解析几何初步复习...ppt

解析几何初步章节复习 麟游县中学仇银萍 第一节直线与方程 基础梳理 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 定义 当直线与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴正向与直线向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角 当直线与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为0 倾斜角的范围为0 180 2 直线的斜率 定义一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k tan 倾斜角是90 的直线斜率不存在 过两点的直线的斜率公式经过两点 其中 的直线的斜率公式为 2 直线方程的五种形式 典例分析 题型一直线的倾斜角和斜率 学后反思求倾斜角范围的步骤是 1 求出斜率的取值范围 2 利用正切函数的单调性 结合图象 确定倾斜角的取值范围 直线的方程练案第6题 直线l过点P 5 4 且与两坐标轴伟成三角形面积为5 求直线l的方程 题型二求直线的方程 学后反思1 求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式 同时注意各种形式的适用条件 用斜截式或点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线等 2 截距与距离的区别 截距可以是负数 0 正数 题型三直线恒过定点问题 例2 已知直线l a b x a b y 2 0 其中a b满足3a b 2 0 求证 直线l恒过一定点 学后反思1 过定点的直线系锁着参数的改变而绕着这个定点转动 而两条相交直线决定一个交点所以我们对参数a可以赋予两个不同的值 得到两条确定的直线方程 联立求出交点坐标 这个交点为定点 补上一个检验过程 交点坐标满足含参方程 2 分离参数a 利用a 0 0 0这个等式对于任意的实数a恒成立 构建关于x y的方程组 解方程组即可得到定点的坐标 3 联想到直线y k x m n恒过点 m n 将含参直线的方程利用换元 划归到这个类型上来 题型四与直线方程有关的最值问题 学后反思 1 对直线l的大致位置分析 界定了斜率的存在性及其范围 指明了解题方向 这种分析是避免解题盲目性的重要技能 2 本题将面积表示为k的函数 再用函数单调性 换元等方法求最小值 直线的方程练案第8题 已知直线l过点M 2 1 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 O为坐标原点 当 ABO的面积的最小值时求直线l的方程 学后反思本题是一道用地规划的实际问题 应把问题化归为在线段EF上找一点 使长方形PQCR面积最大的数学问题 这样 就需要建立直角坐标系 用坐标表示点 用方程表示曲线 从而把问题转化为代数问题 利用代数方法使问题得到解决也称解析法或坐标法 题型五应用问题 直线的方程练案第9题 为了绿化城市 拟在区域ABCD内建一个草坪 如图 另外 EFA内部有一文物保护区不能占用 经测量AB 100m BC 80m AE 30m AF 20m 应如何设计才能使草坪面积最大 分析欲使草坪面积最大 点P的位置选取是关键 因此 应考虑建立适当的坐标系 求出线段EF所在直线的方程 再设出点P的坐标 做为解题的切入点 基础梳理 第二节直线的位置关系 2 三种距离 1 两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地 原点O 0 0 与任一点P x y 的距离 OP 2 点到直线的距离点到直线 Ax By C 0的距离 3 两条平行线的距离两条平行线Ax By 0与Ax By 0间的距离 3 直线系方程 设L1 A1x B1y C1 0 L2A2x B2y C2 0是相交的两条直线 那么L A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 是经过L1和L2交点的直线系方程 这个直线系方程不包含直线L2的方程 其中 为其中任意常数 典例分析 题型一两条直线位置关系的判定和应用 两条直线的位置关系学点三变式探究 已知直线l1 m 3 x 4y 5 3m 直线l2 2x m 5 y 8 问当m为何值时 1 l1与l2平行 2 l1与l2垂直 学后反思 1 利用直线的斜截式方程判断两直线的位置关系的前提是两直线的斜率都存在 若不能确定两直线斜率的存在性 应对其进行分类讨论 为避免分类讨论 可采用直线方程的一般式 利用一般式方程中的 系数关系 的形式来判断两直线 2 与直线Ax By C 0 A B不同时为0 平行 垂直的直线方程的设法 平行的直线方程设为Ax By m 0 m不等于C 垂直的直线方程设为Bx Ay n 0 题型二距离问题 学后反思 1 直线的斜截式 点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线 故要进行讨论 2 使用点到直线的距离公式时 必须把直线方程化为一般式 点到直线的距离公式学点三变式探究 求与直线5x 12y 6 0平行 且距离等于2的直线的方程是 题型三交点及直线系问题 学后反思解法一 求出交点坐标 借助平行时斜率关系写出直线的点斜式方程 解法二 根据直线的平行位置关系设出直线l的方程 让后讲求出的交点坐标代入 去定出直线方程 解法三 根据直线l过两直线交点 设出过该交点的直线系方程 设 2x 3y 3 x y 2 0 根据平行关系确定出 的值即可 三种解法都能比较迅捷地解决问题 但方法一 方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的 如果其中含有字母参数之类的 则要进行分类讨论 运用直线系方程时 则必须对直线系中不包含的直线进行检验 因此 本题的三种解法应该是各有优缺点 两条直线的交点学点二变式探究 求经过两直线l1 2x 3y 3 0和l2 x y 2 0的交点且与直线 3x y 1 0平行的直线方程 题型四对称问题 学后反思 对于直线的对称问题 都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的 点到直线的距离公式练案第7题 求直线 4x y 1 0关于点M 2 3 对称的直线方程 第三节圆的方程 基础梳理 1 圆的标准方程 1 方程表示圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程 2 特别地 以原点为圆心 半径为r r 0 的圆的标准方程为 2 圆的一般方程方程 Dx Ey F 0可变形为 1 当时 方程表示以为圆心 以为半径的圆 2 当 0时 方程表示一个点 3 当 0时 方程不表示任何图形 3 与圆的位置关系 1 若 则点P在圆外 2 若 则点P在圆上 3 若 则点P在圆内 4 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或D E F的方程组 3 解出a b r或D E F 代入标准方程或一般方程 5 圆系方程1 过圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0与圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆的方程 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 当 1 时 表示两圆的公共弦所在的直线方程 2 过圆C x2 y2 Dx Ey F 0与直线l Ax By C 0的交点的圆的方程 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 06 两圆方程相减所得直线的方程 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 1 如果圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0与圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0相交 那么两圆的方程相减得两圆公共弦方程 2 如果圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0与圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0相切 那么两圆的方程相减得两圆公切线方程 1 如果圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0与圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0半径相等 那么两圆的方程相减得两圆的连心线段的垂直平分线的方程 圆的标准方程学点一变式探究 2 求圆心在直线2x y 3 0上 且经过点A 5 2 B 3 2 的圆的方程 题型一求圆的方程 典例分析 学后反思 1 本题可使用待定系数法 方法一 设圆的标准方程 方法二 设圆的一般方程 都是结合条件来求所设方程中的待定系数 2 方法三 应用平面几何知识 圆心与弦的中点的连线与弦垂直 一般而言 在解析几何问题中 用上平面几何知识 会使解题变得相对简单 3 无论哪种解法 都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量 题型二与圆有关的参数问题 圆的一般方程学点二变式探究 已知圆的方程为x2 y2 kx 2y k2 0 求该圆的面积最大值 并求此时圆的圆心坐标 学后反思 1 一般地 方程表示圆隐含着条件D2 E2 4F 0 此点易被忽视 2 要使圆的面积最大只需要圆的半径最大 例2 已知实数x y满足方程 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 2 求y x的最大值和最小值 直线y x b在y轴上的截距 3 求的最大值和最小值 圆上的一点与原点距离的平方 题型三与圆有关的最值问题 题型三与圆有关的最值问题 学后反思 1 本例中利用图形的直观性 使代数问题得到非常简捷的解决 这是数形巧妙结合的好处 2 本例的解题关键在于抓住 数 中的某些结构特征 从而联想到解析几何中的某些公式或方程 从而挖掘出 数 的几何意义 实现由 数 到 形 的转化 3 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如形式的最值问题 可转化为动点到定点距离的平方的最值问题 题型四与圆有关的简单的轨迹问题 圆的一般方程学点三变式探究 已知AB是圆O的直径 且AB的绝对值 2a 点M为圆上一动点 作MN垂直于AB 垂足为N 在OM上取点P 使 OP MN 求点P的轨迹 学后反思 1 求轨迹前必须建立平面直角坐标系 否则曲线就不能转化成方程 坐标系选取恰当 可使运算过程简单 所得轨迹方程较简单 2 求轨迹方程步骤 一 建系 设点 二 列式 三 化简 3 一般地 求哪个点的轨迹方程 就设哪个点的坐标为 x y 4 求轨迹方程与求轨迹的区别 求轨迹方程得出方程即可 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 题型五圆的方程的实际应用 学后反思在解决有关的实际问题时 关键要明确题意 根据所给条件建立直角坐标系 建立数学基本模型 将实际问题转化为数学问题解决 例3 有一种大型商品 A B两地都有出售 且价格相同 某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是 A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍 已知A B两地距离为10公里 顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是 运费和价格的总费用较低 求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时 点P所在的曲线方程 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购物地点 第四节直线与圆的位置关系 基础梳理 1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 只有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 2 直线与圆的位置关系的判断方法直线 Ax By C 0 A B不全为0 与圆 r 0 的位置关系的判断方法 1 几何法 圆心 a b 到直线Ax By C 0的距离为d dr 直线与圆相离 2 代数法 Ax By C 0 由消元 得到的一元二次方程的判别式为 则 0 直线与圆相交 0 直线与圆相切 0 直线与圆相离 3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种 分别为外离 外切 相交 内切 内含 设两圆的圆心距为d 两圆的半径分别为R r 则1 外切d R r2 内切d R r 3 外离d R r4 内含d R r 5 相交 R r d R r 圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d 两圆的半径分别为R r 则外切d R r内切 d R r 外离d R r内含d R r 5 相交 R r d R r 典例分析 题型一直线与圆的位置关系 学后反思判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 1 代数法 将直线方程与圆的方程联立 由所得一元二次方程根的判别式来判断 2 几何法 确定圆的圆心和半径 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断 实际应用中 几何法 要优于 代数法 3 要使直线截圆的弦长最大 则圆心到直线的距离为最小 直线与圆的位置关系学点三学点精讲 已知圆C x 3 2 y 4 2 4和直线l kx y 4k 3 0 1 求证 无论k取何值 直线和圆总相交 2 当k取何值时 圆被直线截得的弦最短 并求最短弦的长 题型二圆与圆的位置关系 学后反思在讨论两圆的位置关系时 一般根据其关系的判定条件 即圆心距与两圆半径之间的和差关系来判断 圆与圆的位置关系学点一变式探究 当t的范围是 1 1 讨论两圆C1 16x2 16y2 16x 32y 61 0与C2 x t 2 y 1 2 1 16的位置关系 题型三圆的弦长问题 直线与圆的位置关系学点三变式探究 已知直线l过点P 5 5 且和圆C x2 y2 25相交截得的弦长为4 求l的方程 学后反思直线与圆相交截得的弦长有两种计算方法 一 几何法 利用弦心距 弦长的一半 圆的半径构成的直角三角形求解 即 L 2 2 d2 r2 二 代数法 将直线方程与圆额方程联立 运用韦达定理 弦长公式是 题型四圆的切线问题 直线与圆的位置关系练案第6题 过点A 4 3 作圆C x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线的方程 学后反思 1 圆的切线条数 过圆外一点的切线必有两条 过圆上一点的切线有一条 过圆内一点不存在圆的切线 2 圆的切线求法 一 求过圆上一点的圆的切线方程 切点与圆心连线的直线与切线垂直 可求出切线的斜率 以及切点 可写出切线的点斜式方程 二 求过圆外一点的圆的切线方程 1 代数法 首先要考虑斜率不存在的情况 再设出圆的切线点斜式方程 代入圆的方程 得到一个关于x的一元二次方程