线方程可得：，恒成立，设，根据，利用根与系数的关系代入化简即可得出【详解】解：设，则，整理为：，曲线C的方程为，假设在y轴上存在定点，使得，可知：直线PQ的斜率存在设PQ的方程为：，代入抛物线方程可得：，恒成立，设，则，化为：，即，因此在y轴上存在定点，使得【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，E为AD的中点，二面角为证明：平面PBE；求点P到平面ABCD的距离；求直线BC与平面PAB所成角的正弦值【答案】（1）见证明；（2）（3）【解析】【分析】推导出，由此能证明平面PBE由平面PBE，得，从而是二面角的平面角，推导出平面平面ABCD，作，垂足为F，则平面ABCD，由此能求出点P到面ABC的距离以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAB所成角的正弦值【详解】证明：是正三角形，E为AD中点，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，平面PBE解：平面PBE，平面PBE，是二面角的平面角，平面PBE，平面ABCD，平面平面ABCD，作，垂足为F，则平面ABCD，点P到面ABC的距离为，E为AD中点，即为正三角形，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则0，0，0，设y